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1、第二章 函数四 函数的综合应用【考点阐述】函数的综合应用【考试要求】应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。【考题分类】(一)选择题(共8题)1.(福建卷理4文7)函数的零点个数为A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】当时,令解得;当时,令解得,所以已知函数有两个零点,选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。2.(湖南卷理8)用表示a,b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=对称,则t的值为A-2 B2 C-1 D1【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力,考察函数的图象,考察考生数形结合的能力,属中档题。3.(全国新卷理11文12)已知函数若互不相等,
2、且则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【答案】C 解析:不妨设,取特例,如取,则易得,从而,选C另解:不妨设,则由,再根据图像易得,故选C4.(山东卷理11文11)函数y=2xx2的图像大致是【答案】A【解析】因为当x=2或4时,2x -=0,所以排除B、C;当x=-2时,2x -=,故排除D,所以选A。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【命题意图】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。5.(陕西卷理10文10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表 ,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之
3、间的函数关系用取整函数y=x( x表示不大于x的最大整数)可以表示为 【 】聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A. B. C. D. 【答案】B【解析】(方法一)当除以的余数为时,由题设知,且易验证知此时,当除以的余数为时,由题设知,且易验证知此时,故综上知,必有,故选.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。6.(天津卷理2)函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【答案】B【解析】因为,所以选B。【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理,属基础题。7.(天津卷文4)函数f(x)= (A)(-2,-1) (B) (-1,0)
4、(C) (0,1) (D) (1,2)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【答案】C【解析】因为,所以选C。【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理,属基础题。8.(浙江卷文9)已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点,若(1,),(,+),则(A)f()0,f()0 (B)f()0,f()0(C)f()0,f()0 (D)f()0,f()0解析:选B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题(二)填空题(共7题)1.(北京卷理14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p(x,y)的轨迹方程是,则的最小正周期为 ;在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。謀荞抟
5、箧飆鐸怼类蒋薔。说明:“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续。类似地,正方形PABC可以沿轴负方向滚动。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【答案】4,解析:不难想象,从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,P点从x轴上开始运动的时候,首先是围绕A点运动个圆,该圆半径为1,然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以
6、BP为半径,旋转90,然后以C为圆心,再旋转90,这时候以CP为半径,因此最终构成图象如下:茕桢广鳓鯡选块网羈泪。2. (北京卷文14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是,则的最小正周期为 ;在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。3.(江苏卷14)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于
7、底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=,则S的最小值是_籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【答案】 解析 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为,则:(方法一)利用函数的方法求最小值。令,则:故当时,S的最小值是。(方法二)利用导数求函数最小值。,当时,递减;当时,递增;故当时,S的最小值是。4.(全国卷理15)直线与曲线有四个交点,则的取值范围是 【答案】(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.y=1xyaO【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知,a的取值必须满足解得.5.(天津卷理16)设函数
8、,对任意,恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意知:在上恒成立,在上恒成立,当时,函数取得最小值,所以,即解得或。【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题,考查化归与转化的数学思想。6.(天津卷文16)设函数f(x)=x-,对任意x恒成立,则实数m的取值范围是_【答案】【解析】因为对任意x,恒成立,所以当时,有对任意x恒成立,即,解得,即;当时,有对任意x恒成立,x无解,综上所述实数m的取值范围是。【命题意图】本题考查函数中的恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想。7.(重庆卷理15)已知函数满足:,则=_.【答案】解析:取x=1 y=0得法一:通过计算,寻得周期为6法二:
9、取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= .(三)解答题(共3题)1.(广东卷文20)已知函数对任意实数均有,其中常数为负数,且在区间上有表达式.(1)求,的值;(2)写出在上的表达式,并讨论函数在上的单调性;(3)求出在上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m(2)当时,当时,当时,f(x)=c. 当时,此时:2.(湖南卷理20)已知函数对任意的,恒有。()证明:当时,;()若对满足题设条件的任意b,c,不等式恒成立,求M的最小值。3.(上海春卷20)已知函数,且(1)若函数的反函数是其本身,求a的值;(2)当时,求函数的最大值。第 - 9 - 页 共 9 页