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1、山东省德州市乐陵一中高中数学 3.4.3基本不等式（第3学时）学案 新人教A版必修5343基本不等式（第3课时）34*学习目标*1 会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。3开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值*要点精讲*1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；（2
2、）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y2中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.*范例分析*例1甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
3、例2某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年保险、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元。问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值。例3某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是： （1）建1m新墙的费用为a元；（2）修1m旧墙的费用为元；（3）拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m的新墙的费用为元，经讨论有两种方案： 利用旧墙一段为矩形一边；矩形厂房利用旧墙的一面边长，问如何利用旧墙建墙费用最省
4、？试比较、两种方案哪个更好 图3-1例4如图3-1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为米，高度为米，已知流出的水中该杂质的质量分数与、的乘积成反比现有制箱材料60平方米，问当，各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计）*规律总结*1应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，列出有关的不等式或函数式，再利用不等式知识求解不等式应用大致分为两类：一类是建立不等式求解或求参数取值范围问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题2对于分母是一次式，分子是二次式的分式，可令转化为形
5、式后利用基本不等式求最值*基础训练*一、选择题1.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ） A、甲 B、乙 C、一样低 D、不确定2.为适应社会发展的需要，国家决定降低某种存款的利息，现有四种降息方案.方案:先降息p%，后降息q%（其中p，q0，pq下同）；方案:先降息q%，后降息p%；方案:先降息%，再降息%；方案:一次降息（p+q）%.在上述四种方案中，降息最少的是（ ）（A）方案 （B）方案 （C）方案 （D）方案3某种汽车购车时费
6、用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车的维修费逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元，问这种汽车使用几年后报废最合算?(即汽车的平均费用为最低)()A.8年B.9年 C.10年D.11年4在与水平地面垂直的墙壁上挂有一幅矩形画，画的上下边缘在观察者水平视线上方 和处，要使观察者的视角最大，观察者与墙的距离为（ ） 5已知四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最小值为（ ）A、21 B、25 C、26 D、36二、填空题6某同学去实验室领200 g氯化钠实验室暂时只有一台受损天平（两臂不等长）实验员先将100 g的砝码放入天平左盘，称出一份氯化钠
7、，然后将100 g砝码放入天平右盘，再称出一份氯化钠这样称出的两份氯化钠质量之和_200 g在下列符号中，选择最恰当的填入：、7某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨8如果一个正方形的四个顶点都在三个形的三边上，称该正方形是该三角形的内接正方形，在锐角中，若该三角形的面积为，则当正方形的边长为 时，正方形的面积最大。三、解答题9一批救灾物资随26辆汽车从某市以V公里小时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(V / 20)2公里，那么这批物资全部到达灾区，最少
8、需要多少小时？10 某自来水厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级净水处理池（如图所示），池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一道隔墙建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元，池壁厚度忽略不计. （）设净水池的长边AB为x米，总造价为y元.写出y关于x的函数表达式.并求出当x等于多少时, 可使总造价最低?A BC D（）如果受地形限制，净水池的长和宽都不能超过14.5米，那么此时净水池的长边AB为多少米时，可使总造价最低?*能力提高*11若直角三角形周长为定值，则三角形面积的最大值为 。12某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万
9、元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益为50万元（1）问从第几年起开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：一是，年平均获利最大时，以26万元出售该船；二是，总纯收入获利最大时，以8万元出售该船问：哪种方案合算？（注：取）343基本不等式（实际应用题）例1解：（1）；（2），当时，取（千米时），；当时，取（千米时），。例2解：设使用年的总费用元，则年平均费用，当年时，年平均费用的最小值为元。例3（1）方案：修旧墙费用，拆旧墙造新墙费用为， 其余新墙费用： 总费用 ，当且仅 （2）方案，利用旧墙费用为（元） 建新墙费用为（元） 总费用为： 当x14时， 函数上为增函数，当x = 14，ymin
10、= 35 5a 采用方案更好些 例4解 设流出的水中杂质的质量分数为，由题意子 ，其中为比例系数，又根据题意可得（，），由，可得， 令，则，当且仅当，即，时取“=”，由可得，故当米，米时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小*参考答案*15 BCCAB ；3提示：设使用年的总费用为，则年平均费用，当且仅当时，等号成立。4提示：设观察者所在位置O与墙的距离为，画的上下边缘对应点A、B，则，当且仅当时，有最大值。5提示：设，则。6；720；提示：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，160，当即20
11、吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。8；提示：设正方形有一边在边上，边长为，边上的高为，则，正方形的边长为。9解：设两辆汽车的间距公里，从第一辆汽车出发到最后一辆汽车到达，所需时间，当且仅当公里/小时，取等号，故这批物资全部到达灾区，最少需要10小时。10解：（1），则当米时，可使总造价最低；（2）若限制，在上为减函数，则当米时，可使总造价最低；11设直角边长为，则，即，当且仅当时，。12解：（1）设纯收入与年数的函数关系为，则，解不等式，得，故。故从第3年开始获利。（2）方案一，年平均收入，当时取等号，此时，总收益为（万元）；方案二，当时，的最大值为万元，总收益为（万元）；比较两种方案，总收益均为（万元）但方案一只需7年时间，故方案一合算。7 / 7
