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1、2.2 二项分布及其应用习题课考点总结条件概率的计算条件概率的性质和应用事件独立性的判断相互独立事件同时发生的概率相互独立事件概率的实际应用（系统可靠性问题）服从二项分布的随机变量的概率计算服从二项分布的随机变量的分布条件概率的应用【技法点拨】1.求解条件概率的一般步骤(1)表示：用字母表示有关事件;(2)求值：求P(AB)，P(A)或n(AB),n(A);(3)计算：利用条件概率公式求相应事件的概率.2.求解条件概率的两个注意事项(1)在具体的题目中,必须弄清谁是事件A,谁是事件B,即在哪个事件发生的条件下,求哪个事件的概率.(2)选择求解条件概率的计算法，以达到迅速计算的目的.题型一条件概
2、率题型一条件概率 (1)10件件产品中有2件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件已知第一次抽到的是正品，则第二次抽到次品的概率为_(2)市场上供应的灯泡中，甲厂占70%，乙厂占30%，甲厂是产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则市场上灯泡的合格率是_【变式训练】一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作5 000小时以上的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作5 000小时以上的概率.【解题指南解题指南】借助条件概率及其变形公式求解借助条件概率及其变形公式求解. .【解析解析】设设B Bi i=取到元件为取到元件为i i等品等品(i=1
3、(i=1，2 2，3)3)，A=A=取到取到元件能工作元件能工作5 0005 000小时以上小时以上 ，则，则P(A)=P(BP(A)=P(B1 1)P(A)P(AB B1 1)+P(B)+P(B2 2) )P(A|BP(A|B2 2)+P(B)+P(B3 3) )P(AP(AB B3 3)= )= 95%95%90%90%4%4%80%80%1%1%70%=070%=0894.894.【规范解答】条件概率在实际中的应用 【典例】(12分)已知男人中有5患色盲，女人中有0.25患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人.(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率.【
4、规范解答规范解答】设设“任选一人是男人任选一人是男人”为事件为事件A A，“任选一人是任选一人是女人女人”为事件为事件B B，“任选一人是色盲任选一人是色盲”为事件为事件C.C.2 2分分(1)(1)此人患色盲的概率此人患色盲的概率P=P(AC)+P(BC) =P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)P=P(AC)+P(BC) =P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)= = 6 6分分(2) (2) 1212分分 【技法点拨技法点拨】与相互独立事件有关的概率问题求解策略与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的明确事件中的“至少有一个发生至少有一个发生”“”“至多有一个发生至多有一
5、个发生”“”“恰好恰好有一个发生有一个发生”“”“都发生都发生”“”“都不发生都不发生”“”“不都发生不都发生”等词语的等词语的意义意义. .一般地，已知两个事件一般地，已知两个事件A A，B B，它们的概率分别为，它们的概率分别为P(A)P(A)，P(B)P(B)，那么：那么：相互独立事件概率的求法(1)A(1)A，B B中至少有一个发生为事件中至少有一个发生为事件A AB B；(2)A(2)A，B B都发生为事件都发生为事件A AB B；(3)A(3)A，B B都不发生为事件都不发生为事件(4)A(4)A，B B恰有一个发生为事件恰有一个发生为事件(5)A(5)A，B B中至多有一个发生为
6、事件中至多有一个发生为事件 它们之间的它们之间的概率关系如表所示：概率关系如表所示：A A，B B互斥互斥B B相互独立相互独立 P(A+B)P(A+B)P(AP(AB) B) P(A)+P(B)P(A)+P(B)0 0P(A)P(A)P(B)P(B)1-1-P(A)+P(B)P(A)+P(B)P(A)+P(B)P(A)+P(B)1 11-P(A)1-P(A)P(B)P(B)例例2 2 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶奖励一瓶”或或“谢谢谢谢购买购买”字样，购买一瓶饮料，若其瓶盖内印有字样，购买一瓶饮料，若其瓶盖内印有“奖励一瓶奖励一瓶”字字样即为中奖，中
7、奖概率为样即为中奖，中奖概率为 . .甲，乙，丙三位同学每人购买了甲，乙，丙三位同学每人购买了一瓶该饮料一瓶该饮料. .(1)(1)求三位同学都没有中奖的概率；求三位同学都没有中奖的概率；(2)(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. .【解题指南解题指南】(1)(1)直接利用相互独立事件的概率公式求解；直接利用相互独立事件的概率公式求解；(2)(2)利用互斥事件的概率求解利用互斥事件的概率求解. .相互独立事件概率的求法【解析解析】(1)(1)设甲，乙，丙中奖的事件分别为设甲，乙，丙中奖的事件分别为A A，B B，C C，则，则故三位同学都没有中奖的概
8、率为故三位同学都没有中奖的概率为 (2)(2)方法一：方法一：方法二：方法二：故三位同学中至少有两位没有中奖的概率为故三位同学中至少有两位没有中奖的概率为【典例训练典例训练】1.1.在如图所示的电路图中，开关在如图所示的电路图中，开关a a，b b，c c闭合与断开的概率都闭合与断开的概率都是是 ，且是相互独立的，则灯亮的概率是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )( )系统可靠性问题系统可靠性问题2 2在一段线路中并联着在一段线路中并联着3 3个自动控制的常开开关，只要其中有个自动控制的常开开关，只要其中有1 1个开关能够闭合，线路就能正常工作个开关能够闭合，线路就能正常工作. .假定在某段
