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1、第二章 晶体结构及其弹性性质,2-1 晶体结构和基本概念,2-2 晶体的弹性性质,2-3 弹性常数与对称性,2,晶系和布喇菲格子,通常描写晶胞的六个物理量是三个基矢的长度和基矢之间的夹角，如图所示 a，b，c，通常又称为晶格常数，可以由x射线确定 根据a，b，c，的不同，晶格可分为七大晶系和十四种布喇菲格子,3,七大晶系 seven sysTems,4,14 Bravais LaTTices,Triclinic: simple Monoclinic: simple, side-cenTered OrThorhombic: simple, body-cenTered, face-cenTered
2、, side-cenTered TeTragonal: simple, body-cenTered Hexagonal: simple Trigonal: simple Cubic: simple(sc), body-cenTered(bcc), face-cenTered(fcc),5,对称性和点群 symmeTry and poinT groups,了解对称性和对称操作，认识晶体的三十二个点群 To undersTand The symmeTry and 32 poinT groups in crysTals,6,对称性SymmeTry,在我们周围到处都可以碰到对称现象 : 人的双手是对称
3、的，它可以借助于一个对称面的反映而使之重合； 人和镜子里的像也是对称的，这种对称称为镜像对称; 四方晶体绕中心轴转90或90的整数倍后，晶体自身重合；六角晶体绕中心轴转60或60的整数倍后，晶体自身重合。,7,晶体的对称性是由其内部格子结构所决定的。它不仅与晶体的结构有密切关系，而且也于晶体的力学、电学、光学以及压电铁电性质等有密切关系。 可以说，晶体的对称性是晶体分类的基础，也是研究晶体其它性质的基础。 这里先主要介绍的对称性，不包括平移对称性在内，所以是宏观对称性,8,晶体结构本身具有对称性，x-射线衍射 晶体的物理性质与对称性有关，介电常数，压电常数等 研究方便：立方晶体11= 22=
4、33，其它ij=0 计算方便,9,对称操作和对称元素,能使对称图形复原的动作称为对称操作，例如，前面提到的对称轴的旋转，对称面的反映，此外，对称中心点的反演（或倒反）等，都是对称操作。 进行对称操作时，还必须依赖于一定的几何元素，如对称中心、对称面、对称轴等，这些几何元素又称为对称元素,10,对称性和对称操作,11,晶体中可能的对称操作,12,对称中心 inversion,为一假想的定点，相应的对称操作为对此定点的反演（或倒反）。图2-15表示通过对称中心c把M点反演到M点。如果把对称中心作为坐标原点，那么对称中心的作用将使点M(x,y,z)反演到点M(-x,-y,-z)。或者作通过对称中心的
5、任意直线，在此直线上，距对称中心等距离的两端，一定可以找到相对应的点M和M。对称中心的国际符号是“ ”。,13,图2-15,14,对称面（镜面）mirror,为一假想平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面将图形分为镜像反映的两个相等的部分。图2-16表示通过对称面m把M反映到M。对称面在图形上常用双线或粗线表示，国际符号为“m”。,15,图2-16 m,16,旋转轴（对称轴）roTaTion,为一假想直线，相应的对称操作为对此轴线的旋转。一个晶体如绕此轴旋转360/n后，能够复原，则称此晶体具有n次旋转轴或简称n次轴。由于晶体结构的周期性（即晶体的平移对称性）给晶体的转动对称性带来了严格
6、的限制，即n只能等于1、2、3、4、6，或者说晶体只可能具有1、2、3、4、6次旋转轴，不可能具有5次或高于6次的旋转轴。,17,18,旋转轴符号,19,旋转倒反轴（像转轴）,这是一个复合对称元素。它是一个假象的直线和此直线上的一个定点，相应的对称操作为对此轴线转2/n角度后，接着再对此点进行倒反。若晶体经过这个操作后能够复原，则称此晶体有n次旋转倒反轴。RoTaTion-inversion 与旋转轴的情况一样，晶体也只能有1、2、3、4、6次旋转倒反轴，而不能有5次或6次以上的旋转倒反轴。旋转倒反轴的国际符号为 、。,20,21,22,23,24,25,2次旋转倒反轴操作等效于一个对称面操作
7、,对称变换间的等效关系,26,3次旋转倒反轴 等效于3次旋转轴加上对称中心，即,27,6次旋转倒反的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果相同，即,28,知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后，下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在？它们的组合方式有多少种？在数学上，把对称元素（或对称操作）的集合叫做“对称群”。因为上述对称元素中，不包括平移对称性，进行对称操作时总是有一点保持不动，所以只包括上述对称元素的集合叫做“点群”。,29,32 poinT groups,人们经过长期研究的结果，发现这八种对称元素共有32种组合方式，即32种点群。这32种点群对应于晶体
8、的32种宏观对称类型，就是说自然界千千万万种晶体，可以归纳为32种宏观对称类型。,31,小结 summary,对称元素和对称操作 晶体的三十二个点群 对称性和点群对于压电铁电体非常重要！ 只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁性材料。,32,晶体中的点群,由于无限大周期性的限制，晶体中的对称操作只能有：1，2，3，4，6，m, ； 由这些对称操作所构成的集合就是晶体中的点群； 晶体中一共有32个这样的点群；,33,晶轴和直角坐标轴,34,晶轴和直角坐标轴的选择,晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。 其次，在讨
9、论晶体的弹性性质、介电性质和压电性质时，采用直角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于90，所以选定晶轴之后，有时还要另选直角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。 为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角坐标系的选择作共同的规定。,35,三斜晶系,晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同一平面上的晶棱方向作为晶轴。晶轴的安排是c轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为前后方向并向前倾。晶格常数的大小为bac，晶轴间的夹角为，并有90，90。 坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向
