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1、线性方程组和矩阵知识总结吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 mnmnbxaxa321 222 121 其中未知数的个数 n 和方程式的个数 m 不必相等. 线性方程组的解是一个 n 维向量它满足:当每个方中的未知数 xi 都用 ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解 .对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解b1=b2=bm=0 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解 ).把一个非齐次线性方程组的每个方
2、程的常数项都换成 0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解法mnmnbxaxa321 222 121 （1） 、写出线性方程组的增广矩阵。（2） 、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。（3） 、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。（4） 、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数 r。如果 r=n，则方程组有唯一解；如果 rn，则方程组有无穷多解。（5）把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵。（6）根据简化阶梯形矩阵，给出线性方程组的一般解或解集。一些特殊的矩阵（1)
3、行矩阵只有一行的矩阵。（2) 列矩阵只有一列的矩阵。（3) 零矩阵所有元素都等于 0 的矩阵。（4) 当 时称 为 阶方阵； 所在的对角线称mn()ijnAa12,na为方阵的主对角线。（5）主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵。（6) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为，简记为 。ndD 021 ),(21nddiagD（7) 单位阵记以 。E注（1） 只有 1 列或 1 行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量。这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份” 。（2） 矩阵也称为 阶方阵或 阶矩阵，而 1 阶矩阵被约定当作“ 数”nn（即“元”本身）对
4、待，当然 “数”是不能当作 1 阶矩阵来对待的。（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用。对线性方程组(1) 称为(1) 的系数矩阵，mnaA 11称为(1)的增广矩阵。mnmbaA 11矩阵的行(列)初等变换：(1) 对换矩阵的两行（列） ，用 表示对换 两行（列）的行()ijrc,ij（列）初等变换，即 （ ） ；ijrijc (2) 用非零数乘矩阵的某一行（列） ，用 表示以 乘矩()iirkc0k阵的第 行（列）的行（列）初等变换，即 ；i iii(3) 将矩阵的某行 (
5、列)乘以数 再加入另一行（列）中去，用 表k ()ijijrkc示 乘矩阵的第 行（列）后加到第 行（列）的行（列）初等变换，即kij。()jijirc4、 矩阵的等价定义 将矩阵 的行经有限次初等变换化为 ，称 与 等价，记作ABA。AB5、 行阶梯形矩阵与最简形矩阵定义 3 若矩阵 的零行（元素全为零的行）位于 的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大，则称 为行阶梯形矩阵。A定义 4 若行阶梯形矩阵 的各非零首元均为 1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称 为最简形。6、 用初等变换线性方程组的解1) 将(1)的增广矩阵 用行初等变换化为最简形；A2) 由最简形对应的方程组得到解。矩阵的秩矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵 中不为零的最高子式，算出它的阶数A（2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵 化为标准形 ，即可得出ArEO；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩()RAr矩阵秩的性质（1） ()TRA（2） =AORB()R（3） max,)()ABR（4） ()(A（5）若 ，则B:)(R即初等变换不改变矩阵的秩，证明见课本（6） ()Amin(),B（7）若 ，则lBO()RAn（8） 为任意矩阵，则 T
