《2020高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆及其标准方程课时作业北师大版选修2-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆及其标准方程课时作业北师大版选修2-1(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3.1.1 椭圆及其标准方程 基础达标 1. 椭圆 2x 2 y 28 的焦点坐标是 ( ) A( 2, 0) B(0 , 2) C( 23,0) D(0 , 23) 解析:选 B. 椭圆标准方程为 x 2 4 y 2 8 1, 椭圆焦点在y轴上,且c 2 844, 焦点坐标为(0, 2) 2. 椭圆 x 2 25 y 2 m 1 的一个焦点坐标为(3 ,0) ,那么m的值为 ( ) A 16 B 4 C16 D4 解析:选 C. 焦点在x轴且c 3,由 25m9,m16. 3. 已知方程 x 2 k1 y 2 3k1( kR) 表示焦点在x轴上的椭圆,则k的取值范围是( ) Ak3 B1
2、k1 Dk3k0, 1k|F1F2| 2, 动点P是以F1、F2为焦点的椭圆,且a2,c1, b 2 a 2c23,轨迹方程为 x 2 4 y 2 3 1. 答案: x 2 4 y 2 3 1 7. 已知F1,F2为椭圆 x 2 25 y 2 9 1 的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点若 |F2A| |F2B| 12,则 |AB| _ 解析:由于 |AB| |F2A| |F2B| 4a20, |AB| 20(|F2A| |F2B|) 20128. 答案: 8 8.若方程 x 2 k2 y 2 5k1 表示椭圆,则实数 k的取值范围是 _ 解析:由方程 x 2 k2 y 2 5k1 表示
3、椭圆, 可得 k20, 5k0, k25k, 解得 2k5 且k 7 2. 即当 2k7 2或 7 2k|PF2| , 求| PF1| |PF2| 的值 (2) 当F1PF2为钝角时, |PF2| 的取值范围 解:(1) PF1PF2,F1PF2为直角,则 |F1F2| 2| PF1| 2| PF2| 2. 20 |PF 1| 2 | PF2| 2, |PF1| |PF2| 6, 3 解得 |PF1| 4,|PF2| 2, |PF1| |PF2| 2. (2) 设|PF1| r1,|PF2| r2,则r1r26. F1PF2为钝角, cosF1PF20. 又 cosF1PF2 r 2 1r 2
4、 220 2r1r2 0,r 2 1r 2 28, (6 r2)r28, 2r2ab的顶点A的轨迹 解: (1) 如图,设椭圆的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0),有 |AM| |AC| 2a, |BM| |BC| 2a, 两式相加,得8424a, a22,|AM| 2a |AC| 4224 22. 在直角三角形AMC中, |MC| 2| AM| 2| AC| 281624, c 26,b2 4 2. 故所求椭圆的标准方程为 x 2 642 y 2 42 1. (2) 由已知条件可得bc2a, 则|AC| |AB| 2|BC| 4|BC| , 结合椭圆的定义知点A在以B,C为焦
5、点的一个椭圆上,且椭圆的焦 距为 2. 以BC所在的直线为x轴,BC的中点为原点O,建立平面直角坐 标系,如图所示 设顶点A所在的椭圆方程为 x 2 m 2 y 2 n 21(mn0) ,则m2,n 222123,从而椭圆方程 为x 2 4 y 2 3 1. 又cab且A是ABC的顶点,结合图形,易知x0,y0. 故顶点A的轨迹是椭圆 x 2 4 y 2 3 1 的右半部分 (x0,y0) 能力提升 1. 设过点P(x,y) 的直线分别与 x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与 点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP 2PA ,且OQ AB 1,则P点的轨迹方程是( ) A. 3 2
6、x 23y21( x0,y0) B. 3 2x 23y21( x0,y0) 4 C3x 23 2y 2 1( x0,y0) D3x 23 2y 2 1( x0,y0) 解析:选 A. 由题意Q坐标为 ( x,y)(x0,y0) ,设A(x0,0) ,B(0 ,y0) , 由BP 2PA 得(x,yy0) 2(x0 x,y) , x2x0 2x yy0 2y ,即 y03y x03 2x . 由OQ AB 1 得( x, y) ( x0,y0) 1, x0 xy0y1,把 y03y x0 3 2x 代入上述得 3 2x 2 3y 2 1( x0,y0) 2. 设(0, 2 ) ,方程x 2sin
7、 y 2cos 1 表示焦点在y轴上的椭圆,则的取 值范围是 _ 解析: 方程x 2sin y 2cos 1 可化为 x 2 1 sin y 2 1 cos 1. 椭圆的焦点在y轴上, 1 cos 1 sin 0. 又 (0, 2 ) , sin cos 0, 4 0,n0) 根据椭圆的定义,得mn 20. 在F1PF2中,由余弦定理, 得|PF1| 2| PF2| 22| PF1| |PF2| cosF1PF2|F1F2| 2, 即m 2 n 22mn cos 3 12 2, m 2 n 2mn 144,即 (mn) 23mn 144. 20 23mn 144,即mn256 3 . 又SF1
8、PF2 1 2| PF1| |PF2| sin F1PF21 2mn sin 3 , 5 SF1PF2 1 2 256 3 3 2 64 3 3 . (2) a 10 , 根 据 椭 圆 的 定 义 , 得 |PF1| |PF2| 20. |PF1| |PF2| 2|PF1| |PF2| , |PF1| |PF2| |PF1| |PF2| 2 2 20 2 2 100, 当且仅当 |PF1| |PF2| 时,等号成立, |PF1| |PF2| 的最大值是100. 4已知F1,F2为椭圆C: x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作垂直 于x轴的直线MF2交椭
9、圆于M,设 |MF2| d. (1) 证明:d,b,a成等比数列; (2) 若M的坐标为()2,1 ,求椭圆C的方程; (3) 在(2) 的椭圆中,过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点,若OA OB 0,求直线l 的方程 解: (1) 证明:由条件知M点的坐标为()c,y0,其中 |y0| d, c 2 a 2 d 2 b 21,db1c 2 a 2 b 2 a, d b b a,即 d,b,a成等比数列 (2) 由条件知c2,d1, b 2 a1 a 2 b 22, a2 b2 , 椭圆方程为 x 2 4 y 2 2 1. (3) 设点A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 当lx轴时,A( 2, 1) 、B( 2,1) ,所以OA OB 0. 设直线l的方程为yk(x2) , 代入椭圆方程得(1 2k 2) x 24 2k 2x4k240. 所以 x1x2 42k 2 12k 2, x1x24k 24 1 2k 2, 由OA OB 0 得x1x2y1y20, x1x2k 2( x12)(x22) (1k 2) x1x22k 2( x1x2) 2k 20, 代入得 (1k 2)( 4k24) 12k 2 42k 2 2k 2 12k 22k 20,解得 k2. 所以直线l的方程为y2(x2)