10、+a方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向，如图1-23所示。,36,图2-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系,37,单斜晶系,晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴，并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为：abc，ac，晶轴之间夹角为=90，90。单斜晶系的实例如图1-24所示。 坐标轴（x、y、z）。目前选择y轴与b轴重合；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如图2-25所示。,38,图2-24 单斜晶系中的晶轴,39,图2-25 单斜晶系中的坐标系,其中y轴是二次旋转轴,40,正交晶系,晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直
11、的二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在222点群和mmm点群中，分别选这三个二次旋转轴为a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个二次旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为a轴和b轴，晶格常数大小为：cab，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为正交晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。正交晶系的实例如图1-26所示。,41,图2-26 酒石酸钾钠（KNT）在非铁电相时属于222点群，其中a、b、c轴都是二次旋转轴,42,四方晶系,晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴为c轴，选一个二次轴为a轴，如果无二次轴，则选最小晶
12、胞中的两个等长轴之一为a轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。因为四方晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。四方晶系的实例如图1-27所示。,43,图2-27 四方晶系的晶轴,44,三角晶系和六角晶系,晶轴。三角晶系和六角晶系的特点是具有一个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的法线为a、b轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为=90,=120。 坐标轴（x、y、z）。通常选z轴平行于c轴，x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面。三角晶系和六角晶系的实例如图2-28和图2-29所示。,45,图2-
13、28 -石英晶体属于32点群，c轴为三次轴，a、b、d轴为二次旋转轴,46,图2-29 碘酸锂晶体属于6点群，c轴为6次旋转轴,47,立方晶系,晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为=90。 坐标轴（x、y、z）。通常选择晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。,48,X-axis,Z-axis,Y-axis,49,summary Space groups，glide and screw CrysTal axis
14、 and CarTesian axis,Case sTudy 画出七大晶系的晶轴和直角坐标轴的对应关系,50,51,晶体的弹性性质,应力、应变张量，虎克定律 弹性常数与对称性 弹性波在晶体中传播,52,压电铁电晶体是电介质，它具有介电性质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它又具有弹性性质，而压电效应就是反映了它的介电性质和弹性性质之间的耦合作用。不同晶体结构的压电铁电晶体，各向异性程度不一样，或者说独立的弹性常数的数目与晶体的对称性有关。,53,形变 deformaTion,54,55,56,57,Rigid roTaTion Through a small angle,For deformaT
15、ions iT is always nonzero,58,To Two-dimensional deformaTions:,59,60,To Three-dimensional deformaTions:,61,62,应力、应变,应变张量: sTrain Tensor 晶体中任一点的位置可以用所选定的坐标系的位置矢量来描述，它的三个分量为x1、x2、x3。当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会发生改变。设形变前的某一点的位置矢量为r，形变后为r（其分量为x1、x2、x3），由于形变这一点的位移可以用位置矢量来表示：,63,当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生变化，设最近邻的两点形变前的
16、距离为dl（分量为dxi），形变后的距离为dl（分量为dxi），因为dxi=dxi+dui，而,64,于是:,65,利用以下关系：,66,于是有:,67,最后可得到形变前后距离的变化为:,其中张量Sik由下式给出:,68,该式给出了在物体形变时，它的长度单元的改变。例如： （ui/xk），当i=k时，代表伸缩应变（纵向应变），而当ik时，代表切应变（横向应变）。 一般称Sik为应变张量元。从上式直接可以看出Sik =Ski，即应变张量是对称的。,69,在大多数情况下，应变是很小的，所以上式右方的第三项可以略去，于是应变张量元为：,70,应变张量元的矩阵形式,二级对称的张量，有六个独立元素。,71,如果用x、y、z代表位置矢量r的三个分量；u、v、w代表位移矢量u的三个分量；那么这六个张量元可写成为：,72,应变张量元的几何意义,正应变,73,体积元的体积改变量：,由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为：,74,切应变 shear,由于发生切应变，原来的正方形变成了菱形，它的边长不改变,
