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1、第 1页 （共 9页） 2000 年全国普通主等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类） 考生注意：本试卷共有22 道试题，满分150 分 一、填空题（本大题满分为48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分， 否则一律得零分。 1已知向量OA(1，2)、OB=(3，m)，若OAOB，则 m=。 2函数， x x y 3 12 log2 的定义域为。 3圆锥曲线 tgy x 3 1sec4 的焦点坐标是。 4计算： n n n ) 2 (lim=。 5 已 知bxf x 2)(的 反 函 数 为)(),( 11 xfyxf若的 图 象 经 过 点)2, 5(Q，
2、则 b=。 6根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成GDP(GDP 是指国 内生产总值 )4035 亿元， 2000 年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自 然增长率将控制在0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超 过 1999 年的 2 倍，至少需年。 （按： 1999 年本市常住人口总数约1300） 7命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱 锥， 命题 A 的等价题B 可以是：底面为正三角形， 且的 三棱锥是正三棱锥。 8设函数)(xfy是最小正周期为2 的偶
3、函数， 它在区间 0，1上的图象为如图 所示的线段AB，则在区间 1，2上)(xf=。 9在二项式 11 )1(x的展开式中，系数最小的项的系数为， （结果用数值表 示） 10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面，在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1、2 和 3， 现任取出3 面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。 11在极坐标系中，若过点(3， 0)且与极轴垂直的直线交曲线BA,cos4于两点，则 AB。 12在等差数列 n a中，若0 10 a，则有等式 ),19( 192121 Nnnaaaaaa nn 成立，类比上述性质，相应地：在等此数列 n b中，若1 9 b ，则有等式成立。 二
4、、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论， 其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、 第 2页 （共 9页） 选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13复数的三角形式是是虚数单位 )( 5 sin 5 (cos3iiz ). 5 6 sin 5 6 (cos3)(), 5 4 sin 5 4 (cos3)( ). 5 sin 5 (cos3)(), 5 sin() 5 cos(3)( iDiC iBiA 答（） 14设有不同的直线a、b和不同的平面a、，给出下列三个
5、命题： （ 1）若aa /，ab /，则ba /。（2）若aa /，/a，则/a。 （ 3）若a,，则/a。 其中正确的个数是 （ A） 0（B）1（C）2（D）3 答（） 15若集合TsRxxyyTRxyyS x 则., 1|.3| 2 是： (D)(C)T.(B)S.)(有限集A. 答（） 16下列命题中正确的命题是 （ A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则 5 52 sin a。 （ B）同时满足 2 3 cos, 2 1 sinaa的角a有且只有一个。 （ C）当1a时，)(arcsin atg的值恒正。 （ D）三角方程3) 3 (xtg的解集为Zkkxx,|。 答（）
6、 三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。 17 （本题满分12 分） 已知椭圆C的焦点分别为)0,22()0,22( 21 FF和，长轴长为6，设直2xy交椭圆C于 A、B两点，求线段AB的中点坐标。 解 18 （本题满分12 分） 如图所示四面体ABCD 中， AB、BC、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2 ，E 是 AC 中 点，异面直线AD 与 BE 所成的角的大小为 10 10 arccos，求四面体ABCD 的体积。 解 第 3页 （共 9页） 19 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分。已知
7、函数 , 1 , 2 )( 2 x x axx xf。 （ 1）当 2 1 a 时，求函数)(xf的最小值： （ 2）若对任意0)(,1 xfx恒成立，试求实数a的取值范围。 解（ 1） 解（ 2） 20 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分 10 分。 根据指令),(r)180180,0(r ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度 （为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转） ，再朝其面对的方向沿直 线行走距离r。 （ 1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移 动到点（ 4，4） 。 （ 2
8、）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐 标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2 倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小 球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。 解（ 1） 解（ 2） 21 （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6分，第 3 小题满分 6 分。 在 XOY 平面上有一点列,),(,),(),( 222111nnn baPbaPbaP对每个自然数n，点P，位于 函数)100() 10 (2000 2 a a y的图象上，且点 n P，点)0.1(
