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1、第五章压轴题秒杀很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。关于秒杀法的最难掌握的一层,便是对于高考数学压轴题的把握。压轴题,各省的难度不一致,但毫无疑问,尤其是理科的,会难倒很多很多很多人。不过,压轴题并不是那般神秘难解,相反,出题人很怕很怕全省没多少做出来的,明白么?他很怕。那种思想,在群里面我也说过,在这里就不多啰嗦了。想领悟、把握压轴题的思路,给大家推荐几道题目。全是数学压轴题,且是理科(09的除山东的外我都没做过,所以不在推荐范围内)。08全国一,08全国二,07江西,08山东,07全国一一年过去了,很多题目都忘了,但这几道题,做过之后,虽然一年过去了,可脉络依然清晰。都是一些可以秒杀的典型
2、压轴题,望冲击清华北大的同学细细研究。记住,压轴题是出题人在微笑着和你对话。具体的题目的“精”,以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值,会在以后的视频里面讲解的很清楚。不过,我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么(难度以及要求依次增高)1: 通项公式的求法(不甚解的去看一下以前的教案,或者问老师,这里必考。 尤其推荐我押题的第一道数列解答题。 )2.: 裂项相消(各种形式的都要会)、迭加、迭乘、错位相减求和(这几个是最基本和简单的数列考察方式,一般会在第二问考)3: 数学归纳法、不等式缩放基本所有题目都是这几个的组合了,要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。开始解答题了哦,先
3、来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。这道题意义在什么呢?对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释,只能说不大。意义在于,提醒大家四个字,必须必须必须谨记的四个字:分类讨论!下面07年山东高考的这道导数题,对分类讨论的考察尤为经典,很具参考性,类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。(22)(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b0.()当b 时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;()求函数f(x)的极值点;()证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立.这道题我觉得重点在于前两问,最后一问.有点鸡肋了这道题,太明显了对吧?看压轴问的形式 , 想想我之前
4、关于压轴题思路的讲解, 看出来么?第三问其实就是直接利用第一问和第二问的结论,很明显的令 1/n 为 x这道题就出来了。这也证明了我之前对压轴题的评述吧。当然这只是例子之一了,绝大多数压轴题都是这样的。下面,下面,下面, 重点来了。大家是否眼熟这个不等式呢?ln X= X-1你可以利用导数去证明这个不等式的正确性,但我想说的是,这个小小的不等式,太有用了。什么用?将一个对数形式的函数转化为一个 X-1这样简单的线性函数, 多么漂亮的一个式子!可以说,导数不等式证明中,见到自然对数,我第一个想的就会是这个不等式,看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。这也是一种很重要而且经典的缩放!
5、 不信的话大家去看07-10年的全国各地高考题,看看有多少省用到了这个不等式的!而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法,就是用了这个不等式!再次强调:压轴题中,见到对数函数式的不等式证明,第一个要想的是这个不等式!再举几个例子:1.一个三角形的三内角成等差数列,对应的三边成等比数列,则三内角所成等差数列的公差等于_解:这个题真算的话 有点难度 也挺麻烦但考试的时候 完全可以秒杀直接特殊化为等边三角形 答案就出来了等边三角形满足题意么? 满足, 只要不违背题意 条件随你加, 随你加强所以公差为0几秒钟一道很难的题 这就是秒杀的目的所在这个题条件很强,既有角的限制又有边的限制,就说明答
6、案唯一可是,那是考试现场时的秒杀。对一道能秒杀的题,不仅要秒杀,还要真正做出来才算详解:假设A=B=CA+C=2Bb平方=ac用正弦定理得出COS(A-C)=1也可用余弦定理求出ABC。第六章再说秒杀和压轴题以下为视频讲解内容:秒杀也分几类:最常用的一般是特殊性(有些人理解的特殊值,其实特殊值也是特殊化的一种罢了,还有其实技巧不在这里,而在于这个特殊值你如何取,取得好,那叫艺术,取得不好.嗯!)第一题:AN是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和,前3n项和分别是x,y,z,则下列等式恒成立的是1.X+Y=2Y2.Y(Y-X)=Z(Z-X)3.Y平方=XZ4.Y(Y-X)=X(Z-X)如何秒杀
7、呢,很明显,取特殊值,如何取呢?以前说过,见到AN是任意等比数列的等等或者说见到任意两字的,往往就是我们发挥的地方。我们令AN=1,呵呵,很特殊了吧,还不止,我们这里再令N=1,这样题目变成什么了呢?我翻译一下:已知AN是任意等比数列,它的前1项和x,前2项和Y,前3项和是z,则下列等式恒成立的是?你猜,呵呵,这样直接可以排除2,3了,那么1,4呢?我们假设A1=1,A2=2,A3=4,这样符合题意吧?很明显1不正确,4任然正确,答案是4第二题:如图,在 中,点 是 的中点,过点 的直线分别交直线 , 于不同的两点 ,若 , ,则 的值为向量如何秒杀呢,其实就只说向量,也有两三钟秒杀的方法,我
