【财务管理投资管理 】漫谈投资组合的几何增值理论讲义

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1、财务管理投资管理漫谈 投资组合的几何增值理论 讲义 财务管理投资管理漫谈 投资组合的几何增值理论 讲义 漫谈投资组合的几何增值理论漫谈投资组合的几何增值理论 从掷硬币打赌看投资组合问题从掷硬币打赌看投资组合问题 什么是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。 假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同 ； 出 A 面你投一亏一，出 B 面你投一赚二；假设你开始只有 100 元，输了没法再借。现在问 怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 我们可以象小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百 万富翁。你可能为了尽快地变为百万

2、富翁而全部押上你的资金。可是只要有一次你输了，你 就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。你可能每次下注 10 元。但是，如果连输 10 次，你 就完了。再说，如果你已经是万元户了，下 10 元是不是太少了?每次将你的所有资金的 10% 用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完(假设下注的资金可以无限小)； 第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次， 则你的资金会变为原来的(1+0.2)(1-0.1)=1.08 倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不 是太慢了， 太急人了?有没有更快的方法?有!理论研究表明， 每次将你所有资金的 25%或 0.25

3、 倍用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。 几个不同下注比例带来的资金变化如图 1 所示(掷币结果分别是 A,B,A,B,.)。实验表明，张 大胆每次投 100，嬴时嬴得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远被淘汰出局。李糊涂每次 下 50，收益大起大落，到头来白忙。王保守每次下 10，稳赚但少赚；“你”每次下 25， 长期看结果最好。 图 1 资金增值随几种不同投资比例的变化 前面的打赌中，硬币只有一个。如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两 面出现的概率（频率或可能性）也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果 不同硬币出现 A 面 B 面是不同程度相关的(比如一个出

4、 A 面， 另一个十有八九相同?正相关， 或相反反相关)，又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技 等投资象掷硬币打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。如何确定不同证券或资产上的投 资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。 投资组合也就是英文说的 portfolio。当今世界上著名的投资组合理论是美国的马科维茨 (H.Markowitz)理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论(参见专著广义信息论，中 国科技大学出版社，1993)和自己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者 叫熵(shang)理论（因为其中采用了同物理学和信

5、息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标 准），并完成了专著投资组合的熵理论和信息价值?兼析股票期货等风险控制（中国科 技大学出版社，1997)。现在笔者知道美国的 H.A.Latane 和 D.L.Tuttle 最早提出了用几何平 均产出比?即 1+几何平均收益或平均复利?作为优化证券组合的准则；后来 T.E.Cover 等 人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则.不同的是，笔者的研究更注重应用。 马科维茨理论及其缺陷马科维茨理论及其缺陷 1952 年，马科维茨发表了有家证券的选择：有效的转移。这篇开创性的论文导致了一 个新理论?投资组合理论?的诞生。1990 年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济

6、学奖授予了 H. 马科维茨，W.夏普(Shape)和 W.米勒(Miller),以表彰它们在投资组合和证券市场理论上的贡 献。 马科维茨用收益的期望 E 和标准方差?表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是算 术平均收益。 收益的标准方差反映了收益的不确定性。 比如对于上一节谈到的掷硬币打赌(亏 时亏一倍，嬴时嬴两倍)，用全部资金下注时， E=P1r1+P2r2=0.5(-1)+0.52=0.5 ?=P1(r1-E)2+P2(r2-E)20.5=0.5(-1-0.5)2+0.5(2-0.5)20.5=1.5 上式中 P1=0.5 和 r1=-1 是亏钱的概率和幅度，P2=0.5 和 r2=

7、2 是嬴钱的概率和幅度。根据 马科维茨理论，期望越大越好，而标准方差越小越好。标准方差反映了收益的不确定性或投 资风险。至于两种证券或两种组合，一个比另一个期望收益大，标准方差也大，那么选择哪 一个好呢？马科维茨理论认为这没有客观标准。 有人不在乎风险而只希望期望收益越大越好， 而有人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。 马科维茨证明了， 通过分散投资互不相关或反相关的证券， 可以在不降低期望收益的情况下， 减小总的投资的标准方差(即风险).比如同时用两个硬币打赌，嬴亏幅度同样，每种证券下注 50%时,收益的可能性有三种：1)两边亏，亏 100，概率是 1/4=0.25;2)一亏一嬴，嬴

8、 50, 概率是 1/2=0.5;3)两边嬴，嬴 200，概率是 1/4=0.25.这时期望收益 E=0.5 不变，标准方差 由 1.5 减小为 ?=0.25(-1-0.5)2+0.5(0.5-0.5)2+0.25(2-0.5)0.5=1.06 如果两个硬币的嬴亏总是反相关的，比如一个出 A 面，另一个必定出 B 面，反之亦然 ； 则期 望收益不变，标准方差为 0?完全无风险。 马科维茨理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是：不认为有客观的 最优投资比例， 或者说并不提供使资金增值最快的投资比例(当然也就不能解决前面的掷硬币 打赌问题)；缺陷之二是：标准偏差并不能很好反应风险

9、。下面我们举例说明。 例：两种证券当前价格皆是 1 元，证券 I(象是期权)未来价格可能是 0 元和 2 元，概率分别 为 1/4 和 3/4（参看图 1，其中产出比=产出比=本利和/本金=1+收益)。证券 II(象是可转换债 券)的收益的期望和标准方差同样是 0.5 和 0.886， 但是收益的概率分布以 0.5 为中心(产出比 以 1.5 为中心，)对称反转了一下.两者投资价值分析如表 1 所示(这里忽略银行利息和交易手 续费)。 图 1 期望和标准方差相同但风险不同的两个证券 表 1 期望和标准方差相同的两种证券的投资价值分析 期望标准方差下 100时平 均复利 优化比例 优化后平均 复

