数列不等式放缩精品

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1、. . . 1求证.简析 不等式左边=，原结论成立.2求证简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质可得 即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得令则，即递增，有，得证！ 另证： 原不等式变形为 ，令 则 ，所以 。即 是单调增函数（n=2，3，），所以 。故原不等式成立。 注：由此可得 加强命题并可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！ 注： 1985年高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑

2、用贝努利不等式的特例) 3已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！4 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年卷第22题）解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即5已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证（05年卷第（22）题）简析 当时，即 于是当时有 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散

3、的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； 引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。6设，求证：数列单调递增且 解析 引入一个结论：若则（证略）整理上式得（）以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用

4、代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文1。7设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论或再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了8设，求证.简析 观察的结构，注意到，展开得，即，得证9设数列满足

5、（）证明对一切正整数成立；（）令，判定与的大小，并说明理由（04年卷理科第（22）题）简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；法2 则10数列由下列条件确定：，（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年卷第（19）题） 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。注：本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景数列单调递减有下界因而有极限： 是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。11求证 简析 令，这里则有，

6、从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。12设，定义，求证：对一切正整数有解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有13数列满足证明（01年中国西部数学奥林匹克试题）简析 将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步： 因此对一切有14已知数列的前项和满足 （）写出数列的前3项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有（04年全国卷） 简析 （）略，（） ；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩）

7、，于是 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。15已知，求证：证明，当且仅当时等号成立16已知均为正数，求证.分析由于所证不等式两端都是幂和积的形式，且为正数，可选用商值比较法.证明为不等正数，不失一般性，设，这时，.由指数函数的性质可知，所以.即.17求证： 证明： 同理：， 三式相加：18已知函数在上有定义，且满足对任意的当时，.证明不等式.证明：令，则.令，则，故在上为奇函数.设，且由可得，则由题有，故，即，所以为 上减函数.从而函数在时，.所以，即.19若a，b，c，d是正数求证：证明：又或（利用）20当时，求证：证明：， ，且，时, 21已知数列满足求证：证明 本题通过对因

8、式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.22定义数列如下：证明：（1）对于恒有成立。 （2）当，有成立。 （3）。分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由得：， ， 以上各式两边分别相乘得： ，又， （3）要证不等式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。， ， 又， ， 原不等式得证。23 .（西城区4月）设，对于有穷数列(), 令为中的最大值，称数列为的“创新数列”. 数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”. 例如数列的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.（）若m=5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列；() 是否存

9、在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由；（）在创新阶数为2的所有数列中，求它们的首项的和.（）解：设数列的创新数列为，因为为中的最大值. 所以.由题意知：为中最大值，为中最大值， 所以，且. 若为等差数列，设其公差为d，则，且N， 当d=0时，为常数列，又， 所以数列为，此时数列是首项为m的任意一个符合条件的数列； 当d=1时，因为，所以数列为，此时数列是； 当时，因为， 又，所以，这与矛盾，所以此时不存在，即不存在使得它的创新数列为的等差数列.综上，当数列为：（1）首项为m的任意符合条件的数列；（2）数列时，它的创新数列为等差数列.24.【省2009届

10、高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.【解】（）由题意知即12检验知、时，结论也成立，故.3（）由于故.6（）（）当时，由（）知：，即条件满足；又，.取等于不超过的最大整数，则当时，.9（）当时，.由（）知存在，当时，故存在，当时，不满足条件. 12（）当时，.取，若存在，当时，则.矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.1425.【2009年市普通高等学校春季招生考试20.】设函数，

11、其中为正整数.（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；（2）证明：；（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.【解析】（1）在上均为单调递增的函数. 2分 对于函数，设 ，则 ， ， 函数在上单调递增. 4分（2） 原式左边 . 6分 又原式右边. . 8分（3）当时，函数在上单调递增， 的最大值为，最小值为. 当时， 函数的最大、最小值均为1. 当时，函数在上为单调递增. 的最大值为，最小值为. 当时，函数在上单调递减， 的最大值为，最小值为. 11分 下面讨论正整数的情形： 当为奇数时，对任意且 ， 以及 ， ，从而 . 在上为单调递增，则 的最大值为，最小值为. 14分

12、 当为偶数时，一方面有 . 另一方面，由于对任意正整数，有 ， . 函数的最大值为，最小值为. 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为. 当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. 18分26已知an=n ，求证：3证明：=1 =1 () =112327.已知i，m、n是正整数，且1imn.(1)证明：niAmiA；(2)证明：(1+m)n(1+n)m证明：(1)对于1im，且A =m(mi+1)，由于mn，对于整数k=1，2，i1，有，所以(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=mn，m2Cn2C，mmCnmC，