9、时间内每个开假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是关能够闭合的概率都是0.70.7，计算在这段时间内线路正常工作的，计算在这段时间内线路正常工作的概率概率. .【解析解析】1.1.选选B.B.设开关设开关a a，b b，c c闭合的事件分别为闭合的事件分别为A A，B B，C C，则，则灯亮这一事件灯亮这一事件 ，且，且A A，B B，C C相互独立，相互独立， 互斥，所以互斥，所以= = =2.2.分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关J JA A，J JB B，J JC C能够闭合为事件能够闭合为事件A A，B B，C C由题意，这段时间内由题意，这段时间内3 3个开关是否能够闭合相
10、互之间没有影个开关是否能够闭合相互之间没有影响响. .根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3 3个开关都个开关都不能闭合的概率是不能闭合的概率是= =1-P(A)1-P(A)1-P(B)1-P(B)1-P(C)1-P(C)=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027，这段时间内至少有这段时间内至少有1 1个开关能够闭合，从而使线路能正常工个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是作的概率是1-P( 1-P( )=1-0.027=0.973. )=1-0.027=0.973.答：
11、在这段时间内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.9730.973 【技法点拨技法点拨】解决二项分布问题的两个关注点解决二项分布问题的两个关注点(1)(1)对于公式对于公式 必须在满足必须在满足“独立重复试验独立重复试验”时才能运用时才能运用, ,否则不能应用该公式否则不能应用该公式. .(2)(2)判断一个随机变量是否服从二项分布判断一个随机变量是否服从二项分布, ,关键有两点：一是对关键有两点：一是对立性立性, ,即一次试验中即一次试验中, ,事件发生与否两者必有其一；二是重复性事件发生与否两者必有其一；二是重复性, ,即试验是独立重复地进行了即试验是独立重复地进行了
12、n n次次. .二项分布问题二项分布问题【典例训练典例训练】1.1.某批数量较大的商品的次品率为某批数量较大的商品的次品率为10%10%，从中任意地连续取出，从中任意地连续取出5 5件，其中次品数件，其中次品数的分布列为的分布列为_._.2.2.袋子中有袋子中有8 8个白球，个白球，2 2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的分布列有放回时，取到黑球个数的分布列. .【解析解析】1.1.本题中商品数量较大，故从中任意抽取本题中商品数量较大，故从中任意抽取5 5件件( (不放回不放回) )可以看作是独立重复试验可以看作是独立重复试验n=5n=
13、5，因而次品数，因而次品数服从二项分布，即服从二项分布，即B(5B(5，0.1).0.1). 的分布列如下：的分布列如下：012345p p0.90.95 5 0.50.50.90.94 40.10.10.90.93 30.010.010.90.92 24.54.50.10.14 40.10.15 5 答案：答案：012345p p0.90.95 5 0.50.50.90.94 40.10.10.90.93 30.010.010.90.92 24.54.50.10.14 40.10.15 5 2.2.取到黑球数取到黑球数X X的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，2 2，3.3.又由于每次取
14、到黑球又由于每次取到黑球的概率均为的概率均为那么那么故故X X的分布列为：的分布列为： X X0 01 12 23 3p p 【典例训练典例训练】 某车间有某车间有1010台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min12 min，且开动与否是相互独立的且开动与否是相互独立的. .(1)(1)现因当地电力供应紧张，供电部门只提供现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW50 kW的电力，这的电力，这1010台机床能够正常工作的概率为多大台机床
15、能够正常工作的概率为多大? ?(2)(2)在一个工作班的在一个工作班的8 h8 h内，不能正常工作的时间大约是多少内，不能正常工作的时间大约是多少? ?二项分布的实际应用二项分布的实际应用解：每台机床正常工作的概率为解：每台机床正常工作的概率为 ，而且每台机床分，而且每台机床分“工作工作”和和“不工作不工作”两种情况，所以工作机床台数两种情况，所以工作机床台数 ，P(P(k)k) (k(k0,1,2,30,1,2,3，10)10)，(1)(1)50 kW50 kW电力同时供给电力同时供给5 5台机床开动，因而台机床开动，因而1010台机床同时开动的台机床同时开动的台数不超过台数不超过5 5台时
16、都可以正常工作台时都可以正常工作. .这一事件的概率为这一事件的概率为P(5).P(5).P(5)= P(5)= 针对训练针对训练3某某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 (1)任选1名下岗人员，求该人员参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列考点总结条件概率的计算条件概率的性质和应用事件独立性的判断相互独立事件同时发生的概率相互独立事件概率的实际应用（系统可靠性问题）服从二项分布的随机变量的概率计算服从二项分布的随机变量的分布
