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1、第二章、矩 阵,一、最近八年全国研究生考试题目中本章内容分布情况,下一页,一个mn矩阵实质上是由mn个数组成的m行n列的表，它与行列式有本质的差别。 二、矩阵的运算 1、加法：A+B(同型矩阵)， 是否满足：结合律、交换律 2、乘法：AB(前列后行相同)， 是否满足：结合律、交换律 3、数乘矩阵：kA(注意与数乘行列式的差别) 4、重要性质： (AB)T=BTAT，(AB)T=ATBT，(AT)T=A,下一页,三、特殊的矩阵 行(列)矩阵、对角矩阵、上下三角阵、单位阵、零阵、数量阵(纯量阵，数与单位阵乘积的结果)、对称矩阵、反对称阵、正交矩阵、正定矩阵、可逆矩阵、初等方阵。 四、矩阵的可逆 1
2、、定义：如果AB=BA=E，则有B=A-1，A=B-1。 2、性质 (AB) -1 = B-1 A-1， (A-1) -1 =A， (A-1) T = (AT) -1 。 但是 (A+B) -1 A-1+ B-1， (AB) -1 A-1 B-1 ， |kA| k|A|。,下一页,3、对于n阶方阵，下述8条等价(判断矩阵可逆的方法)： 1)、A可逆; 2)、A的标准形式为E； 3)、 A与E等价; 4)、方程AX=0只有零解; 5)、 A为满秩阵; 6)、|A|0； 7)、0不是A的特征值。 8)、A的行(或列)向量组线性无关； 此外， 1)、分块上(下)三角形、分块对角阵，并且对角阵上的分块
3、都可逆。 2)、若A是奇数阶实反对称方阵，则A不可逆。,下一页,五、求逆阵的方法 1、已知方阵的元素，且矩阵有相当多的元素为零或是二阶方阵： 先计算|A|，然后利用伴随阵，A*A=|A|E。 2、已知方阵的元素，利用初等变换 (A，E)(E，A-1)(只能利用初等行变换) 3、看能否找出一个矩阵B，使得 AB=k E(k0) 此时 B=kA-1。 这一种方法的技巧性较强，只有“熟”才能“巧”。,下一页,六、矩阵的秩 1、行向量组的秩； 2、列向量组的秩； 3、不为零的最高阶子式的阶； 4、AB(行阶梯形)，等于B的非零行的个数； 5、maxr(A)，r(B)r(A,B)r(A)+r(B)； r
4、(AB) minr(A)，r(B) 6、r(A)=r(AT)； 7、r(A+B) r(A)+ r(B)；,下一页,七、矩阵的初等变换 作一次初等行变换左乘一个相应的初等方阵 作一次初等列变换右乘一个相应的初等方阵 八、关于伴随矩阵的一个非常重要的结论： AA*=A*A=|A|E A-1=A*/|A|,下一页,九、举例 例1、若A2+2A+3E=0，则对任意实数t，均有A+tE可逆，并求A-1。 证明：由于A2+2A=-3E，所以 (A+tE)A+(2-t)E=(A2+2A)+(2t-t2)E =-(t2-2t+3)E 设 k=-( t2-2t+3)=-(t-1) 2 +2 -2，当然k0，从而
5、 A+tE可逆，且,本例属于构造性证明。前两种方法均不能用。 当然也可以利用任意实数均不是A的特征值而 得到结论。但得不出A-1。,下一页,如果我们美食一顿之后，一定会回味无穷！觉得确实不错。这儿的“回味”就是要想一想为什么好？看一看到底味道好在什么地方。做了一道题目之后，也要总结，看你所使用的方法是否巧妙？妙在什么地方？这样才有进步。 利用本题的方法可以求解下述题目： 对于满足A2+aA+bE=0。在,下一页,时都有A+kE可逆。,例2、已知矩阵B，C，求矩阵A。其中 A(E-C-1B)TCT=E,注意：本例显然要先化简！,下一页,解：对于研究生入学考试题而言，如果只是求逆阵，肯定还要作其它