8、觉得好用的就是特殊化+坐标化!呵呵,就是把三角形特殊化为等腰直角三角形,这意思也是任意三角形吧,按照题意,我们画出MN的直线,若 , ,根据上面的两个公式,可以求出,大家记得吗-是直线的截距式(不记得的都面壁去吧,这可是基础)根据截距式我们得出MN的直线方程为MX+NY=1,我们还有个条件没有用,直线MN过中点,明显BC中点为(1/2,1/2),对吧,带入得M+N=2这个是07年江西的一道高考题,常规方法要比这个麻烦的多,而且可能大部分同学还不会做,而换成秒杀的就是最基本的加减运算啦!其实秒杀呢,每张卷子都能用到的是那种集合,求范围等等的题目,就不举例子了!还有就是三角函数,解析几何(这个主要
9、是取特殊位置的直线),至于三角函数,也分好多种吧,比如,题目让你求一个三角函数表达式的值,而且是道选择题。比如哦:tanA*tanB+conA*sinB等等的算式吧,然后选择项里面都是常数,也就是和AB无关,那么很明显,不管AB取什么,结果都一样,这时候,我们就可以随便给AB值,就可以得出最后结果,这样的题我见过不少!上面说的都是一些简单但很常用的,难一点的应该算是变换,或者用到复指数等,比如函数旋转等等,就可以利用复向量的旋转特性去解决,哦,对了,还有一种很常用的,我随便出题:X平方+Y平方=1,求X+Y的取值范围常规的方法肯定是画图等等,或者消元了呗,但我们可以用三角函数去做,X平方+Y平
10、方=1,令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范围,明显是正负根2,是吧?一眼就看出来了,当然,一般题目不会这么简单,比如:3X平方+4Y平方=1,求X,Y取值范围,这时候画图就不好使了哦,因为不是园,但三角函数依然可以,我们令3X平方=conA平方,4Y平方=sinA平方,然后是不是和上面一样了呢!好了秒杀就这样吧!压轴题下面这道是我高考的压轴题,是道椭圆的题,不算难。大家应该知道,压轴题一般会在数列不等式,解析几何两者之间选一道,数列的也想整一道例题,可时间有限,就算了。下面是09年的山东理科数学压轴题:第一问:送分第二问: ,呵呵,我还记得在考场上,我看到 时就笑了,
11、高考题考来考去也就是这些基本的不变的东西。这个代表什么呢?这个是题眼,其实我们都很清楚。OA*OB=0(向量点乘),其实看到这里,后面的不用想也能再脑中出来一推东西,我大概说下:首先OA*OB=0,所以X1X2+Y1Y2=0明显韦达定理要用了,然后要连立直线了,比如设直线AB为:Y=KX+M(设出来这个直线的时候,脑子里面应该本能的想到一个词“分类”,就是K不存在的情况,一定要分类,给大家说,只要能分类的,一定要分类,因为每一个分类就有一定的分,我们的目的就是拿分!)然后可以得出K和M的一个等式,(有一个式子,那肯定能根据题目其它的一个条件得出另外一个式子,这两个式子联立,一般就可以做出来了)
12、哦,这个说明下,这是看到OA*OB=0后出来的一推东西,后面的还没看呢,继续看,呵呵出来了,切线,我们都知道,根据切线,肯定能得出一个等式,这样题目思路就清晰了!上面这些,大家是不是都能熟练的背下来呢,其实这道题难得不是这些,难在你是不是明白题意。还有对圆锥曲线问题,大家心里一定一定要坚定一个信念-那就是直线和曲线联立!这句话很重要,只有你能找到直线和曲线联立(一定要找对哦,比如说这道题,你总不能OA和椭圆联立吧?!只有你能想到用AB去联立,那么后面的一直到韦达定理,一般就可以得8分了。大家可能会想,谁都知道用AB联立,可是到了高考那样的氛围,你还能像平时一样大脑清醒吗?而且万一不是一条直线呢
13、等等的情况,你真不一定找到)题目还要:并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由玄长公式,对吧,因为知道了K和M的关系,所以玄长公式里面只有一个K,而K又有一定的范围,所以再结合不等式的知识,可以求出范围,当然还要考虑K不存在的情况,不然又要扣分!啰嗦了这么多,想告诉大家的:其实就是一定要有思路。思路哪里来的?是不是从OA*OB=0这里展开一系列的想法呢?可以说,思路就是一个题眼,得出一个总体框架,然后在实际做题中把各个细节填满,问题在于,你如何知道哪里是题眼?就是知道,你如何正确处理?嗯,问到点子上了,我记得我高二高三的时候,每做一道很典型的题,我都会把这道题想的很透很透,然后,闲暇时,脑子里
14、想的就是最近做过的和新学得知识,时间上了,基本上见些东西,就能本能的搜索到相应的应对方法。大家可能会问,高考题是会变的,而且数学又是一门很灵活的东西,随便一点变化,都可以出来很多很多的题目。其实高考是在变,而且变的很灵活。但是高考中更多的是不变,所谓不变就是知识点不变,考点不变(相对来说吧),以及更重要的是难题的入手点不变!或者就是说题眼不变,最多就是变个说法!就拿OA*OB=0来说,可以衍生出很多不同的说法,比如中点,角分线等等,还有比如向量AF=3FB向量,这个也是大题中常见的。这样的如何出处理?,带入坐标,会得到两个式子,这两个式子中的一个比较简单比如:X2=3X1,还有一个关于Y 的,
15、如何用,任何时候,都只用其中一个,你如果两个都用,那你就.用哪个呢?很显然啊,用X2=3X1,这个对吧,因为这个简单。然后再如何做呢?这个可以用韦达定理了吗?其实可以,只要对这个式子做几次变化,就可以用韦达定理了,从而又要联立直线。或者你可以联立后,解除X1,X2,然后带入X2=3X1,一样可以得到一个等式。我上面说的这些,都是需要你平时不断的积累!我之前说过,重复的做试卷-,要做的是什么?是像圆锥曲线,数列不等式,立体几何等等的很复杂的解答题。我高三的时候,一张卷子看过去,基本上所有题的思路都立马出来了,那时候我在干嘛?我就做圆锥计算.就是为了训练自己的卷面,速度和正确率。不知道大家有什么收获,其实每一个题目(就算是最难的数列,圆锥曲线等),都是有着明显的切入点的,所谓切入点,我觉得就是命题人和考生之间