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1、,2,（一）曲线积分与曲面积分,（二）各种积分之间的联系,（三）场论初步,一、主要内容,3,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,5,6,7,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各种积分之间的联系,8,积分概念的联系,定积分,二重积分,9,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,10,计算上的联系,11,其中,12,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林
2、公式,13,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,14,Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系,推广,推广,15,梯度,通量,旋度,环流量,散度,（三）场论初步,16,二、典型例题,1 计算,其中L为圆周,利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,17,例2.计算,其中,解:,18,解,19,解,(如下图),20,21,在此过程中受力,5. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2),的大小,运动到点B(3,4),等于点 M 到原点的距离,求变力,解: 由图知,故所求功为,作用,y 轴正向夹角为锐角,其方向垂
3、直于OM ,且与,对质点M 所作的,功.,22,例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面 截出的顶部.,解:,23,例2.,设, 而,计算,解: 锥面,设,当,当,与上半球面,的交线为,为上半球面介于锥面间的部分,它在xoy面上的,投影域为,24,例3. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分 的,的面密度,质量 M .,解: 在 xoy 面上的投影为,故,25,其面密度为,解：,例4 设均匀抛物面壳,26,例5：设,在第一卦,限中的部分, 则有( ),27,例6：计算,解：,28,由对称性可得：,另解:,29,7,解,利用两类曲面积分之间的关系,30,31,解,(如下图),32,33,34,9 计算曲面积分,其中, 是球面,的外侧 .,解:,思考: 本题 改为椭球面,时 , 应如,何计算 ?,35,作业P246,3(1,3,5)、 4(1,2,3),
