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1、电工电子技术,王 平,主讲：,第 3 章 电路的暂态分析,3.3 RC 电路的响应,3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法,3.1 电阻元件、电容元件与电感元件,3.2 储能元件和换路定则,3.5 微分电路与积分电路,教学要求：,1. 理解电容元件与电感元件的特点 2. 掌握换路定则及初始值的求法 3. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、 零状态响应、全响应的概念 3. 掌握时间常数的物理意义 4. 掌握一阶电路分析的三要素法,一、电阻元件,欧姆定律:,电阻的电压与电流成线性关系,线性电阻,电阻大小与长度、截面、导电性能有关,电能消耗在电阻上，转变为热能,电阻的能量,R,u,+,_,3.1 电
2、阻、电感与电容,电阻是 耗能元件,电容两端加电源，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，储存电场能量,电容：C,u,i,+,_,+,q,_,q,u 与 i 参考方向关联,二、电容元件,单位：F,C,电容大小与极板尺寸、间距、介质的介电常数有关,u,i,+,_,+,q,_,q,C,电容存储的电场能,电压增大，电场能增大，电容从电源取用电能,电容将电能变为 电场能 储存在电容中，储能元件,电压减小，电场能减小，电容向电源放还能量,u,i,+,_,C,_,电感大小:,线性电感: L 为常数,非线性电感: L 不为常数,三、电感元件,电流通过 N 匝线圈产生,( 磁链 ),电流通过
3、 1 匝线圈产生,( 磁通 ),u,+,磁链 与电流 i 取 右螺旋方向,+,_,L,电感元件的符号,S 线圈横截面积（m2）,l 线圈长度（m）,N 线圈匝数, 介质的磁导率（H/m）,单位：,电感大小：与线圈尺寸、匝数、介质导磁性能有关,H、mH,电感电压与电流的关系,+,_,L,u、i 取关联参考方向,*,电感存储的磁场能,电流增大，磁场能增大，电感从电源取用电能,电感将电能变为 磁场能 储存在电感线圈中，储能元件,电流减小，磁场能减小，电感向电源放还能量,+,_,L,电容与电感比较,电容元件,电感元件,+,_,L,i,C,+,_,换路：,电路状态的改变。 如：,稳态： 在指定条件下电路
4、中电压、电流已达到稳定状态,暂态过程： 电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程,电路开关的接通、断开、短路，元件参数的变化,储能元件： 存储能量的元件，如：电容、电感,3.2 储能元件、换路定律与初始值,储能元件能量的变化需要时间，能量不能跃变,换路会使电路由一种稳定状态过渡到另一种稳定状态,储能元件状态的变化反映所存储能量的变化,暂态过程的必要条件,(1) 电路中含有 储能元件 ( 内因 ),(2) 电路发生 换路 ( 外因 ),含储能元件的电路由一种状态过渡到另一种状态有过程,暂态过程的内容,2) 过渡过程中 电压、电流随时间变化的规律,3) 影响 暂态过程快慢 的因素,直流电路、交流电
5、路都存在暂态过程,1) 研究 直流电路暂态过程,1. 用暂态过程产生特定波形的电信号，用于电子电路,暂态过程的意义,2. 控制、预防暂态过程可能产生的危害,如：锯齿波、三角波、尖脉冲,如：过压、过流使电气设备或元件损坏,换路定律用于换路瞬间确定 uC、iL 的初始值,设：t = 0 表示换路瞬间 ( 定为计时起点 ) t = 0 表示换路前的终了瞬间 t = 0+ 表示换路后的初始瞬间 （初始值）,换路定律,电容电压、电感电流不能跃变,*,在换路瞬间，储能元件的能量不能跃变,换路定律的证明, L 储能,不能突变,L,i, C 储能,若,发生突变，,则,一般电路不可能,不能突变,C,u,若,发生
