小学奥数：较复杂的乘法原理.专项练习及答案解析[汇编]

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1、7- 2-2. 较复杂的乘法原理. 题库教师版page 1 of 9 1. 使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2. 使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系 3. 培养学生准确分解步骤的解题能力； 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问 题的习惯 一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8 点的课， 然后得赶到黄埔去上 下午 1 点半的课 如果说申老师的家到长宁有5 种可选择的交通工具（公交、 地铁、 出租车、 自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2 种可选择的交通工具（公交

2、、地铁），同学们， 你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？ 我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔 这几个环节是必不可少 的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一 条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10 条路线但是要是老师从家到长宁有25 种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30 种可选择的交通工具，那一共有多少条线 路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原理就派上上用场了 二、乘法原理的定义 完成一件事， 这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要 先到长宁， 那么一共可以分成两个必不可少

3、的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔）， 第 1 步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，第n步有N种不同的方法那 么完成这件事情一共有ABN种不同的方法 结合上个例子， 老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2 个步骤， 第 1 步是从家到 长宁，一共5 种选择；第2 步从长宁到黄埔，一共2 种选择；那么老师从家到黄埔一共有5 2 个可选择的路线了，即10 条 三、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分N个必要步骤； 2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘 四、乘法原理的考题类型 1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题； 2、字的染色问题比

4、如说要3 个字，然后有5 种颜色可以给每个字然后，问3 个字 教学目标 知识要点 7-2-2 较复杂的乘法原理 7- 2-2. 较复杂的乘法原理. 题库教师版page 2 of 9 有多少种染色方法； 3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜 色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法； 4、排队问题比如说6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法； 5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶 数，有多少种排法 模块一、乘法原理之组数问题 【例 1 】由数字1、2 可以组成多少个两位数？ 由数字1、 2 可以组成多少个没有重复数

5、字的两位数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2 种方法；第二步确 定个位上的数字，有2 种方法根据乘法原理，由数字1、2 可以组成 22=4 个两位 数，即 11，12，21，22 组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2 种方法； 第二步确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上 不能再用，因此第二步只有1 种方法，由乘法原理，能组成21=2 个两位数，即12， 21 【答案】 4 2 【巩固】由 3、 6、9 这 3 个数字可以组成多少个没有重复

6、数字的三位数？ 由 3、6、 9 这 3 个数字可以组成多少个三位数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 分三步完成：第一步排百位上的数，有3 种方法；第二步排十位上的数，有2 种方法；第三步，排个位上的数，有1 种方法，由乘法原理，3、6、9 这 3 个数字 可以组成32 16个没有重复数字的三位数 分三步完成，即分别排百位、 十位、个位上的数字，每步有3 种方法，由乘法原理，由 3、 6、9 这 3 个数字一共可以组成3 3327个三位数 【答案】627 【例 2 】 用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个： 三位数？ 没有重复数字的三位数？ 【考点】复杂乘法

7、原理【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 组成三位数可分三步完成第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0， 所以只有4 种选择 第二步确定十位, 所有数字都可以，有5种选择；第三步确定个位，也是5种选择。 共有4 5 5100种选择。 也分三步完成第一步，百位上有4 种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数 字不能用，其他四个数字都可以，所以有4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已 使用过的数字，还有3 种选择根据乘法原理，可以组成 44 348个没有重复数字的三 位数 【答案】10048 【巩固】由四张数字卡片：0，2，4， 6 可以组成 _ 个不同的三位数。 【考点】复杂乘

8、法原理【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 千位选法有3 种，百位3 种，十位 2 种，个位1 种，乘法原理33 21=18 个 例题精讲 7- 2-2. 较复杂的乘法原理. 题库教师版page 3 of 9 【答案】 18个 【巩固】用五张数字卡片：0，2，4， 6，8 能组成 _个不同的三位数。 【考点】复杂乘法原理【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第8 题 【解析】 4 43=48 个 【答案】48个 【例 3 】 有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8现从中取出3 张卡片，并排放在一起， 组成一个三位数，问：可以组成

9、多少个不同的偶数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 分三步取出卡片 首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选 取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、8 三种不同的选择；第二步在其 余的4 张卡片中任取一张，放在最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有4 种不同的选法； 最后从剩下的3 张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有 3 种不同的选择根据乘法原理，可以组成343=36 个不同的三位偶数 【答案】 36 【例 4 】 有 5 张卡，分别写有数字2，3，4，5，6如果允许6 可以作 9 用，那么从中任 意取出 3 张卡片，并排放在一起

