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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 XXXX 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (大纲全国卷) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1(XXXX 大纲全国，理 1)设集合 A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则,M 中元素的个数为() A3B4C5,D6 2(XXXX 大纲全国，理 2) (1+ 3i)3 () A8B8C8iD8i,3(XXXX 大纲全国，理 3)已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 () A4B3C2D1,4(XXXX 大纲全国，理 4)已知函数 f(x)的定义
2、域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为(,),A(1,1), 1, 1 ,2 ,B ,C(1,0), 1 ,1, 2,D ,5(XXXX 大纲全国，理 5)函数 f(x),x,1 ,log1,2 ,1,(x0)的反函数 f (x)(,),11 A 2x 1 (x0)B 2x 1 (x0),C2x1(xR)D2x1(x0),4,3,6(XXXX 大纲全国，理 6)已知数列an满足 3an1an0，a2 ，则an的前 10 项和等,于(),A6(1310),1 B 9 (1310),C3(1310),D3(1310),7(XXXX 大纲全国，理 7)(1x)8(1y)4 的展开式中 x2y
3、2 的系数是(),A56B84C112,D168,8(XXXX 大纲全国，理 8)椭圆 C：,43,x2,2 y,=1的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且, 2 4 A,8 4 B, 2 C,直线 PA2 斜率的取值围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值围是() 1 , 3 3 , 3 1 ,1 3 ,1, 4 D,2,9(XXXX 大纲全国，理 9)若函数 f(x)x ax在,x2,1 1, 是增函数，则 a 的取值围是,() A1,0,B1，)C0,3D3，),10(XXXX 大纲全国，理 10)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，则 CD 与平面
4、BDC1 所成角的正弦值等于(),2 A 3,3 B 3,C,2 3,1 D 3,11(XXXX 大纲全国，理 11)已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若 MA MB 0 ，则 k(),1,一 寸 光 阴 不 可 轻,1 A 2,2 B 2C 2D2,12(XXXX 大纲全国，理 12)已知函数 f(x)cos xsin 2x，下列结论中错误的是(),x= Byf(x)的图像关于直线2 对称,Ayf(x)的图像关于点(，0)中心对称 3 Cf(x)的最大值为 2,Df(x)既是奇函数，又是期函数,二、填空题：本大题共 4
5、小题，每小题 5 分,1,13(XXXX 大纲全国，理 13)已知是第三象限角，sin ，则 cot .,3 14(XXXX 大纲全国，理 14)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种(用数字作答) x 0,3x y 4, 15(XXXX 大纲全国，理 15)记不等式组 x 3y 4, 所表示的平面区域为 D.若直线 y, a(x1)与 D 有公共点，则 a 的取值围是 16(XXXX 大纲全国，理 16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球,3,2,O 的半径，OK，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60，则球 O 的表面积,等于
6、,三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 2 17(XXXX 大纲全国，理 17)(本小题满分 10 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn.已知 S3 a2 ， 且 S1，S2，S4 成等比数列，求an的通项公式 18(XXXX 大纲全国，理 18)(本小题满分 12 分)设ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，(abc)(abc)ac. (1)求 B；,(2)若sin Asin C,4,3 1,，求 C,19(XXXX 大纲全国，理 19)(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 PABCD 中，ABCBAD90，BC2AD，PAB 和PAD 都是等边三 角形 证
7、明：PBCD； 求二面角 APDC 的大小 20(XXXX 大纲全国，理 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、 丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当 裁判，每局比赛结束时，负的一在下一局当裁判设,1,2,各局中双获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独,立，第 1 局甲当裁判 求第 4 局甲当裁判的概率； X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望 x2y2,a2b2,21(XXXX 大纲全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知双曲线 C：=1(a0，b0)的,2,一 寸 光 阴 不 可 轻 左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y2 与 C 的两个交点间的
