圆的知识点总结及典型例题--修订编选

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1、1 圆的知识点总结圆的知识点总结 （一）圆的有关性质（一）圆的有关性质 知识归纳知识归纳 1. 圆的有关概念： 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接 圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接 圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2

2、. 圆的对称性 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 4. 垂直于弦的直径 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论 1 推论 1 （1）平分弦（

3、不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个 ： 过圆心 ； 垂直于弦 ； 平分弦（不是直径） ； 平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具

4、备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个 ： 过圆心 ； 垂直于弦 ； 平分弦（不是直径） ； 平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 2 推论 2 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的 弦心距相等。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的 弦心距相等。 推论 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都

5、分别相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推 出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心 角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推 出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心 角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 6. 圆周角

6、定理 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论 1 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等； 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等； 推论 2 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； 推论 3 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所

7、对的弧的度数的一半。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 8. 轨迹 8. 轨迹 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径 的圆； （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径 的圆； （2）平面内，和已知线段两

8、个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 例题分析例题分析 例 1. 已知：如图 1，在O 中，半径 OM弦 AB 于点 N。 例 1. 已知：如图 1，在O 中，半径 OM弦 AB 于点 N。 图 1图 1 若 AB 若 AB，ON1，求 MN 的长；，ON1，求 MN 的长； 若半径 OMR，AOB120，求 MN 的长。 若半径 OMR，AOB120，求 MN 的长。

9、 解：AB 解：AB，半径 OMAB， ANBN，半径 OMAB， ANBN ON1，由勾股定理得 OA2 ON1，由勾股定理得 OA2 MNOMONOAON1 MNOMONOAON1 半径 OMAB，且AOB120 AOM60 半径 OMAB，且AOB120 AOM60 3 ONOAcosAONOMcos60 ONOAcosAONOMcos60 说明 ： 如图 1，一般地，若AOB2n，OMAB 于 N，AOR，ONh，则 AB2Rsin n2htan n 说明 ： 如图 1，一般地，若AOB2n，OMAB 于 N，AOR，ONh，则 AB2Rsin n2htan n 例 2. 已知：如图

10、2，在ABC 中，ACB90，B25，以点 C 为圆心、AC 为半 径作C，交 AB 于点 D，求 例 2. 已知：如图 2，在ABC 中，ACB90，B25，以点 C 为圆心、AC 为半 径作C，交 AB 于点 D，求的度数。的度数。 图 2图 2 分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之 间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。 分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之 间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。 解法一：（用垂径定理求）如图 21，过点 C 作

11、 CEAB 于点 E，交解法一：（用垂径定理求）如图 21，过点 C 作 CEAB 于点 E，交于点 F。于点 F。 图 21图 21 又ACB90，B25，FCA25 又ACB90，B25，FCA25 的度数为 25，的度数为 25，的度数为 50。的度数为 50。 解法二：（用圆周角求）如图 22，延长 AC 交C 于点 E，连结 ED 解法二：（用圆周角求）如图 22，延长 AC 交C 于点 E，连结 ED 4 图 22图 22 AE 是直径，ADE90 AE 是直径，ADE90 ACB90，B25，EB25 ACB90，B25，EB25 的度数为 50。的度数为 50。 解法三：（用圆

12、心角求）如图 23，连结 CD 解法三：（用圆心角求）如图 23，连结 CD 图 23图 23 ACB90，B25，A65 ACB90，B25，A65 CACD，ADCA65 CACD，ADCA65 ACD50， ACD50，的度数为 50。的度数为 50。 例 3. 已知：如图 3，ABC 内接于O 且 ABAC，O 的半径等于 6cm，O 点到 BC 的距 离 OD 等于 2cm，求 AB 的长。 例 3. 已知：如图 3，ABC 内接于O 且 ABAC，O 的半径等于 6cm，O 点到 BC 的距 离 OD 等于 2cm，求 AB 的长。 析：因为不知道A 是锐角还是钝角，因此圆心有可能

13、在三角形内部，还可能在三角形 外部，所以需分两种情况进行讨论。 析：因为不知道A 是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形 外部，所以需分两种情况进行讨论。 略解：（1）假若A 是锐角，ABC 是锐角三角形。如图 3，由 ABAC，可知点 A 是优 弧 略解：（1）假若A 是锐角，ABC 是锐角三角形。如图 3，由 ABAC，可知点 A 是优 弧的中点， 因为 ODBC 且 ABAC， 根据垂径定理推论可知， DO 的延长线必过点 A， 连结 BO的中点， 因为 ODBC 且 ABAC， 根据垂径定理推论可知， DO 的延长线必过点 A， 连结 BO BO6，OD2 BO6，

14、OD2 在 RtADB 中，ADDOAO628 在 RtADB 中，ADDOAO628 图 3 图 31 图 3 图 31 （2）若A 是钝角，则ABC 是钝角三角形，如图 31 添加辅助线及求出（2）若A 是钝角，则ABC 是钝角三角形，如图 31 添加辅助线及求出， 在 RtADB 中，ADAODO624 ， 在 RtADB 中，ADAODO624 ABAB 5 综上所述 AB综上所述 AB 小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三 角形的位置关系，防止丢解或多解。 小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三 角形的位置

15、关系，防止丢解或多解。 例 4. 已知：如图 4，AB 是O 的直径，弦 CDAB，F 是 CD 延长线上一点，AF 交O 于 E。求证：AEEFECED 例 4. 已知：如图 4，AB 是O 的直径，弦 CDAB，F 是 CD 延长线上一点，AF 交O 于 E。求证：AEEFECED 图 4图 4 分析 ： 求证的等积式 AEEFECED 中， 有两条线段 EF、 ED 在EDF 中， 另两条线段 AE、 EC 没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线 AC，设法证明FEDCEA 即 可。 分析 ： 求证的等积式 AEEFECED 中， 有两条线段 EF、 ED 在EDF 中， 另两条线段 AE、 EC 没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线 AC，设法证明FEDCEA 即 可。 证明：连结 AC证明：连结 AC 四边形 DEAC 内接于圆 四边形 DEAC 内接于圆 FDECAE，FEDDCA FDECAE，FEDDCA 直径 ABCD， 直径 ABCD， DCACEA，FEDCEA DCACEA，FEDCEA FEDCEA FEDCEA ，AEEFECED，AEEFECED 小结：四边形内接于圆