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1、,第一章 数学模型,一. 模 型,为了一定的目的，人们对原型的一个抽象,二. 数 学 模 型,通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。,。例1：牛顿定律,假设： 1.物体为质点，忽略物体的大小和形状。 2.没有阻力、摩擦力及其他外力。 令x(t)表示在t时刻物体的位置, 则,例2：哥尼斯堡七桥问题,1736 Konigsberg Pregel Euler,数学模型,数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁 在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。,三. 数 学 模 型 的特征,1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。 2.
2、应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。 3. 综合性：数学知识的综合。模型的综合。,四. 模 型 举 例,例 1. 管道包扎 问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。 假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工,包扎时不减断带子.,问题：用带子缠绕包扎管道，使带子全部包住管道，且互不重叠。 参量、变量： W：带宽，C：截面周长，：倾斜角 模型（倾斜角模型） 讨论： 1. 实用么？ 2. 深刻么？,模型（截口模型）,讨论 1. 实用性 2. 深入分析,例题,已知: 管长 L, 管粗 C, 带宽 W, 求带长 M？
3、,若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm 则有 M= (300.5/0.3)+ 0.4 = 50.4(m),问题:,若有带长 M1=51m，缠绕包扎上面的管道。 多余的 60 cm 带子不打算裁掉。缠绕时允许带子互相重叠一部分。 应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001),例2. 地面上的方桌 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？ 假设： 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。 2.地面的起伏是连续变化的。 模型： 1. 如何用描述“桌子的四个脚同时着地”？ xA: A与地面的距离，xB、xC、xD。,2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着
4、地？ 定位：中心O位于坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 ：AC与X轴的夹角。 0 0+ 900= 1. xA( ) 表示在位置 时，桌脚 A 与地面的距离。 同样 xB( ), xC( ), xD( ).,令 f()= xA( ) + xC( ), g()= xB( )+ xD( ) 则有 f(), g()连续且 f() g()0. 桌子在位置 * 四脚落地,则有f(*) = 0, g(*) = 0. 若 f(0) = 0, g(0) 0, 则有 f(1) 0, g(1) = 0 令 h() = f() - g(), 则有 h() 连续且 h(0) 0.,问题： 1. 将例2 的假设1 改为
5、“方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形”， 试构造数学模型证实结论同样成立。,2.小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。 次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。 试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置， 小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。,例 3：交通路口红绿灯,十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？,假设,1. 车辆相同，从静止开始做匀加速动。 2. 车距相同，启动延迟时间相等。 3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。 4. 秩序良好，不堵车。 车长L，车距D，加速度a，启动延迟T 时间t，车位Sn（t）,模型,1.停车位模
6、型：Sn(0)=(n-1)(L+D) 2.启动时间: tn =nT 3.行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2,ttn 4.限速行驶: tn*=a/v*+tn Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tntn* )2+v*(t-tn*), ttn* =Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*ttn = Sn(0) tnt,参 数 估 计,L=5m，D=2m，T=1s， v*=40km/h=1.1m/s a=2.6m/s22m/s2.,结 论,S8(15)=9m, S9(15)=-9.1m 该路口最多通过八辆汽车,问题,1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是
7、否正确。 10.位置,走向,车道数,时间。 绿灯时间,通过的车数(至少三次)。 数据不同的原因。 20.模型的假设与实际是否一致。 模型的参数与实际是否一致。 30. 模型的计算结果与观测结果是否一致？不一致时，为什么？如何修改模型。,2. 分析汽车开始以最高限速穿过路口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量随时间变化的数学模型。,例 4：人员疏散,建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。,假 设,1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。,参 数,人数 nk,教室距离 Lk,门宽 D.