6、突变，,则,一般电路不可能,设：,t = 0+ ：换路后的瞬间,初始值的确定,初始值：各物理量 u、i 在换路结束瞬间 t = 0+ 时刻的数值,t = 0 ：换路前的瞬间,0 和 0+ 在数值上都 = 0,t = 0 ：换路时刻,1. 初始值的定义,一般用 作变量列微分方程,解微分方程要用 初始值 定积分常数,一阶电路暂态分析的方法：,2. 时域分析法： 列、解微分方程法 （经典方法）,确定初始值的原因,一般将,作为初始条件,*,*,1. 三要素法： 计算 3 个要素，套三要素法的公式,初始值 是 3 个要素之一,初始值的确定方法,(2) 求其它电量初始值,(1) 求 uC ( 0+ )、i
7、L ( 0+ ),1) 画出 t = 0 时刻的电路,3) 根据换路定律求出 uC ( 0+ )、iL ( 0+ ),1) 画出 t = 0+ 时刻的电路,2) 在 t = 0+ 时的电路中，由,其它电量的初始值,uC ( 0+),iL ( 0+),2) 在 t = 0 时的电路中，求出 uC ( 0 ) 、iL ( 0 ),设 t 0 时电路已达稳态， t = 0 时将开关 K 闭合。,t 0 时电路稳定，电容开路,试求：各元件电流、电压初始值,例1 :,解：,C,K,10V,10F,_,+,+,_,_,+,+,_,3k,2k,换路定律,C,K,10V,_,+,+,_,3k,t = 0 电路
8、,t = 0 电路,K,10V,_,+,+,_,_,+,+,_,3k,2k,10V,C,K,10V,10F,_,+,+,_,_,+,+,_,3k,2k,电路换路前处于稳态，t = 0 时闭合开关，,开关闭合前，电路处于稳态，电感相当于短路,例2 :,解：,试求：开关闭合前、后瞬间电感电流 和电感电压,2A,K,L,iL,i1,R1=1,R2=1,2A,K,L,R1=1,R2=1,iL,i1,t = 0 电路,uL,+,_,K,R1=1,R2=1,+,_,*,t = 0 电路,2A,K,L,iL,i1,R1=1,R2=1,2A,uL,+,_,结 论,1. 换路瞬间，uC、 iL 不跃变，其它电量
9、均可跃变。,3. 如果电路换路前稳定 ( t = 0) ；或换路后稳定 ( t = ),电容相当于开路,电感相当于短路,电容没有储能：uC = 0,电感没有储能：iL = 0,电容有储能：uC 0,电感有储能：iL 0,2.,不管电感、电容有无储能,5. 如果换路前电感没有储能：iL (0) = 0，在换路后的瞬间,4. 如果换路前电容没有储能：uC (0) = 0，在换路后的瞬间,( t = 0+ ) 电路中，其电压 uC (0+ ) = 0，视为 短路,( t = 0+ ) 电路中，其电压 iL (0+ ) = 0，视为 开路,uC (0+ ) = 0,电容相当于短路,iL (0+ ) =
10、 0,电感相当于开路,6. 如换路前电容有储能：uC (0) 0，在换路后瞬间 ( t = 0+ ),电路中，电容可用理想电压源替换，其电压为 uC (0+ ),7. 如换路前电感有储能：iL (0) 0， 在换路后瞬间 ( t = 0+ ),电路中， 电感可用理想电流源替换，其电流为 iL (0+ ),iL (0+ ) 0,电感相当于理想电流源,uC (0+ ) 0,电容相当于理想电压源,仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路,一阶电路,3.3 一阶RC电路的响应,一阶 RC 电路的响应,一阶 RC 电路,一阶 RL 电路,一阶RC电路的零输入响应,一阶RC电路的零状态响应,一阶RC电
