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1、 多元函数微分学,2012考研数学培训,一、多元函数微分学中的基本概念及其联系,考研数学多元函数微分学, 多元函数微分学,基本题型,二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分,三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复 合函数的偏导数与全微分,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数与 全微分,五、复合函数求导法变量替换下方程的变形,六、多元函数微分学的几何应用,七、方向导数与梯度,八、多元函数的极值与最值问题,重 难 点,链式图法的解题步骤：,(1)依据复合函数的结构，画出链式图；,(2)依据链式原理：“联线相乘，分线相加”，写出 计算复合函数的(偏)导数的链式公式；,(3)计算结果。,链式法则,考研
2、数学多元函数微分学,1、内容提要,三、复合函数求导法求带抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,三、复合函数求导法求带抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分,对于抽象函数：,要注意函数到底是在对谁求(偏)导，正确使用(偏)导数符号。,例如：复合函数,另外，在求二阶偏导时， 仍然是中间变量u，v 的函数，从而仍为自变量x，y的复合函数。,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,三、复合函数求导法求带抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,三、复合函数求导法求带抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分,考研数学多元函数
3、微分学,2、考题选讲,三、复合函数求导法求带抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,三、复合函数求导法求带抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,三、复合函数求导法求带抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数 与全微分,对于一个方程的隐函数求导，解题方法有如下三种：,（1）、直接法； （2）、公式法； （3）、利用一阶全微分形式的不变性。,一元函数,二元函数,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数 与
4、全微分,直接法,确定函数,确定函数,公式法,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数 与全微分,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数 与全微分,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数 与全微分,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数 与全微分,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,四、复合函数求导法求隐函数的(偏)导数 与全微分,考研数学多元函数微分学, 内容提要,六、多元函数微分学的几何应用,考研数学多元函数微分学, 内容提要,六、多元函数微
5、分学的几何应用,考研数学多元函数微分学, 内容提要,七、方向导数与梯度,1. 方向导数,考研数学多元函数微分学, 内容提要,七、方向导数与梯度,2. 梯度,考研数学多元函数微分学,考题选讲,五、复合函数求导法变量替换下方程的变形,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,八、多元函数的极值与最值问题,（）、无条件极值,的极值存在的必要条件：,一元函数：,二元函数：,(可导)极值点必为驻点,的极值存在的充分条件：,二阶导数小于零时极大,二阶导数大于零时极小,即,驻点可能是极值点，,可能是偏导数不存在的点。,极值点未必是驻点，,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,八、多元函数的极值与最值问题,（）、
6、无条件极值,(充分条件),计算二元函数极值的步骤：,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,八、多元函数的极值与最值问题,（）、无条件极值,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,八、多元函数的极值与最值问题,（）、条件极值,拉格朗日乘数法,考研数学多元函数微分学,1、内容提要,八、多元函数的极值与最值问题,（）、最值,二元函数最值实际应用问题的解题步骤：,（1）根据题意，列出目标函数的解析式；,（3）判断该驻点即为所求的最值点(因为由问题的实际 意义可知，最值点必然存在，同时驻点是唯一的， 故该驻点即为最值点）；,（4）算出目标函数的最值。,（2）令目标函数的两个偏导数为零得方程组，从而解得 目
7、标函数的驻点(通常为唯一驻点）；,注：如果所求的目标函数的变量范围包含区域边界，则 需要分区域内部和边界两方面来讨论。内部就是通常的 极值，而边界则通常需要用条件极值来处理。,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,八、多元函数的极值与最值问题,基本题目,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,八、多元函数的极值与最值问题,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,八、多元函数的极值与最值问题,即数一：2011、一(3),考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,八、多元函数的极值与最值问题,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,八、多元函数的极值与最值问题,【分析】：可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值。,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,八、多元函数的极值与最值问题,考研数学多元函数微分学,2、考题选讲,八、多元函数的极值与最值问题,
