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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)数 学1.设集合,则( )A.B.C.D.答案:C解析:由题可知,选C.2.( )A.B.C.D.答案:D解析:.3.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去个场馆,甲场馆安排名,乙场馆安排名,丙场馆安排名,则不同的安排方法共有( )A.种B.种C.种D.种答案:C解析:.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间,把地球看成一个球(球心记为),地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角,点处的水平面是指过点且与垂直的平面,在点处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点处的纬度为北纬,则晷针与
2、点处的水平面所成角为( )A.B.C.D.答案:B解析:如图所示,由题意可知直线与夹角,即为所求角,故选B. 5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有的学生喜欢足球或游泳,的学生喜欢足球,的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A.B.C.D.答案:C解析:由图可知,既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比,故选C.6.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数,基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间,在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数随时间(单位:天)的规律,指数增长率与,近似满足,有学者基
3、于已有数据估计出,据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加倍需要的时间约为()( )A.天B.天C.天D.天答案:B解析:,得,.7.已知是边长为的正六边形内的一点,则的取值范围是( )A.B.C.D.答案:A解析:如图,建立平面直角坐标系,由题意知,设,则,的取值范围是.8.若定义在的奇函数在单调递减,且,则满足的的取值范围是( )A.B.C.D.答案:D解析:为上奇函数,在单调递减,上单调递减.由,由,得或,解得或,的取值范围是,选D.9.已知曲线( )A.若,则是椭圆,其焦点在轴上B.若,则是圆,其半径为C.若,则是双曲线,其渐近线方程为D.若,则是两条直线答案:A、C、D解析:
4、由曲线,得其标准形式为,A中,若,则,表示焦点在轴上;B中,若,则,表示圆心在原点,半径为的圆;C中,若,则,异号,表示双曲线,渐近线方程为;D中,若,则,表示两条直线.10.右图是函数的部分图像,则( )A.B.C.D.答案:B、C解析:由图易知,则,由题意结合图像知,故,则.11.已知,且,则( )A.B.C.D.答案:A、B、D解析:,且,因为,A:,A对,B:,B对.C:,C错.D:,D对.12.信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量所有可能的取值为,且,定义的信息熵( )A.若,则B.若,则随着的增大而增大C.若,则随着的增大而增大D.若,随机变量所有可能的取值为,且,则答案:A
5、、C解析:A中:当时,则,.B中:若,由题知,B错误.C中:,随着的增大而增大,C正确.D中:令,则,此时,此时,D错误.正确选项为A、C.13.斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则 .答案:解析:由题抛物线,可知其焦点为,准线为,如图所示.作,直线准线交于点,由,倾斜角,由抛物线定义知:,又,为中点,.14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为 .答案:解析:,数列与的公共项是的非负整数倍加,即,也就是首项为,公差为的等差数列,的前项和为.15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,是圆弧与直线的切点,是圆弧与直线的切
6、点,四边形为矩形,垂足为,到直线和的距离均为,圆孔半径为,则图中阴影部分的面积为 .答案:解析:过作交于,交于,过作交于,设,由已知可得,又,解得.扇形面积,设圆孔的半径为,则半圆孔的面积为,则,阴影部分面积为,面积为.16.已知直四棱柱的棱长均为,以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为 .答案:解析:在直四棱柱中,取中点为,中点为,中点为,由题意易知,又,则面,在面内取一点,使,且,又,以为球心,为半径的球面与侧面的交线是以为圆心,以为半径的圆弧,由题意易得,故该交线长为.17.在,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值,若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:
7、是否存在,它的内角,的对边分别为,且,?答案:见解析解析:选条件,又,即,得,选条件,又,选条件,又,得,不成立.所以三角形不存在.18.已知公比大于的等比数列满足,.(1)求的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和.答案:见解析解析:(1)设公比为,解得或(舍),.(2)由(1)可得,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.19.为加强环境保护,治理空气污染,环境检测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了天空气中的和浓度(单位:),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过,且浓度不超过”的概率.(2)根据所给数据,完成下面的列联表:(3)根据(2)中的
8、列联表,判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关?附:,答案:见解析解析:(1)由表格可得浓度不超过且浓度不超过的天数有天.概率为.(2)(3).有的把握认为的浓度与浓度有关.20.如图,四棱锥的底面为正方形,底面,设平面与平面的交线为.(1)证明:平面.(2)已知,为上的点,求与平面所成角的正弦值的最大值.答案:见解析解析:(1)平面平面,平面,平面,正方形,又,平面,平面.(2)以为原点,为,轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,点坐标为,即,令,得,得,令,得,有,得,的最大值为,与平面所成角的正弦最大值为.21.已知椭圆过点,点为其左顶点,且的斜率为.(1)求的方程; (2)点为椭圆上任意一点,求的面积的最大值.答案:见解析解答:(1)根据题意,把点代入椭圆得到,设,又,代入式,求得,椭圆的方程为.(2)由题意,可知的直线方程为,设直线与椭圆相切于点,联立方程组得,得,由题意可知时,面积最大,直线与直线距离,.22.已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.(2)若,求的取值范围.答案:见解析解析:(1)当时,又,则在点处的切线方程为,即,令,则,令,则,故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.(2),即,故,令,则上式转化为,又,在单调递增,由可知总有,则,令,则,当时,此时单调递增,当时,此时单调递减,.14