9、)0,(nn与点构成一个以 n P为顶点 的等腰三角形。 （ 1）求点 n P的纵坐标 n b的表达式。 （ 2）若对每个自然数n，以 n b， 21,nn bb为边长能构成一个三角形，求a取值范围。 （ 3）设. 21NnbbbBnn ，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 nB 的最 大项的项数。 解（ 1） 解（ 2） 解（ 3） 第 4页 （共 9页） 22 （本小题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满 分 8分。 已知复数yxyxiyxwyixzmmiz,),0(1 0 其中和均为实数，i为虚数单 位，且对于任意复数|2
10、| , 0 zwzzwz 有。 （ 1）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式； （ 2）将(x、y)作为点P的坐标， (x、y)作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上 点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q， 当点P在直线1xy上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； （ 3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试 求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。 解（ 1） 解（ 2） 解（ 3） 第 5页 （共 9页） 2000年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准 说明 1本解答
11、列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标 准的精神进行评分。 2评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当 考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的 概念性错误，就不给分。 3第 17 至第 22 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分 或扣分均以1 分为单位。 解答 一、 （第 1 题至第 12 题）每一题正确的给4 分，否则一律得零分。 1 4 2 )3,
12、 2 1 (3 ( 4 ， 0) ， (6 ， 0) 。4 2 e。 51697侧棱相等 /侧棱与底面所成角相等/8X9462。 10 14 1 113212),17( 172121Nnnbbbbbbnn 二、 （第 13 题至第 16 题）第一题正确的给4 分。 题号13141516 代号CAAD 三、 （第 17 题至第 22 题） 17解设椭圆 C 的方程为)(21 2 2 2 2 分 b y a x 由题意1,22,3bca于是 )(41 9 2 2 分的方程为椭圆y x C ,0273610 1 9 2 2 2 2 xx y x xy 得由 因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆有
13、两个不同交点，（ 8 分） 设 )(12) 5 1 , 5 9 ( , 5 18 ),(),( 21 2211 分的中点坐标为故线段 则 设 AB xx yxByxA 18解法一 如图建立空间直角坐标系（ 2 分） 由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1， 1，0)。设 D 点的坐标为 (0，0，z)0(z， 第 6页 （共 9页） 则 )10(,4, 4 , 10 1 4 2 cos , 10 10 arccos ,2cos42,BE )(6,2, 0,0 , 1 , 1 2 2 2 分的长度是故得 所成的角的大小为与且 则所成的角为与设 分 BDz z BEAD zBEADA
14、D zADBE 又 )(4, 3 8 , 6 1 分的体积是因此四面体 ABCD BDBCABVABCD 解法二 过 A 引 BE 的平行线， 交与 CB 的延长线于F， DAF 是异面直线BE 与 AD 所成的角， DAF= 10 10 arccos（ 4 分） E 是 AC 的中点， B 是 CF 的中点， AF=2BE=22。（ 6 分） 又 BF，BA 分别是 DF，DA 的射影，且BF=BC=BA 。 DF=DA 。（ 8 分） 三角形 ADF 是等腰三角形，20 cos 1 2DAF AF AD， 故4 22 ABADBD，（ 10 分） 又BDBCABVABCD 6 1 ， 因此
15、四面体ABCD 的体积是 3 8 ，（ 12 分） 19解（1）当2 2 1 )(, 2 1 x xxfa时， )(xf在区间), 1 (上为增函数，（ 3 分） )(xf地区间), 1 (上最小值为 2 7 ) 1(f，（ 6 分） （ 2）解法一 在区让), 1(上， 020 2 )( 2 2 axx x axx xf恒成立 恒成立，（ 8 分） 设),1 (,2 2 xaxxy， 1)1(2 22 axaxxy递增，当1x时，ay3 min ，（ 12 分） 于是当且仅当03 minay时，函数0)(xf恒成立， 第 7页 （共 9页） 故3a。（ 14 分） （ 2）解法二 , 1 ,
16、2)(x x a xxf，当0a时，函数)(xf的值恒为正，（ 8 分） 当0a时，函数)(xf递增，故当axfx3)(,1 min 时，（ 12 分） 于是当且仅当03)( min axf时，函数0)(xf恒成立， 故3a。（ 14 分） 20解（1）45,24r，得指令为45),24(，（ 4 分） （ 2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球（ 6 分） 则 因 为 小 球 速 度 是 机 器 人 速 度 的 2 倍 ， 所 以 在 相 同 时 间 内 有 22 )40()4(|17|xxx，（ 8 分） 。 即0161123 2 xx，得 3 23 x或7x， 要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7x， 故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球，（10 分） 所给的指令为)13.98,5(，（14 分） 21解（1）由题意， 2 1 nan ， 2 1 ) 10 (2000 n n a b，（ 4 分） 解（ 2）函数)100() 10 (2000a a y n 递减， 对每个自然数n，有
