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1、误差 方程求根 解线性方程组的直接法 解非线性方程组的迭代法 插值 拟合 数值积分与数值微分 概率论与数理统计问题的计算机求解 非传统解法,计算方法简略,误差,舍入误差：计算机只能存储有效数字而引起的。,数值计算的若干原则 1.避免两相近数相减去 2.避免绝对值太小的数做除数 3.要防止大数“吃掉”小数 4.简化计算步骤，提高计算效率,截断误差：由于用离散、代数的公式近似代替连续的数学 表达式时产生的。,例 二次方程求根公式中的舍入误差,比如：,精确解：,解决的方法,直接利用求根公式在计算机进行计算，得到：,产生了误差，误差是多少？,例 一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子,n越大，数列越接近
2、无理数e,产生误差的原因,当n是10的次幂时，不能使用1/2的次幂来精确表示1/n 当n很大时，由于1和1/n的有效数数位位置不匹配， 因而计算1+1/n产生的误差相对于1/n的值来说是很大 （1+1/n）n 的n次幂又放大了这种误差。,方程求根,根区间划分,不动点迭代,二分法,高斯消元法,解线性方程组的直接法,数值求解线性方程组的局限性,分解法,1. LU分解法,2 cholesky分解法,X=Ab,非线性方程组,对方程组Ax=b，如果A中的系数或b中元素依赖于一个或多个x， 那么此方程组成为非线性的,令 得到：,A(X),用迭代求解非线性系统,迭代过程：,step 1,step 2,ste
3、p 3,step 4,判断f的范数是否足够小,step 5,go to step 1,b(X),X,牛顿法 (雅可比),插 值,1 基本思想,2 任意阶的插值多项式,3 分段多项式插值,4 MATLAB的内置插值函数,单项式插值,拉格朗日插值,牛顿插值,分段线性,linterp函数,三阶样条插值,linterp2函数,1.1 插值和曲线拟合,拟合：,拟合函数与数据点不一致,插值：,插值函数要精确地经过每个已经数据点,1.2 插值和外插,线性多项式插值,二次多项式插值,插值（内插）,Matlab内置插值函数,一维插值函数,interp1,y=interp1(x,y,x1,方法),x，y ：已知数
4、据点 x1 ： 插值横坐标 方法：默认为linear（线性插值） nearest 最近点等值方式 cubic 三次Hermite插值 spline 三次样条插值,二维网络数据插值函数,interp2,z=interp2(x0,y0,z0，x1,y1，方法),x0，y0，z0 ：已知数据点 （网格形式） x1，y1： 插值（网络形式） 方法：默认为linear（线性插值） cubic 三次Hermite插值 spline 三次样条插值,什么叫“网格形式”？,x,y=meshgrid(-2:2,-1:1),x = -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2,y = -1
5、 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1,二维一般分布数据的插值问题,griddata,z=griddata (x0,y0,z0，x1,y1，方法),x0，y0，z0 ：已知数据点 x1，y1： 插值 方法：linear（线性插值） cubic 三次Hermite插值 nearest 三次样条插值 v4,美国数学建模竞赛1986年A题,下表给出在以码为单位的直角坐标为 X ,Y 的水面一点处以英尺计的水深Z,船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150） 里的哪些地方船要避免进入,high=1297.54 140141.58 108.5 286 8
6、81478 185.522.56 195137.58 105.585.58 157.5-6.59 107.5-819 7738 8156.58 162.5844 117.5-38.59 162-66.59; x=high(:,1);y=high(:,2);z=high(:,3); plot(x,y,o) % 已经数据点xoy 面分布 figure,plot3(x,y,z,*) % 已经数据点空间分布,x=high(:,1);y=high(:,2);z=-high(:,3); x1,y1=meshgrid(75:5:200,-50:5:150); z1=griddata(x,y,z,x1,y1,
7、v4); figure,surfc(z1); ii=find(z1-5); xh=x1(ii);yh=y1(ii); figure,plot(xh,yh,o),axis(75 200 -50 150),数据的最小二乘曲线拟合,1 数据的直线拟合,2 线性组合函数的数据拟合,3 多元最小拟合,1.2 超定方程组,1.4 R2 统计量 （复相关系数）,1.5 显式非线性函数的多直线拟合,例 噪声数据拟合,2 函数线性组合的最小二乘拟合,2.2 通过求解正规方程组来进行最小二乘拟合,例 交互最小二乘拟合, x=xinvpx(:,1); y=xinvpx(:,2); A=1./x x; c=(A*A)
8、(A*y), xf=linspace(min(x),max(x); yf=c(1)./xf+c(2)*xf; plot(x,y,o,xf,yf,-),2.4 多项式曲线拟合,系数返回后存放在向量p中 S: S.R 是简略QR分解中的矩阵R S.df 拟合系数的自由度数 normr 是（y-Ac）的2 范数,输入参数 c 为ployfit函数返回的多项式的系数 xf ：用于多项式求值的x值 S： ployfit 中的S 输出参数： yf ：由p组成的多项式所得到的函数值 dy：估计yf不确定性的向量,1.某游乐场新建一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，鱼塘的平均深度为6m，开始计划时每3平方米有一条鱼，并在钓鱼季节结束时所剩下鱼是开始的25%，如果一张钓鱼证可以钓鱼20条。 试问：最多可以卖出多少钓鱼证？ 鱼塘的平面图如下：（鱼塘平面图关于x轴对称）,练习,2.某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量与土豆产量的影响，做了10次实验，实验数据见下表，其中ha代表公顷，t代表吨，kg代表千克。 试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系（提示：拟合函数）,