11、路的全响应,且由一阶微分方程描述，称为一阶电路,通过求解电路的微分方程，得出电压和电流的响应,2. 三要素法,初始值,稳态值,时间常数,求,（三要素）,储能元件的电压、电流是微分关系,分析一阶电路： 列解微分方程,1. 经典法:,（ 套三要素法的公式 ）,一阶 RC 电路的响应求解方法,+ ,定义：输入信号为零, 由电容储能产生的响应,实质： RC 电路的放电过程,一、一阶 RC 电路的零输入响应,K 拨到 2 瞬间，电容电压不能跃变,定性分析:,电容、电阻并联，,电阻电流,该电流使电容电荷减少，电压降低，直到为零,R,K,C,R,1,2,+ ,R,+ ,iR,+ ,C,+ ,电阻消耗的能量由
12、电容放电提供，造成电容电压下降,电容放电的快慢与电阻大小、电容大小有关,电容电压从初始值 uC (0+) = U 逐渐减小到零,电容放电,t = 0+ 时，K 拨到 2,R,K,C,R,1,2,+ ,+ ,R,+ ,iR,C,t = 0+ 电路,+ ,+ ,+ ,列 KVL方程,(1) 电容电压 uC 的变化规律 ( t 0 ),一阶线性常系数 齐次微分方程,当 t = 0 时,换路前 电路稳定，,， C 经过 R 放电,定量分析:,R,K,C,R,1,2,+ ,R,iR,C,t = 0+ 电路,特征方程,由初始值求积分常数 A,由换路定律求初始值,uC 变化规律：从初始值开始按指数规律衰减,
13、衰减的快慢由 RC 决定,(3) 、 、 变化曲线,电阻电压：,放电电流,电容电压,(2) 电流及电阻电压的变化规律,t,0,(4) 时间常数 ,单位: s, 的量纲：,衰减到初始值的 0.368 所花时间, 具有时间量纲,1) 在 t = 0 处引切线和横轴形成的横截距,0.368U,U,t,0, 几何意义,2),a) 越大,0.368U,U,t,0,uC,达到稳态所需要的时间越长,决定过渡过程的变化快慢,过渡过程变化越慢, 物理意义：,曲线越平缓,b) 越小,达到稳态所需要的时间越短,过渡过程变化越快,曲线越陡,当 t = 5 时，过渡过程基本结束，uC 达到稳态值,(5) 过渡时间,t,
14、0.368U,0.135U,0.050U,0.018U,0.007U,0.002U,工程上认为 ， 电容放电基本结束,电路稳定,，,0,U,t,0.368U,2,3,储能元件初始能量为零，,实质： RC 电路的充电过程,分析： 在 t = 0 时，合上 S，,uC (0) = 0,S,R,U,+,_,C,+,_,i,uC,即 uC (0+) = 0， iL (0+) = 0，,uC (0+) = uC (0) = 0,仅由电源产生的响应,二、一阶 RC 电路的 零状态响应,通解 = 特解 + 齐次解,1. UC 的变化规律,(1) 列 KVL方程,uC (0+) = uC (0) = 0,(2
15、) 解方程,求解齐次微分方程,S,R,U,+,_,C,+,_,i,uC,微分方程通解,定积分常数 A,由换路定则：,求特解,K = U,dt,dK,RC,+,设,特解,(3) uC 的变化曲线,暂态分量,稳态分量,电路达到稳定 状态时的电压,U,+U,63.2%U,-36.8%U,t,0,3. 、 变化曲线,t, 表示 uC 从初始值上升到稳态值的 63.2% 所需时间,2. iC 的变化规律,4. 的意义,t = 0 时电流最大,U,0,？,当 t = 5 时, 过渡过程基本结束, uC 达到稳态值, 越大，曲线变化越慢， 达到稳态时间越长,结论：,U,0.632U,t,0,0.998U,t,0,0,0.632U,0.865U,0.950U,0.982U,0.993U,解题时可不列解微分方程，直接套公式写零状态响应,复杂电路可用戴维南定理简化，再套公式写零状态响应,零输入响应是电容放电，零状态响应是电容充电,经 ，电容电压接近电源电压,uC (0+)
