《小学奥数：约数与倍数(三).专项练习及答案解析[汇编]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数：约数与倍数(三).专项练习及答案解析[汇编]（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5-4-3. 约数与倍数（三）. 题库教师版page 1 of 12 1.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质 的应用。 2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （ 2） 整 数 唯 一 分 解 定 理 ： 让 学 生 自 己 初 步 领 悟 “ 任 何 一 个 数 字 都 可 以 表 示 为 . 的结构，而且表达形式唯一” 一、约数、公约数与最大公约数概念 (1) 约数 : 在正整数范围内约数又叫因数, 整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b 就叫做a的约数
2、； (2) 公约数 : 如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3) 最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1 求最大公约数的方法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来 例如：23137 11， 22 252237 ，所以 (231,252)3721； 短除法： 先找出所有共有的约数，然后相乘 例如： 21812 3 96 32 ，所以 (12,18)236 ； 辗转相除法： 每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公 约数 用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大
3、的一个数，得 第一个余数； 再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数； 又用第二个余数除第一个余数， 得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0 为止那么，最后一 个除数就是所求的最大公约数( 如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的) 例如，求600 和1515 的最大公约数：15156002315L；6003151285L； 315285130L；28530915L；30 1520L；所以 1515 和 600 的最大公约数是15 2 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； 几个数都乘
4、以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n 3 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各 个分数的分子的最大公约数b； b a 即为所求 知识点拨 教学目标 5-4-3. 约数与倍数（三） 5-4-3. 约数与倍数（三）. 题库教师版page 2 of 12 4 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1) 倍数 : 一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2) 公倍数 : 在两个或两个
5、以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫 做它们的公倍数 (3) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法； 例如：23137 11， 22 252237 ，所以 22 231,252237112772 ； 短除法求最小公倍数； 例如： 21812 3 96 32 ，所以18,12233236； , ( , ) ab a b a b 2. 最小公倍数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积 两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数 3
6、. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最 大公约数b； b a 即为所求例如： 353,515 , 4 12(4,12)4 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数. 例如： 1,4 1 4 ,4 2 32,3 4 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 m 为A、B的最大公约数，且Ama，Bmb，那么ab、互质，所以A、B
7、的 最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ABma mbm mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数 的积； 最大公约数是A、B、AB、AB及最小公倍数的约数 2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ( , ) , a ba bab ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 5-4-3. 约数与倍数（三）. 题库教师版page 3 of 12 a) 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如： 567210，210 就是 567 的最小公倍数 b) 偶奇偶，
8、那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2 倍 例如：678336，而 6,7,8的最小公倍数为3362168 性质（ 3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间 的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求约数个数与所有约数的和 1 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数( 次数 ) 加 1 后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为 32 257 ，所以它的约数有(3+1) (2+1) (1+1)=4 32=24 个。 ( 包括 1 和 1400 本身 ) 约数个数的计算公式是本讲的一
9、个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是 建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很 复杂， 建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型 考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将 原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至 这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的 和。 如： 33 210002357，所以 21000 所有
10、约数的和为 2323 (1222 )(13)(1555 )(17)74880 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学 生找规律性的记忆即可。 模块一、运用大公约和小公倍的模型解题 如果 m 为A、B的最大公约数，根据模型知道： （1）且Ama，Bmb （2）那么ab、互质 （3）所以A、B的最大公约数为m ，最小公倍数为mab （4）最大公约数与最小公倍数的成绩为A与B的成绩 【例 1 】 甲数是 36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 2 星【题型】解答 【解 析】法 1： 根据
11、两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，有：甲数乙 数4288，所以，乙数42883632； 法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数49，设乙数4 b，则 ( ,9)1b因 为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288 49b，得8b 所以，乙数 4832 【答案】 32 例题精讲 5-4-3. 约数与倍数（三）. 题库教师版page 4 of 12 【巩 固】已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，若A=90，则B= 。 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第5 题， 5 分 【解析】 根据最小公倍数最
12、大公约数AB，知道，180 309060B 【答案】60 【例 2 】 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 3 星【题型】解答 【解 析】由于两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，可以得到， 最大公 约 数 是240604， 设 这 两 个 数 分 别 为4a、4b， 那 么 ( , )1a b， 且 60415ab，所以 a 和b可以取 1 和 15 或 3 和 5 ，所以这两个数是4 和 60 或 12 和 20 【答案】这两个数是4 和 60 或 12 和 20 【例 3 】 两个自然数的和是50，它们的最大公
13、约数是5，试求这两个数的差 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 3 星【题型】解答 【解 析】设这两个自然数为：5ab、5，其中 a 与b互质，5550ab，10ab，经检验， 容易得到两组符合条件的数：9 与 1 或者 7 与 3于是，所要求的两个自然数也有 两组： 45 与 5，35 与 15它们的差分别是：45540，351520所以，所求 这两个数的差是40 或者 20 【答案】这两个数的差是40 或者 20 【巩 固】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 3 星【题型】解答 【解 析】125255，514
14、23，两数可以为25、100 或者 50、75 【答案】两数可以为25、100 或者 50、75 【例 4 】 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 3 星【题型】解答 【解 析】假设这两个数是21a和21b，易得21126ab，所以6ab，由 a 和b互质， 那么就有61 623两种情况所以甲、乙是：21 121，21 6126或 21 242，21 363两种情况它们的和是147 或 105 【答案】和是147 或 105 【巩 固】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数 【考点】运用大
15、公约和小公倍的模型解题【难度】 3 星【题型】解答 【解 析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的 商，120430，将 30 分解成两个互质的数之积：1 和 30，2 和 15，3 和 10，5 和 6，所以这两个数为4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24 【答案】两个数为4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24 【例 5 】 甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是 1 1 8 . 乙数是 _. 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 2 星【题型】填空 【解 析】
16、由( 甲，乙 ) 7，且甲：乙9:8，由于 8 与 9 互质，所以乙数8756. 【答案】 56 【例 6 】 已知正整数a、b之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105 倍，那么 5-4-3. 约数与倍数（三）. 题库教师版page 5 of 12 a、b中较大的数是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 4 星【题型】解答 【解 析】设ab，有120ab，又设 ()a bd,， apd ， bqd ， (, )1p q，且pq， 则 , a bpqd ， 有105pqdd ， 所以105357pq 因为()120abpq d， 所以 ()p q 是 120 的约数 若105p，1q，则104pq，不符合； 若35p，3q，则32pq，不符合； 若21p，5q，则16pq，不符合； 若15p，7q，则8pq，符合条件 由 ()8120pq dd，得15d，从而a、b中较大的数1515225apd 【答案】 225 【例 7 】 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为
