《小学奥数：中国剩余定理及余数性质拓展.专项练习及答案解析[汇编]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数：中国剩余定理及余数性质拓展.专项练习及答案解析[汇编]（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展. 题库教师版 page 1 of 12 1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理 2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 一、中国剩余定理中国古代趣题 （1）趣题一 中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二， 五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说， 每 3 人一列余 1 人、 5 人一列余2 人、 7 人一列余4 人、 13 人一列余6 人。刘邦茫然而
2、不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人 一列都剩3 人，则兵有多少？ 首先我们先求5、 9、13、 17 之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17 为两两互质 的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得 9948（人） 。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后， 以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解 法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数 学中占有一席非常重要的地位
3、。 （2）趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的 优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3 所得的余数用70 乘 五树梅花廿一枝，是说除以5 所得的余数用21 乘 七子团圆正月半，是说除以7 所得的余数用15 乘 除百零五便得
4、知，是说把上面乘得的3 个积加起来， 减去 105 的倍数， 减得差就是所求 的数 此题的中国剩余定理的解法是：用70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的余数，把这3 个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍 比 105 大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求也就是2703212 15233， 233 105128，128 10523 为什么 70，21，15，105 有此神奇效用？70， 21，15，105 是从何而来？ 知识点拨 教学目标 5-5-4. 中国剩余定理 及余数性质拓展 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展.
5、题库教师版 page 2 of 12 先看 70，21，15，105 的性质： 70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以70a是一个被3 除 余a而被 5 与 7 整除的数； 21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此21b是被 5 除余b，被 3 与 7 整除的数； 同理 15c是被 7 除余c， 被 3、 5 整除的数， 105 是 3， 5， 7 的最小公倍数 也 就是说，702115abc是被 3 除余a，被 5 除余b，被 7 除余c的数，这个数可能是解答， 但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国
6、剩余定理来解 答 二、核心思想和方法 对于这一类问题， 我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就 以孙子算经中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3， 5，7 后，得到三个余数分别为2，3， 2. 那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3 余 1，并且还是5 和 7 的公倍数。 先由5735，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看35 除以 3 余 2，不符合要求，那么 就继续看5 和 7 的“下一个”倍数35 270是否可以，很显然70 除以 3 余 1 类似的，
7、我们再构造一个除以5 余 1，同时又是3 和 7 的公倍数的数字，显然21 可以 符合要求。 最后再构造除以7 余 1，同时又是3， 5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然 数可以这样计算： 2703212453,5,72333,5,7kk，其中k是自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我 们就能找到所求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算27032124523,5,723 得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23 加上 3,5,7即可，即23+10
8、5=128。 模块一、余数性质综合 【例 1 】 一个数除以3 的余数是2，除以5 的余数是1，则这个数除以15 的余数 是。 【考点】余数性质综合【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛， 8 题 【解析】 除以 3余2的数有： 2、5、 8、11、 14L L 除以 5 余 1 的数有： 1、6、11、16、21L L 观察得到符合条件的答案是11 【答案】11 【例 2 】 有一群猴子正要分56 个桃子每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时又窜 来 4 只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一 个桃子则最后每只猴子分到桃子_个。 【考点】余数
9、性质综合【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19 题， 6 分 【解析】 56 的约数有： 1、2、 4、7、8、14、28、56, 55的约数有： 1、5、11、55， 其中只有11=7+4，所以原来有7 只猴，后来有11 只猴，每只猴子分到5511=5 个. 例题精讲 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展. 题库教师版 page 3 of 12 【答案】5 【巩 固】一群猴子分桃，桃子共有56 个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要 分桃时，又来了4 只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数 量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。 【考点
10、】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7 题， 4 分 【解析】 56 的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4 和 8 相差 4，所以最后有猴 子 8 只，每只猴子分到5687 个桃子。 【答案】7 【例 3 】 一个小于200 的数，它除以11 余 8，除以 13 余 10，这个数是几？ 【考点】余数性质综合【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 根据总结， 我们发现这两个除数与余数的差都等于118=1310=3，观察发现这个 数加上 3后就能同时被11 和 13 整除 , 所以 11 、 13=143 ， 所以这个数是143-3=1
11、40 。 【答案】140 【巩 固】不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5 人，其他人按8 人一 组围在外圈；另一种是中间一组8 人，其他人按5 人一组围在外圈。问最多有多 少名同学 ? 【考点】余数性质综合【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第10 题 【解析】 此题实际是一个不足100 的整数，减去5 能被 8 整除，即除以8 余 5，减去 8能被 5 整除，即除以5 余 3，求其最大值。13 除以 8 余 5，除以 5 余 3，8 和 5 的最小 公倍数为40，1324093，为满足条件的整数，即最多有93 名同学。 【答案】93 【例 4 】 5
12、年级 3 班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人， 排成 6 排多 5 人，问上体育课的同学最少_人。 【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】小数报，初赛 【解析】 题意相当于：除以3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，这样我们根据总 结知道都只能“凑缺” ，所以都缺1，这样班级人数就是3 、4、5、6-1=60-1=59 人。 【答案】59 【巩 固】有一个自然数，除以2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5， 则这个数最小是。 【考点】余数性质综合【难
13、度】 2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7 题， 10 分 【解析】 这个数加 1 能同时被2，3，4，5，6 整除，而 2 ，3，4，5，6=60 所以这个数最小是 60 1=59。 【答案】59 【巩 固】 n 除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4， L ，除以16余15。 n最小 为。 【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第1 题， 8 分 【解析】n加上1后变成116的公倍数，所以1n最小为16 95711 13720720， n 5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展. 题库教师版 page 4 of 1
14、2 最小为 720719。 【答案】 720719 【巩 固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1 人拿 3 个动物小玩具，则最后余 下 2 个动物小玩具； 若 1 人拿 4 个动物小玩具， 则最后余下3 个动物小玩具；若 1 人拿 5 个动物小玩具，则最后余下4 动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿 了_个动物小玩具。 【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第9题 【解析】 那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5 整除，能同时被 3,4,5 整除最小整数 位60。所以这次活动小朋友至少拿了59个玩具。 【答案】59 【巩 固】小朋友们
15、做游戏，若3 人分成一组，则最后余下2 人；若 4 人分成一组，则最后 余下 3 人；若 5 人分成一组，则最后余下4 人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。 【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15 题， 6 分 【解析】 这个数除以3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，那么加上一个人这些小朋友的数量 能整除 3、4、5，3 45=60，那么小朋友至少59 人 【答案】59 【例 5 】 一个自然数被7， 8，9 除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求 这个自然数 【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】解答 【解
16、析】 这个数被 7，8，9 除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6 后能被 7，8，9 整 除，而7,8,9504 ，所以这个数加上6 后是 504 的倍数由于这个数被7，8，9 除的三个商数的和是570，那么这个数加上6 后被被 7，8，9 除的三个商数的和是 5701 11573，而 504950485047787989191，573 1913， 所以这个数加上6 等于 504 的 3 倍，这个数是 504 361506 【答案】1506 【例 6 】 数 119 很奇特：当被2 除时，余数为1；当被 3 除时，余数为2；当被 4 除时， 余数为 3；当被 5 除时，余数为4；当被 6 除时，余数为5问：具有这种性质的 三位数还有几个？ 【考点】余数性质综合【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 1， 2， 3， 4， 5， 660 三位数中60 的倍数 15 个 所以，除了 119 外， 还有15 114 （个） 【答案】14 【巩 固】有一批图书总数在1000 本以内，若按24 本书包成一捆，则最后一捆差2 本；若 按 28
