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1、几何证明选讲定理大全,平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.,若将下图中的直线L2看成是平行于ABC的边BC的直线,那么可得:,推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,?,反 比,合 比,合 比,反 比,合比,1、如图：EFAB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（）,、已知在ABC中，DEBC，EFDC，那么下列结论不成立的是( ),3、如图： ABC中, DE BC，DF AC，AE=4，EC=2，BC=8，求线段BF,CF之长.,B,3,直角三角形的射影定理,选修4-1相关定理,直角三角形的射影定理,直角三
2、角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项. 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.,证明原理：相似三角形对应边成比例,练习,圆周角定理,选修4-1相关定理,圆心角：如BOA,圆内角：如BCA,圆周角：如BDA,圆外角：如BFA,角的顶点在圆周上 是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?,圆心角、圆周角、圆内(外)角,圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.,圆周角定理,分类讨论,完全归纳法,圆周角定理、圆心角定理,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.,圆周角定理推论,推论1 同弧或等弧所对的圆周
3、角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90； 90的圆周角所对的弦是直径. 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,比较ACB、ADB、AEB的大小,如果弧AB弧CD，那么E和F是什么关系？反过来呢？,O1和O2是等圆，若弧AB弧CD，则E和F是什么关系？反过来呢？,练习,1.AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，求证：ABACAEAD.,2.如图，已知AB是O的弦，半径OPAB，弦PD交AB于C，求证：PA2PCPD,3.如图，AB与CD交于圆内一点P，求证：弧AD的度数与弧BC的度数的和的一半等于
4、APD的度数.,4.ABC内接于O，弧AB=弧AC，点D是BC弧上任意一点，AD=6cm，BD=5cm，CD=3cm，求DE的长.,5.ABC中，AD、BD分别平分BAC和ABC，延长AD交ABC 的外接圆于E，连接BE，求证：BE=DE.,6.ABC内接于O，AD是O的直径，CEAD，E为垂足，CE的延长线交AB于点F，求证：AC2=AFAB.,圆内接四边形的性质与判定定理,选修4-1相关定理,圆内接四边形的性质定理,定理1：圆的内接四边形的对角互补 定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.,DB180 AC180,EABBCD FCBBAD,对角互补,外角,内对角,上述定理的逆命题
5、是否成立？,圆内接四边形的判定定理,定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论1：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论2：如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆.,证明原理：穷举法+反证法,与圆周角定理有什么关系？,若ADBABC180，则ABCD四点共圆； 若PAD=DCB，则ABCD四点共圆； 若ADB=ACB，则ABCD四点共圆；,练习,1.O1和O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，经过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F，求证：CEDF.,情况唯一吗？,
6、2.如图，CF是ABC的AB边上的高，FPBC，FQAC，求证：ABPQ四点共圆.,3.AD、BE是ABC的两条高，求证： CED=ABC.,4.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分E，且与BC、AD分别相交于F、G，求证：CFG=DGF.,5.如图，圆的直径ABCD弦，在CD延长线上任取一点E，连接AE交圆于点F，连接CF，求证：ACEFDECF.,6.如图，已知O中，AB=CD，延长BA，DC相交于P点，E为弧BD上一点，CE交BD于F，求证：(1)PA=PC；(2)ABEFBEDF.,7.如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线
7、交于点F，AED、AFB的角平分线交于点M，且EMFM，求证：四边形ABCD内接于圆.,8.如图，已知O1与O2相交于A、B两点，P是O1上一点，PA、PB的延长线分别交O2于点D、C，O1的直径PE的延长线交CD于点M，求证：PM CD.,9.如图，已知ADC中， D=90，B是AD上一点，AB是O的直径，E是CD上一点，AE交O于G，AC交O于F，求证：CFGE四点共圆.,圆的切线的性质及判定定理,选修4-1相关定理,切线的性质定理,切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.,切线判定的方法
8、,利用切线定义 利用圆心到直线的距离等于半径 利用切线判断定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,实质为三条性质：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线，知二得一,练习,1.如图，AB是O的直径， O过BC的中点D，DEAC，求证：DE是O的切线.,2.如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB.,3.如图，AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是O的切线.,4.如图，已知C=90，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于E，若BC=5，AC=12，求O的半径.,5.如图，D是O的直径AB
9、延长线上一点，PD是O切线，P是切点，D=30，求证：PA=PD.,6.如图， ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sinB=0.5，D=30，(1)求证：AD是O的切线；(2)若AC=6，求AD的长.,7.如图， 在RTABC中，C=90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB.(1)求证：AC是BDE的外接圆的切线；(2)若AD= ，AE= ，求EC的长.,弦切角的性质,选修4-1相关定理,弦切角,弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角. 要点： 顶点在圆上 一边和圆相交 一边和圆相切,EABBCD,EABBCA,极限状态,？,弦切角的性质,弦切角等于
10、它所夹的弧所对的圆周角,弦切角的性质,分类讨论,完全归纳法,练习,1.如图，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE，垂足为D，求证：AC平分BAD,E,2.如图，O和O都经过A、B两点，AC是O 的切线，交O于C，AD是O的切线，交O 于D，求证：AB2BCBD.,3.在ABC中，A的平分线AD交BC于D，O过点A，且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F，求证：EF/BC.,4.如图，已知PE切O于E，割线PBA交圆于B、A两点，(1)求证：AEPEBP；(2)若APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，求证：CEDE；CA:CE=PE:PB.,5.如图，AB为O的直
11、径，弦CD/AB，AE切O 于A，交CD的延长线于E.求证：BC2=ABDE.,6.已知：直线MN与AB为直径的半圆相切于点C，A28，(1)求ACM的度数；(2)在MN上是否存在一点D， 使ABCDACBC？为什么？,与圆有关的比例线段,选修4-1相关定理,相交弦定理,相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.,PAPB=PCPD(1),证明思路：相似三角形,推论(射影定理)：当CD为直径，ABCD时，PA2= PCPD.,特殊,问题：当点P运动到圆上、圆外时结论(1)是否还成立？,运动变化,割线定理、切割线定理、切线长定理,割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每
12、条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.,PAPB=PCPD,切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.,PT2= PAPB,极限,切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,PA=PC，PO平分CPA,极限,练习,1. 圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，PD=4PC，求CD的长. 2. 两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB延长线上的任一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD. 3. O的割线PAB交O于A、B两点，割线PCD经过圆心，已知PA=6，AB= ，PO
13、=12，求O的半径.,4. 如图，点P为O的弦AB上的任意点，连接PO，PCOP，PC交圆于C，求证： PAPB=PC2.,5.如图，O和O都经过点A、B，PQ切O于P，交O 于Q、M，交AB的延长线于N，求证：PN2NMNQ.,6.如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF/CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，求证：(1)DFEEFA；(2)EF=FG.,7.如图，AB是O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C，求证： ACAD+ BCBE=AB2.,8.如图，PA是O的切线，切点为A，过PA的中点M作割线交O于点B和C，求证：MPB=MCP.,9.如图，已知AD、BE、CF分
14、别是ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交ABC的外接圆于点G，求证：DH=DG.,10.如图， O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，弧AE=弧AC，DE交AB于点F，求证：PFPO= PAPB.,11.证明：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 即如图，证明：ABCDADBC.,12.已知PA、PB与O相切于点A、B，AC是O的直径，求证：(1)OP/BC；(2) ABAC= 2PBBC.,13.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大圆上的任意两点，过A、B分别作小圆的割线AXY和BPQ，求证： AXAY= BPBQ.,14.如图，PA切O 于点A，割线PBC交O于点B、C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证： (1)AD=AE；(2)AD2= DBEC.,
