小学奥数：几何计数(三).专项练习[汇编]

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1、7- 8-3. 几何计数（三）. 题库教师版page1 of11 1. 掌握计数常用方法； 2. 熟记一些计数公式及其推导方法； 3. 根据不同题目灵活运用计数方法进行计数 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗 透分类计数和用容斥原理的计数思想 一、几何计数 在几何图形中， 有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的 个数， 若干个图分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通 过认真分析， 还是可以找到一些处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法 以及递推法等n条直线最多将平面分成 21 223(2)

2、2 nnn个部分；n个圆 最多分平面的部分数为n(n-1)+2 ；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2 部分；n个四边形 将平面最多分成4n(n-1)+2 部分 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时 需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与 各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1 个点 ( 包括两个端点 ) （或含有n个“基本线段”） ，那 么这n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n- 1)+2+1 条

3、 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有 15 条线 段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15 个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15 个，所以图中共有30 个三角形 E D C B A 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边 上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个 模块一、立体几何计数 【例 1】用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了_块 小正方体。 教学目标 例题精讲 知识要点 7-8-

4、3. 几何计数（三） 7- 8-3. 几何计数（三）. 题库教师版page2 of11 【考点】立体图形几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初试，6 题，走美杯， 4 年级，决赛，第8 题 【解 析】一共有： 3 414950 （块）。 【答案】50块 【例 2】将32个相同的小正方体拼成一个体积为 32立方厘米的长方体， 将表面涂上红漆， 然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有 个。 【考点】立体图形几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第7 题 【解析】 5 322 ， 所以这个长方体的尺寸只有1

5、1 32，1 2 16，1 48，22 8，244 五种情况，其中只有尺寸为228的长方体的表面染色后，有24个正方体有2个 面涂红，所以有 1个面涂红的小正方体有0个。 【答案】 0 【例 3】如图是一个由27 个棱长为1 的白色小正方体木块粘成的棱长为3 的正方体木块， 现任意挖去其中的3 个棱长为1 的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷 上蓝漆，那么余下的24个棱长为 1的小正方体中恰好有3面涂蓝漆的最多能有_ 个. 【考点】立体图形几何计数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第12 题 【解析】 1）角块本身为3 面暴露在外的小方块； 2）挖去外侧面中部的

6、小方块，能够增加4 块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8 块 3 面涂漆的小方块，为最优方案 3）因此挖去对称的2 块外侧中部的小方块后，将产生 16 块 3面暴露在外的小方块 4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加 3 块 3 面暴露在外的小方块，但同时 破坏原来的2 块 3 面在外的小方块. 5）所以最多有17 块 3 面涂漆的小方块 【答案】 17 模块二、几何计数的应用 【例 4】如图， 每个小正方形的面积都是l 平方厘米。则在此图中最多可以画出_ 个面积是2 平方厘米的格点正方形( 顶点都在图中交叉点上的正方形) 。 【考点】几何计数的应用【难度】 3 星【题型】填空

7、 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 每两行正方形可确定3 个面积是2 平方厘米的格点正方形, 总共有 :3 3=9(个 ) 【答案】 9 7- 8-3. 几何计数（三）. 题库教师版page3 of11 【巩固】 图中的每个小方格都是面积为1 的正方形，面积为2 的矩形有个。 【考点】几何计数的应用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第8 题 【解析】 44+35=31 【答案】31个 【巩固】 下图是由 25 个面积等于1 的小正方形组成的大正方形，图中面积是6 的长方形有 个。 【考点】几何计数的应用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四

8、年级，二试，第4 题 【解析】 每 两 行 正 方 形 可 确 定3个 面 积 是2平 方 厘 米 的 格 点 正 方 形 , 总 共 有:34224( 个) 【答案】24个 【例 5】如图所示，在边长为1 的小正方形组成的44 方格图中，共有25 个格点。在以 格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1 和3 的直角三角形共有 个。 【考点】几何计数的应用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第2题 【解析】 我们把一排连续三个正方形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方 形中直角三角形的个数就得到所求的总数：422464 （个） 【答案】64 【例 6】用 9

9、 个钉子钉成相互间隔为1 厘米的正方阵( 如右图 ) 如果用一根皮筋将适当的 三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1 平方厘 米的三角形的个数有多少？面积等于2 平方厘米的三角形有多少个？ 【解析】 面积等于 1 平方厘米的三角形有32 个面积等于 2 平方厘米的三角形有8 个 (1) 面积等于1 平方厘米的分类统计如下： 7- 8-3. 几何计数（三）. 题库教师版page4 of11 底为 2，高为 1 底为 2，高为 1 底为 1，高为 2 32=6(个) 32=6(个) 32=6(个) 底为 1，高为 2 底为 2，高为 1 底为 1，高为 2 32=6(个)