8、速度v，间隔 d，疏散时间 Tk,模 型,T1=(n1d+L1)/v T2=(n2d+L1+L2+D )/v T12=(n2d+L1+L2+D )/v, (L2+D)(n1+1)d (n1+ n2+1 )d+L1 /v, (L2+D)(n1+1)d,讨 论,1. 模型分析 ：T=(nd+L)/v, v, 则T; d, 则 T. 2. 多行行进 3. d , 则T . 令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!,修 改 假 设,1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。
9、 4. 人体厚度相同w,继 续 讨 论,1. T=(nd+L)/v, v, 则T; d, 则 T. 2. 多行行进 3.令d=0, 则有T=L/v, 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度! 4.考虑厚度的影响 T=(n(d+w)+L)/v, 若vv*,d=0, 则 T* = (nw+L)/v* 最短 合理吗？,继续修改假设,1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 5. 速度与密度有关v=v（d）,模 型,T=（nd+L)/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d, 则v
10、; 若d,则 v=v*. 若d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短.,V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d),问题,在上面的讨论中，证明如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数， 则存在有唯一的间隔d* 和速度 v*，使得疏散的时间最短。 如果有n=400，L=30m，w=0.2m, 求最优疏散方案。,例5. 赛程安排 五支球队在同一场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来说都是公平的。 B 1 C 9 2 D 3 5 7 E 6 8 10 4 A B C D,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC
11、 AD DE BD AE CD BE AC CE 间隔场次数 A B C D E 1 0 4 0 1 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1,问题：赛程如何做到公平安排？ 如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大？,例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪， 在上一周猪每天增重约5磅。 五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅， 饲养每天需花费45美分。 求出售猪的最佳时间。 假设： 1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。 2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。 3. 猪饲养的花费每天不变。 4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。,变量和参量：
12、 猪的重量w（磅）， 猪的饲养时间 t（天）， t 天内饲养猪的花费C（美元）， 猪的市场价格 p（美元/磅）， 售猪所获得的总收益R（美元）， 最终获得的净收益P（美元）。 猪的初始重量w0（磅）， 猪的日增重量 g（磅）， 出售价格（单价）的日减少量 r（美元）， 每天饲养猪的花费 k（美元）。,模型： 重量 w = w0+g t , 单价 p = p0 r t , 总花费 C = k t , 总收益 R = p w 净收益的模型 P = R C=(p0-rt)(w0+gt)-kt,参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445 P = R C = (
13、0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t P(t) = 130 + 0.8t 0.05 t2.,问题：求出售时间使净收益最高 令 P(t)=0 则有 0.8 t - 20.05 t = 0 得 t = 8 P(8)=130+0.880.0582= 133.2 结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元,分析： 1. 结果对参数的敏感程度。 结论所依赖的参数 猪的初始重量w0， 猪的初始价格p0， 猪的饲养花费k， 猪重的增加速率g， 价格降低的速率r。,价格变化率 r 对售猪时间t 的影响. 价格 p(t)=0.65 r t, 净收益 P(t) = (0.65-rt
14、)(200+5t)-0.45t 最大值点 t = (7-500r)/(25r) r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 t 15 11.1 8.0 5.5 3.3,增重率 g 对售猪时间 t 的影响. 重量 w(t)=200 + g t 净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t 最大值点 t = 5(13g49)/(2g) g 4 4.5 5 5.5 6 t 1.875 5.28 8 10.23 12.08,将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对 改变量的形式更自然也更实用。 模型的参数灵敏度 如果r改变了r，则的相对改变量为r/r。 如果r
15、改变了r，导致t有t的改变量， 则相对改变量的比值为 t / t 比上r / r 令r0，按照导数的定义，我们有 称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r)。,对于我们的问题，有 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r) 在r=0.01 附近，t关于r的灵敏度为 S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5 价格变化率降低1%将导致时间延长3.5% 时间与增重量的关系 t = 5(13g49)/(2g) 在 g=5 附近，t关于g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06 增重率增加1%将导致出售时
16、间延长3%,2. 模型的稳健性 一个数学模型称为是稳健的，是指即使这个模型不完全精确，但其结果仍是可信的。 虽然数学模型力求完美，但这是不可能达到的。 一个更确切的说法是数学模型力求接近完美。 一个好的数学模型有较好的稳健性， 是指虽然它给出的答案并不是完全精确的， 但是足够近似的从而可以在实际问题中应用。 因此，在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的。,1. 参数 r, g 的变化对净收益 P 的影响 固定r，令g=4.5和5.5，可得出售时间t为5.28和10.23。 分别代入模型 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t 可得最优净收益为131.2，135.8 只相差2美元 固定g，令r=.009和.011，可得出售时间t为11.1和5.5。