6、方面的工作！ A=(E-C-1B)TCT-1 =C(E-C-1B)T-1 = (C -B) T 1 = (CT-BT)1 剩下的自己做做看！ 本题要考试的知识点有： (AB)T=BTATATBT；(AB)T= AT BT ； (AB)-1 A-1 B-1 ； 与本题类似的题目：已知矩阵A(知道元素！)，计算(A*)T-1。,下一页,例3、设 |A|=2且A为4阶方阵，计算：,解：,本例的题型在全国考研试题中还未出现！,下一页,(2A)*=|2A|(2A)-1=24|A| A-1=16A-1,例4、设A为n阶可逆阵，将A的第i列，第j列交换，将矩阵A变换得阵B。 证明B可逆； 求B-1A。 证：
7、 设交换第i列,第j列的初等方阵为E(i,j)， 显然E(i,j)-1= E(i,j) 。 B=AE(i,j)，|B|=-|A|0，所以矩阵B可逆。 B-1A=(AE(i,j)-1A=(E(i,j)A-1)A=E(i,j)。 例5、A为n阶正交阵则AB为正交阵的充分必要条件是：B为正交阵。 (证明充分性、必要性的方法),例6、设A=(aij)为7阶非零方阵， Aij为元素aij的代数余子式，且aij = Aij。证明：A为正交阵。 证明：因为A=(aij)为非零实方阵，所以AAT的主对角线上元素至少有一个为正。又 |A|E=AA*=AAT 所以|A|0。又|A|7=|A|E|=|AAT|=|A
8、|2，即|A|5=1，所以|A|=1。即AAT=E，A为正交阵。 注意： 利用本例的方法，我们有下述更加广泛的结论： 设A=(aij)为n阶非零实方阵，n3，如果aij=Aij，则有A为正交阵。,下一页,例7、设A为n阶方阵，A2=A，AE，证明|A|=0。 分析如何证明方阵行列式等于零？知道元素如何证明？不知道元素如何证明？是否可以转化成方程组是否有非零解来做？ 证明 由于 A2=A，所以A(A-E)=0。又因为AE， 所以齐次线性方程组Ax=0有非零解，从而|A|=0。,下一页,例8、已知矩阵A的伴随矩阵是A*，,且ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B。,分析： 我们现在能够求解的矩阵方程
9、只有三种类型：,AX=B,XA=B,AXB=C,所以只有将上述等式化成三种类型之一。,下一页,解由ABA-1=BA-1+3E，两边右乘以A，得到：,AB=B+3A,两边左乘以A*，得到：A*AB=A*B+3A*A 由于A*A=|A|E，有 |A*|A|=|A*A|=|A|E|=|A|n 再由|A*|=8，n=4，得到|A|=2。故 |A|B=A*B+3|A|E，(2E-A*)B=6E，B=6(2E-A*)-1 从而,注意：如果本例题的已知是A而不是A的话，求解过程当然要简单的多！,下一页,已知矩阵 ，以及 A*BA=2BA-8E，求B。,注意：利用本例的求解方法，我们还可以求解下述题目：,下一
10、页,解 分析 本例题应该有两种方法： 法一：具体求出。 法二：利用其他技巧。 利用方法一：利用待定系数法设=(a,b,c)T，可以得到 =(1,-1,1)T或者=(-1, 1,-1)T，从而T =3。,例9(03年)已知是3维列向量，且,求T 。,。,下一页,方法二,下一页,例10、若AAT=BBT=E，|A|B|=-1，则：|A+B|=0。 证明：因为|A|2=|B|2=1， |A|B|=-1 ，所以 |AT|BT|=-1。 |A+B|=(-1)(-1)|A+B| = - |AT|BT| |A+B| = -|AT| |A+B| |BT| = -|AT(A+B)BT| = -|AT+BT| =