10、 22=4(个) 22=4(个 ) 所以，面积等于1 平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个) (2) 面积等于2 平方厘米的分类统计如下： 32=6(个) 12=2(个) 所以，面积等于2 平方厘米的三角形的个数有：6+2=8( 个) 【例 7】下图中的正方形被分成9 个相同的小正方形，它们一共有16 个顶点（共同的顶 点算一个），以其中不在一条直线上的3 个点为顶点，可以构成三角形在这些三 角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？ 【考点】几何计数的应用【难度】 3星【题型】解答 【解 析】1显然应先求出阴影三角形的面积 设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1

11、，阴影三角形的面积是 ? 2 3=3 2思考图中怎样的三角形的面积等于3 （1）一边长 2，这边上的高是3 的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形） 这时，长为2 的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有244=32（个）； （2）一边长3，这边上的高是2 的三角形的面积等于3 这时，长为3 的边是原正方形的 一边或平 行于一边的分割线这样的三角形有82=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复， 所以这样的三角形共有32+16=48（个） 【答案】48个 【巩固】 图中每个小正方形的边长都是l 厘米，则在图中最多可以画出面积是3 平方厘米 的格点三角形( 顶点在图中交叉点上的三角形)_

12、 个。 【考点】几何计数的应用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第11 题 【解析】 由三角形面积为3 平方厘米 , 可知三角形的底高为6，6=16=23，因为图形中 长方形的长为3 厘米，宽为2 厘米。当三角形的底=3厘米时，有42=8 种情况，； 当底 =2 厘米时，有12=2 种情况。所以，一共有8+2=10 个。 【答案】10个 【例 8】在一个圆周上有8 个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作 7- 8-3. 几何计数（三）. 题库教师版page5 of11 出个等腰三角形 【考点】几何计数的应用【难度】 4 星【题型】解答 【解 析】由于

13、 8 个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3 个点作为顶点都不能组成等边 三角形 那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角 形，圆周上有 8个顶点，所以一共有3 824个等腰三角形，而且这些等腰三角形 互不相同 ( 否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同 一个顶点， 只能是不同的顶点，这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分 析不合 ) ，所以可以作出24 个等腰三角形 【答案】 24个等腰三角形 【例 9】圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？ 【考点】几何计数的应用【难度】 4 星【题型】解答 【解 析】圆周上

14、 4 点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点问题转化 为“圆周上10 个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知 识，去掉重复的部分， 可知有： 109874321210 个所以交点有210 个 【答案】210个 【例 10】 圆周上有8个点， 两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点， 共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有_种 【考点】几何计数与找规律【难度】 4 星【题型】解答 【解 析】本题可以利用归纳的方法解决若圆周上只有2个点，只有1种连法； 若圆周上只有4个点，先选中1 个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有 1 种连法，所

15、以此时有1 22种连法； 若圆周上只有6个点，先选中1 个点，此时它可以与相邻的2 个点相连，也可以相对的1 个 点相连，若与相邻的点相连，剩下的4 个点有 2 种连法；若与相对的点相连，剩下的4 个点 只有 1 种连法，所以此时有2215种连法； 若圆周上只有8个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的2 个点相连，也可以与与它相隔 2 个点的另外两个点相连若与相邻的点相连，剩下的6 个点有 5 种连法；若与相隔两个点 的点相连，剩下的6 个点被分成两边，一边2 个点，只有一种连法，一边4 个点，有 2 种连 法所以此时共有522214种连法 【答案】14种连接法 【例 11】 九个大小相等的小

16、正方形拼成了右图现从点A走到点B，每次只能沿着小正方 形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种 走法）那么从点A走到点B共有 _种不同的走法 【考点】几何计数的应用【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初试，10 题 【解 析】路线相当于右图中从A到B的不同路线（不走重复路线），从A到C、D到B方法 都唯一，从C出发有 3 种方向，从D出发也有3 种方向（不一定是最短路线），根 据乘法原理，共有3 3 9 种不同走法。 【答案】9种 【例 12】 国际象棋中“马”的走法如图所示，位于位置的“马”只能走到标有的格 中在 55 个方格的国际象棋棋盘上（如右图）放入四枚白马（用表示）和四 7- 8-3. 几何计数（三）. 题库教师版page6 of11 枚黑马（用表示） 要求将四枚白马移至四枚黑马的位置，将四枚黑马移至四枚 白马的位置，而且必须按照国际