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1、2020/9/16,.,1,信号与系统,第一章 绪论,2020/9/16,.,2,信号与系统课程简介,1、课程地位,信号与系统课程是各高等院校电子信息工程及通信工程等专业的一门重要的基础课程和主干课程。该课程也是通信与信息系统以及信号与信息处理等专业研究生入学考试的必考课程。,2、主要研究的内容及实验安排,该课程主要讨论确定性信号和线性时不变系统的基本概念与基本理论、信号的频谱分析，以及研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本分析方法。从连续到离散、从时域到变换域、从输入输出分析到状态变量分析，共八章。,2020/9/16,.,3,1、信号与系统（第三版） 郑君里 高等教育出版社,参考书
2、目,2、Signals ,例: 判断下列系统是否为时不变系统：,解 (1)当e(t)=e1(t)时,r1(t)=te1(t),e(t)=e2(t)=e1(t-t0)时, r2(t)=te2(t)=te1(t-t0),而 r1(t-t0)=(t-t0)e1(t-t0) 由于 r2(t) r1(t-t0),所以系统是时变的。,(2)当e(t)=e1(t)时,r1(t)=sine1(t),e(t)=e2(t)=e1(t-t0)时,r2(t)=sine2(t)=sine1(t-t0),而 r1(t-t0)=sine1(t-t0) 由于 r2(t) = r1(t-t0),所以系统是时不变的。,2020/
3、9/16,.,56,（4）因果性,因果系统是指系统在t=t0时刻的响应只与t=t0和tt0时刻的输入有关.否则,为非因果系统.,.,例:,因果系统: r(t)=e(t-1) (延时系统),非因果系统: r(t)=e(t+1) (超前系统),(t=0时刻响应r(0)=e(1),它由t=1时刻的激励决定,故为 非因果系统),非因果系统: r(t)=e(2t) (时域压缩系统),2020/9/16,.,58,1.8 线性时不变系统分析方法概述,从系统数学模型求解方法来分：,从系统的数学描述方法来分：,.,第2章 连续时间系统的时域分析,2.5 零输入响应与零状态响应,2.1 、2.2、2.3 、2.
4、4系统响应的经典求解,2.6 冲激响应与阶跃响应,2.7 系统的卷积积分分析,2.8 卷积积分的性质,.,（1）元件端口的电压与电流约束关系,电网络的两个约束特性：,2.2 系统响应的经典求解,2.2.1 连续系统数学模型,.,（2） 各电路的电流、电压约束关系（即电路定律 KVL、KCL）,基尔霍夫电流定律（KCL）：在任一瞬时，流向某一结点的电流之和恒等于该结点流出电流之和，即：,基尔霍夫电压定律（KVL）：在任一瞬间，沿电路中的任一回路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和，即：,.,例2-2,根据电路形式，列回路方程,.,列结点电压方程,.,对于复杂系统，设激励信号x
5、(t)与响应函数y(t)之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述,上式就是一个常系数 n 阶线性微分方程。,2.3 用经典法求解微分方程,此方程的完全解由两部分组成，这就是齐次解和特解。齐次解应满足,.,特征方程为,1）特征根无重根，则微分方程的齐次解为,2）特征根有重根，假设 是特征方程的K重根，那么，在齐次解中，相应于 的部分将有K项,3）若 、 为共轭复根，即 那么，在齐次解中，相应于 、 的部分为,.,例2-4 ： 求下列微分方程的齐次解。,解： 特征方程为,齐次解,.,下面讨论求特解的方法，特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端，代入后的函数式称为“自由项
6、”。通常，由观察自由项试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。,自由项 特解,.,解: （1）列写微分方程式为,.,（2）为求齐次解，写出特征方程,特征根,（3）查表，得特解为,代入原方程得,齐次解,比较上述方程两边系数，并求解得,（4）完全解为,.,状态，起始状态,状态，初始条件，导出的起始状态,2.4 初始条件的确定（起始点的跳变从0-到0+ ）,在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时系统的状态决定。,.,一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：,对于具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情
7、况;,但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感， 到 状态就会发生跳变。,.,例2-7,.,根据电路形式，列回路方程,列结点电压方程,(1),（1）列写电路的微分方程,.,(2)求系统的完全响应,系统的特征方程,特征根,齐次解,方程右端自由项为,代入式(1),则系统的完全响应为,特解,.,换路前,.,因而有,由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,.,(4),求得,要求的完全响应为,.,匹配的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）,例：,2.4.2 冲激函数匹配法,该过程可借助数学描述,.,设,则
8、,代入方程,得出,所以得,即,即,方程右端含 项，它一定属于,由方程 可知,.,2.5 零输入响应与零状态响应,经典法求解系统的完全响应可分为：,完全响应=自由响应+强迫响应,系统的完全响应也可分为：,完全响应=零输入响应+零状态响应,.,初始条件：,即齐次解,的待定系数用,确定即可！,1零输入响应的定义与待定系数确定,满足方程：,故,是一种齐次解形式，即,其中，,为互不相等的n个系统特征根。,.,例： 求系统的零输入响应,解：特征方程,特征根,零输入响应,由起始条件,得零输入响应为,.,定义：起始状态为0，只由激励产生的响应,满足方程：,故,含特解,，即,2零状态响应的定义与待定系数确定,.