11、 -|A+B| 从而： |A+B|=0。,下一页,用类似方法可得： 若AAT=BBT=E,|A|B|=-1，证明A+B有特征值0； ATA=E，|A|=-1，则|A+E|=0； ATA=E，|A|=-1，则-1是A的特征值； ATA=E，|A|=-1，则0是A+E的特征值； ATA=E，|A|=-1，则|A2-E|=0、|A2+3A+2E|=0以及|A3+E|=0等等； ATA=E，|A|=-1，则0是A2-E、A2+3A+2E以及A3+E等矩阵的特征值； ATA=E，|A|=-1，则1是A2的特征值；-2是A2+3A的特征值以及-1是A3+E的特征值等等；,下一页,以下的自然数n均为奇自然数
12、。 ATA=En，|A|=1，则|A-E|=0。 ATA=En，|A|=1，则1是A的特征值。 ATA=En，|A|=1，则0是A+E的特征值。 ATA=En，|A|=1，则|A2-E|=0。 ATA=En，|A|=1，则0是A2-E的特征值。 ATA=En，|A|=1，则1是A2的特征值。 ATA=En=BTB ，|A|=|B|，则|A-B|=0。 ATA=En=BTB ，|A|=|B|，则0是A-B的特征值。,例11： 若AT=A，BT=B， 若AB无特征值-1，则(E+AB)-1A为对称阵； B(E+AB)-1为对称阵。 若AB无特征值1，则(E-AB)-1A为对称阵； B(E-AB)-
13、1为对称阵。 证明：由|E+AB|0，则 |E+BA |=|(E+BA)T|=|E+AB|0 又因为A(E+BA)=(E+AB)A，所以 (E+AB)-1A=A(E+BA)-1 又(E+AB)-1 AT=AT(E+AB)-1 T =A(E+AB) T -1 = A(E+BA) -1 = (E+AB)-1 A 说明(E+AB)-1 A为对称阵。 同理：其它几个结论也成立。,下一页,例12、证明：任何一个方阵均可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和。 分析 在高等数学中我们曾经证明过如下结论：任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和。回忆一下当时是怎么做出来的呀？怎么利用奇偶性？ 证明 假
14、设f(x)=g(x)+h(x)，其中g(-x)=g(x) (偶函数)，h(-x)=-h(x) (奇函数)。 则有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)， 当然有 g(x)=f(x)+f(-x)/2，h(x)= f(x)-f(-x)/2 同理：我们怎么利用对称性呢？ A=(A+AT)/2+ (A-AT)/2 其中 (A+AT)/2是对称矩阵； (A-AT)/2是反对称矩阵。,下一页,十、矩阵代数 f(x)为多项式，计算：f(A)。新的教材上已经讲授。请大家下来之后看一看书。,下一页,十一、08年考试题解答 1(4分)、设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵。若A3=0，则讨论矩阵E
15、-A，E+A的可逆性。 解、通过已知条件A3=0，如何联系结论E-A，E+A的可逆性。 显然必须出现A3的形式。 (E-A)(E+A+A2)=E-A3=E， (E+A)(E-A+A2)=E-A3=E， 说明E-A,E+A都可逆。 做完之后有什么感受？,十一、08年考试题解答 2(11分)、设、为3维列向量，矩阵A=T+T，T为的转置，T为的转置。 (1)证明 r(A)2； (2)若、线性相关，则r(A)2。 解 (1)因为、为3维列向量，所以r(T)1，r(T)1，从而 r(A) r(T)+r(T) 2。 (2)若、线性相关，假设=k，所以A=T+T=(1+k2)T，当然r(A)= r(T) 12。,练习题 1、设 3A2B+AB2-5E=0，证明：A、B均可逆，并且(AB)-1。 2、若存在正整数k，使得Ak=0，则对于任何不为0的实数t，A+tE可逆。 3、已知BA=BCB-1-C-1，求A，其中 4、设|A|=4，A为5阶方阵， 计算：,结束,