10、问：可以组成多少个不同的三位数？可 以组成多少个不同的三位偶数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 先考虑 6 只能当 6 的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以2 就可以了，分 三步取出卡片: 第一步确定百位，有 5 种选择； 第二步确定十位，除了百位上已使 用的数字不能用，其他 4个数字都可以，所以有4 种方法； 第三步确定个位，除了 百位和十位上已使用过的数字，还有 3 种选择 根据乘法原理， 考虑 6 可以当作9， 可以组成5432120（个）不同的三位数 先考虑 6 只能当 6 的情况，分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字 只能是偶数， 所以先

11、选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有 2、4、6 三种不同的选择； 第二步在其余的4 张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有 4 种不同的选法； 最后从剩 下的 3 张卡片中选取一张，放在百位数的位置上，有3 种不同的选择根据乘法原理，6 只 是 6 时，可以组成3 4336（个）不同的三位偶数这时候算所求的三位偶数并不是简 单乘以 2 就可以的， 因为如果个位是6 的话变成 9 就不再是偶数， 多乘的还需要减去，个位 是 6 一共有 4312（个）不同的三位偶数，所以，可以组成3621260（个）不同的 三位偶数 【答案】12060 【例 5 】 用 1、2、3 这三个数字可以组成多少

12、个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排 列， 213 是第几个数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 排百位、十位、个位依次有3 种、 2 种、 1 种方法 , 故一共有321=6( 种) 方法 , 即可以组成6 个不同三位数 . 它们依次为123,132,213,231,312,321 故 213是第 3 个数 【答案】 6 个；第 3 个 【巩固】有一些四位数，它们由4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这4 个数字和等 于 12. 将所有这样的四位数从小到大依次排列，第35 个为 【考点】复杂乘法原理【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 4 个互不相同且不为0

13、 的数字之和等于12， 只有两种可能： 1+2+3+6或者 1+2+4+5 根 据乘法原理，每种情况可组成43 21=24 个不同的四位数，一共可组成48 个 7- 2-2. 较复杂的乘法原理. 题库教师版page 4 of 9 不同的四位数 要求从小到大排列的第35 个数， 即求从大到小排列的第14 个数我 们从千位最大的数开始往下数：千位最大可以取6，而千位是6 的数共有32=6 个；接下来是5，千位为5 的数也有6 个所以第13 个数应为4521，第 14 个是 4512，答案为4512 【答案】 4512 【例 6 】 对于由 15 组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那

14、么可以进 行如下的一次置换操作：记首位数字为k， 则将数字k 与第 k 位上的数字对换 例 如，24513 可以进行两次置换：245134251312543可以进行4 次置换的五位 数有个 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，12 题 【解 析】要进行4次置换， 设首位为 a ( a 不为 1， 有4种选择 ) ， 那么第 1次与 a 置换的第 a 位 上的数可能为1和 a ，有3种选择；设与a 置换的为b，现在b在首位，此时要与b 置换的第 6位上的数可能为1， a，b，有2种选择；设与b置换的为 c ，则此时 c 在首位，那么此时与c 置换的数组成为1， a，b

15、， c ，只有 1种选择；设为d，那 么最后只能是d与 1置换 . 所以要进行4次置换共有432 124种方法，那么共 有24个数可以进行四次置换. 另解： 也可以反过来考虑，进行4次置换后，2，3，4，5四个数分别在第2，3， 4，5位上，那么 1只能在首位上， 故经过4次置换后得到的数必定是12345. 1与2， 3，4，5中的某个数置换一次有4种选择，这个数与其它的3个数置换有3种选 择也可以得到符合条件的数有 43 2124个. 【答案】24个 【例 7 】 将 1332，332，32，2 这四个数的10 个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多 的数的最小数码，共有多少种不同的划法？

16、【考点】复杂乘法原理【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑从位数最多的1332 开始： 划掉 1332 中的 1，剩下 332，332，32，2 四个数； 划掉位数最多的332 中的 2，有 2 种不同的顺序，划掉后剩下33，33，32，2 四 个数； 划掉 32 中的 2，剩下 33，33，3，2； 两个 33 中，各划掉一个3，有 42=8 种划掉的顺序，之后剩下3，3，3，2 四 个数； 划掉 2 后，剩下3，3，3，有 3 2=6 种划掉的顺序 根据乘法原理，共有不同的划法：28 6=96 种 【答案】 96 种 【巩固】一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就 称它“吃掉”另一个三位数，例如：532 吃掉 311，123 吃掉 123，但 726 与 267 相互都不被吃掉问：能吃掉678 的三位数共有多少个？ 【考点】复杂乘法原理【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 即求百位数不小于6，十位数不小于7，个位不小于8的自然数百位数