8、距离为 6 . (1)求 a，b； (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|， |BF2|成等比数列,x1 x,1 x,.,22(XXXX 大纲全国，理 22)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ln(1+x) (1)若 x0 时，f(x)0，求的最小值；,11,23,n,(2)设数列an的通项an =1+,11,3,4n,，证明：a2nanln 2.,一 寸 光 阴 不 可 轻,XXXX 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (大纲全国卷) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，
9、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 答案：B 解析：由题意知 xab，aA，bB，则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元 素故选 B. 2 答案：A 解析： (1+ 3i)3 =13 3i+3( 3i)2 +( 3i)3 = 8 .故选A. 3 答案：B 解析：由(mn)(mn)|m|2|n|20(1)21(2)2403.故选 B. 4 答案：B 1,2,解析：由题意知12x10，则1x .故选 B.,5 答案：A,1,y,解析：由题意知1+2 x,1,y,x2 1,(y0)，,1,1,因此 f (x)(x0)故选 A. 2x 1 6 答案：C
10、,114,解析：3an1an0，an1 a .数列an是以为公比的等比数列a2 ， 3 n33 a14.,S10,1 3,1 10 ,4 1 3 ,1, 3(1310)故选 C.,7 答案：D 解析：因为(1x)8 的展开式中 x2 的系数为C2 ，(1y)4 的展开式中 y2 的系数为C2 ，所以 x2y2 84,8 4,的系数为C2C2 168 .故选D.,8 答案：B,解析：设 P 点坐标为(x0，y0)，则,22 x0 y0 43,=1，,2,0,PA,k,x 2,1,0,PA,y0y0,， k,x 2,12,4,2,0,22,00,3,4,PAPA,y0,3 3 x 2,，于是k k
11、,x 2x 2 4, . 4,一 寸 光 阴 不 可 轻,1,3 1,PA,PA2,4 k,故 k ,.,2, kPA 2，1，,3 3 ,8 4 , kPA ,.故选 B. 1,9 答案：D,2,1,x,解析：由条件知 f(x)2xa0 在,2, 1,2,1,x, 上恒成立，即a 2x 在,2, 1, 上,2,1,x,2, 1,恒成立函数 y 2x 在, 上为减函数，,max,11, 1 , 2 ,y2 2 2 3 .a3.故,选 D. 10 答案：A 解析：如下图，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 C1O，过 C 作 CHC1O 于点 H.,1,BD AC, BD AA,ACAA A,
12、1,1 1 ,BD 平面ACC1 A1 ,CH 平面ACC A ,1,CH BD,CH C O,BDC O=O,CH平面 C1BD，,1 HDC 为 CD 与平面 BDC1 所成的角,22,AC2,设 AA12AB2，则OC=,，,2 2,C O= OC2 CC 2 11, 22 =, 2 ,=2 . 2,由等面积法，得 C1OCHOCCC1，即,93 2 3 2,2,2,2,CH 2 ，,2, CH =. 3,2 HC32 sinHDC=.故选 A. DC13 11 答案：D 解析：由题意知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0)，则直线 AB 的程为 yk(x2)，将其代入 y2 8x，得 k2
13、x24(k22)x4k20.,设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2,k 2,4k 2 2,，x1x24.,5,2,一 寸 光 阴 不 可 轻 y1 k x1 2,由 y k x 2, 2,2,1 212, 1 2, y1 y2 k x1 x2 4k, ,y y k x x 2 x x 4., MA MB 0 ， (x12，y12)(x22，y22)0. (x12)(x22)(y12)(y22)0， 即 x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40. 由解得 k2.故选 D. 12 答案：C 解析：由题意知 f(x)2cos2xsin x2(1sin2x)sin x. 令
14、tsin x，t1,1， 则 g(t)2(1t2)t2t2t3.,2,3,3,令 g(t)26t 0，得t= .,当 t1 时，函数值为 0；,3,4 3,9,当t 时，函数值为,；,3 3,3,当t 时，函数值为,4 3,9,.,g(t)max,4 3,9,，,即 f(x)的最大值为,4 3,9,.故选 C.,二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13答案： 2 2,9,3,解析：由题意知 cos 1sin2 1 1 2 2 .,故 cot ,cos sin,=2 2 .,14答案：480,4,解析：先排除甲、乙外的 4 人，法有A 4 种，再将甲、乙插入这 4 人形成的 5 个间
15、隔中，有,A 2 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有A4 A2 480 (种) 545,15答案：, 4,2, 1,解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,1,直线 ya(x1)过定点 C(1,0)，由图并结合题意可知kBC 2 ， kAC4， 要使直线 ya(x1)与平面区域 D 有公共点，,1,2,则a4.,6,一 寸 光 阴 不 可 轻 16答案：16 解析：如下图，设 MN 为两圆的公共弦，E 为 MN 的中点， 则 OEMN，KEMN，结合题意可知OEK60.,3,又 MNR，OMN 为正三角形OER . 2,2,333,2,2,又 OKEK，OEsin 60R .,R2. S4R216. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17解：设an的公差为 d. 由 S22 3 a2 得 3a2 a2 ，故 a20 或 a23. 由 S1，S2，S4 成等比数列得 S 2 S1S4. 2 又 S1a2d，S22a2d，S44a22d， 故(2a d)2(a d)(4a 2d) 222 若 a22 20，则 d 2d ，所以 d0，此时 Sn0，不合题意； 若 a 3，则(6d)2(3d)(122d)，解得 d0 或 d2. 2 因此an的通项公式为 an3 或 an2n1. 18 解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以 a2c2b2