9、,：确定全响应的系数,：确定零输入响应的系数,：确定零状态响应的系数,.,解：,.,解得,.,1定义,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应 ， 不同，说明其系统特性不同， 冲激响应可以衡量系统的特性。,2.6.1 冲激响应,2.6 冲激响应与阶跃响应,.,响应及其各阶导数(最高阶为n次),2.冲激响应的数学模型,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),.,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于(t) 及其导数在 t0+ 时都为零，因
10、而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,不包含 及其各阶导数 包含 包含 及其各阶导数,3. h(t) 解的形式,.,解：,将 代入微分方程，并比较方程两边系数可求出：,特征方程：,齐次解：,令,则,所以,.,2.6.2 阶跃响应,系统方程的右端包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,1定义,.,2阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限 对因果系统：,
11、.,由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先将x(t)和h(t)的自变量t改成 ，即：,再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）：反褶、时移、相乘、积分。,反褶：,时移：,2.7 系统的卷积积分分析,相乘：,积分：,计算卷积积分的关键是定积分限。,.,例2-11：已知 , 求 。,解：,1）当 t 0 时，,2）当 t 0 时，,s(t) = 0,演示,.,例212：已知 ，求,解：,1）当 t 0 时，,s(t) = 0,2）当 0 t T 时，,.,3）当 t T 时，,.,2.8 卷积积分的性质,2.8.1 卷积积分的代数性质,（1）交换律,（2）分配律,分配律用于系统分析，相当于
12、并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,.,（3）结合律,结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。,2.5.2 卷积积分的微分与积分,.,2.8.3 f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广：,2.5.4 卷积积分的时移性质,.,解：f2(t) = (t)+(t-3)，则,s(t) = f1(t)*(t)+(t-3),= f1(t)*(t)+ f1(t) *(t-3),= f1(t)+ f1(t-3),.,第 3 章 傅里叶变换分析,3.4 非周期信号的频谱分析傅里叶变换,3.2 周期信号的频谱分析傅里叶变换,3.3 典型周期信
13、号的频谱,3.5、3.6 典型非周期信号的频谱,3.7、3.8 傅里叶变换的基本性质,3.6 周期信号的傅里叶变换,3.9、3.10 取样信号的傅里叶变换,.,从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。,3.2 周期信号的频谱分析傅里叶级数,任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。,3.2.1 三角形式的傅里叶级数,设周期信号为f(t
14、), 其重复周期是T1,角频率,（1）,.,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,其中,以上各式中的积分限一般取： 或,.,令,则,.,根据欧拉公式：,代入上式得：,令,则,3.2.2 指数形式的傅里叶级数,.,（3）,指数形式：,.,3.2.3 周期信号的频谱及其特点,1. 周期信号的频谱,为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。,如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 及 等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位频谱。,.,例3-1 求题图所
15、示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。,解：一个周期内 的表达式为：,.,因此,或,.,.,.,2. 周期信号频谱的特点,（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。,（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率 的整数倍上。,（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。,.,3.2.4 波形的对称性与谐波特性的关系,已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称
16、。,（1）偶函数,所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。,.,（2）奇函数,所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含正弦分量。,（3）奇谐函数,或,.,（3）奇谐函数,.,可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。,.,在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。,（4）偶谐函数,例3-2：,.,3.2.5 吉伯斯（Gibbs）现象,n=1,n=3,n=5,n=1:,n=3:,n=5:,演示,.,3.3 典型周期信号的频谱,3.3.1 周期矩形脉冲信号,(
