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1、 整理者：辛国庆 电话：15148119438 邮箱： page 1 of 9 勾股定理的证明勾股定理的证明 【证法 1】 （课本的证明）【证法 1】 （课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做 三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. . 即 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 ， 整理得 222 cba. . 【证法 2】 （邹元治证明）【证法 2】 （邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角
2、形，则每个直角三角形的面积 等于 ab 2 1 . . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使 A、 E、 B 三点在一条直线上， B、 F、 C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. . RtHAE RtEBF, AHE = BEF. . AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. . HEF = 18090= 90. . 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. . 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. . HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. . 又 GHE = 90, DHA = 90+
3、 90= 180. . ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba . . 2 2 2 1 4cabba . . 222 cba. . 【证法 3】 （赵爽证明）【证法 3】 （赵爽证明） 以 a、b 为直角边（ba） ， 以 c 为斜 整理者：辛国庆 电话：15148119438 邮箱： page 2 of 9 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. . RtDAH RtABE, HDA = EAB. . HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为
4、 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. . EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 2ab . 2 2 2 1 4cabab . . 222 cba. . 【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield 证明）【证法 4】 （1876 年美国总统 Garfield 证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于 ab 2 1 . . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. . RtEAD RtCBE, ADE = BEC. .
5、AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. . DEC = 18090= 90. . DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 2 1 c . . 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. . ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2 2 1 ba . . 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba . . 222 cba. . 【证法 5】 （梅文鼎证明）【证法 5】 （梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. . 把它 们拼成如图那样的一个多边形， 使 D、 E、 F 在一条直线上. .过 C
6、 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. . D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， 整理者：辛国庆 电话：15148119438 邮箱： page 3 of 9 EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90. . 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. . ABC + CBE = 90. . RtABC RtEBD, ABC = EBD. . EBD + CBE = 90. . 即 CBD= 90. . 又 BDE = 90，BCP = 90， BC =
7、BD = a. . BDPC 是一个边长为 a 的正方形. . 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. . 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 , 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 , 222 cba. . 【证法 6】 （项明达证明）【证法 6】 （项明达证明） 做两个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 a、 b（ba） ， 斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线 上. . 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. . 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作
8、 FNPQ，垂足为 N. . BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. . QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. . 同理可证 RtQNF RtAEF. . 整理者：辛国庆 电话：15148119438 邮箱： page 4 of 9 从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明）. . 【证法 7】 （欧几里得证明）【证法 7】 （欧几里得证明） 做
9、三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点 在一条直线上，连结 BF、CD. . 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. . AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于 2 2 1 a ， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = 2 a. . 同理可证，矩形 MLEB 的面积 = 2 b. . 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 222 bac ，即 222 cba. . 【证法 8】 （利用相似
10、三角形性质证明）【证法 8】 （利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过 点 C 作 CDAB，垂足是 D. . 在ADC 和ACB 中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. . ADAC = AC AB， 即 ABADAC 2 . . 同理可证，CDB ACB，从而有 ABBDBC 2 . . 222 ABABDBADBCAC ，即 222 cba. . 【证法 9】 （杨作玫证明）【证法 9】 （杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba
11、） ，斜边长为 c. . 再做一个边长为c的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形. . 过A作AFAC， AF交GT于F， AF 交 DT 于 R. . 过 B 作 BPAF，垂足为 P. . 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. . BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. . 又 DHA = 90，BCA = 90， ABD C a c b 整理者：辛国庆 电话：15148119438 邮箱： page 5 of 9 AD = AB = c， RtDHA RtBCA. . DH = BC = a，AH = AC = b. .
12、由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. . 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. . RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. . RtDGT RtDHA . . DH = DG = a，GDT = HDA . . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. . GF = FH = a . . TFAF，TF = GTGF = ba . . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba
13、）. . 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 = abb 2 1 2 ， 985 SSS ， 8 2 43 2 1 SabbSS = 81 2 SSb . . 把代入，得 9881 2 21 2 SSSSbSSc = 92 2 SSb = 22 ab . . 222 cba. . 【证法 10】 （李锐证明）【证法 10】 （李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、 b（ba） ， 斜边的长为 c. . 做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在
14、一条直线上. . 用数字表示 面积的编号（如图）. . TBE = ABH = 90， TBH = ABE. . 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. . HT = AE = a. . GH = GTHT = ba. . 整理者：辛国庆 电话：15148119438 邮箱： page 6 of 9 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. . DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. . 即 27 SS . . 过 Q 作 Q
15、MAG，垂足是 M. . 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . . 又 RtHBT RtABE. . 所以 RtHBT RtQAM . . 即 58 SS . . 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. . AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR. . 又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. . 即 64 SS . . 54321 2 SSSSSc ， 61 2 SSa ， 873 2 SSSb ， 又 27 SS ， 58 SS ， 64 SS ， 87361 22 SSSSSba = 52341 SSSSS = 2 c， 即 222 cba. . 【证法 11】 （利用切割线定理证明）【证法 11】 （利用切割线定理证明） 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. . 如图，以 B 为圆心 a 为半径作 圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. . 因为BCA = 90，点