10、利比例 证券 I证券 I0508861005015 证券 II证券 II0508863210032 表中最优投资比例?100%意味着：如果可以贷款或透支，投更多更好。按 Markowit， A 和 B 投资价值相同，而按常识和投资组合的几何增值理论，B 远优于 A。对于存在大比例 亏损可能的投资，比如期权、期货、放贷(可能收不回本金)、卫星发射和地震保险（风险极 大而标准方差并不大），马科维茨理论的缺陷尤为明显。 几何级数增值的魅力几何级数增值的魅力 1988-1989 年，日本股市从 21564 点上涨了 80，到达 38921 点；然后开始大跌，1992 年 8 月跌到 14194 点，跌

11、幅达 63。虽然 80大于 63，算术平均大于 0，可是总的来说 是跌的，跌了约 1/3，因为累积产出比是(1+0.8)(1-0.63)=0.666，累积收益是 0.666-1=-0.334 -33.4. 炒过股票的人都知道，如果你总是将所有的资金买入股票，则先赚 50%再亏 50%；或者先 亏后赚，虽然算术平均收益是 0，可是你的资金会变少(变成 0.51.5=0.75 倍)。可见算术平 均收益不能反映实际增值情况。 能反映实际增值的收益是什么呢？是几何平均收益。设每一元资金投资 N 年后变为 M 元， 则累计产出比是 M/1=M。累计产出比的 N 次开方 M1/N 被称为几何平均产出比，我

12、们记为 Rg,即 Rg=M1/N。投资的平均复利又叫几何平均收益，我们记为 rg，则有 rg=Rg-1.可见几何 平均产出比或几何平均收益才能反映长期投资业绩。因为 N 年累积产出比 M=RgN=(1+rg)N. 投资组合的几何增值理论(或者说熵理论)就是用几何平均产出比作为优化投资组合的标准， 根据这一标准，使几何平均收益达最大的投资比例就是最好的投资比例。 稳定的几何增长具有无比的魅力。几何平均收益的微小优势，在长期累计后可能导致惊人的 成功。下表显示了几何平均收益对 20 年累积产出比的影响。 表 1 几何平均收益对 20 年累积产出比的影响 几 何 平 均 收 益 10% 15% 20

13、% 23.8% 20 年产出比 6.716.4 38.3 71.5 其中 23.8%就是巴费特管理的伯克希尔公司 32 年里的几何平均收益。 在过去的 32 年里， 伯 克希尔公司每股资产从 19 美元增长到 19011 美元，算术平均年收益大约是 1000/32=3125 ，可是几何平均年收益只有 23.8%.美国的基金管理大师彼得林奇之所以有成功，是因为 他十年里使基金的几何平均收益达到 30。 有人做过计算说明， 虽然两百年前美国政府从印 地安人手里以极便宜的价格买了大片土地，但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美 国长期国债的收益，则利滚利后，印地安人现在将极其富有，足以买回更大面

14、积的土地。可 见稳定的几何平均收益的威力。 有人炒期货看到可能的盈利幅度大于亏损幅度就大量投入；有人炒期货还要透支。中国人在 期货市场上破产的比例极大，原因就是因为许多人看不到稳定增值的重要性。 许多股民类似，他们对收益波动极大的亏损垃圾股、庄股、新股、权证等倍加追捧；而对收 益较为稳定的年收益达 2030的投资（比如认购新股)不以为然。这不能不说是中国股 市不成熟的表现。 笔者特别羡慕那些有稳定收入的年轻人。 只要他们有耐心， 采取稳健的策略(比如每年认购新 股，如果认购新股效益不变的话)，一、二十年后成为百万富翁将极其容易。当然，对于包括 笔者在内的许多人?既不年轻又有生活压力，要成为百万

15、富翁，我们当采取更加进取的投资 策略，即选择多种投资方式，优化投资组合，赢得更高的几何平均收益。 掷硬币打赌问题的数学解答掷硬币打赌问题的数学解答 掷硬币打赌问题是：有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出 现的可能性相同；出 A 面你投一亏一，出 B 面你投一赚二；假设你开始只有 100 元，输了 没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 不知读者是否记得中学学过的抛物线公式 y=ax2+bxc。 抛物线可以用来描述炮弹飞行轨迹， 它有一个最高点,当水平距离 x=-b/(2a)时，高度 y 达最大。下面我们说明中学数学知识如何 能帮助我们尽快成为

16、百万富翁。 对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比 Rg 随下注比例 q 的变化是 要使 Rg 达最大，只需使上式右边括号中的内容达最大。根据中学数学知识，q=-1/2 (-2)=1/4=0.25=25%时，括号中的内容，也即几何平均收益 Rg 达最大。这就是说，对于上 面的掷硬币打赌，25是最优投资比例。 图 1 几何平均收益 rg 和算术平均收益 ra 随 q 的变化 对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益 ra 和几何平均收益 rg 随下注比例 q 的变化如图 1 所 示。容易看出，算术平均收益 rg 和投资比例 q 成正比关系；而几何平均收益不是，q 太大反 而不好，如果 q0.5 则从长远看必然亏损。 上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即 P1=P2=0.5； 嬴亏幅度是给定的（1 和 2)。如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小,P1 和 P2 皆不等于 0.5,并且嬴亏幅度也是变的(为 r1 小于 0 和 r2 大于 0)，这时几何平均收益等于 则这时最优比例如何求法？现在我们用 H 表示资金翻一番数目， 如果 R