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1、19.5椭圆2014 高考会这样考 1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系复习备考要这样做 1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质用代数方法求解几何问题1 椭圆的概念在平面内与两定点 F1、 F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合 P M|MF1| MF2|2 a，| F1F2|2 c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 a c，则集合
2、 P 为线段；(3)若 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形范围 a x a b y b b x b a y a对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1( a,0)， A2(a,0)B1(0， b)， B2(0， b)A1(0， a)， A2(0， a)B1( b,0)， B2(b,0)轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b性质焦距 |F1F2|2 c2离心率 e (0,1)caa， b， c 的关系 c2 a2 b2难点正本疑点清源1 椭圆焦点位置与 x2， y2系数间的关系：给出椭圆方程 1 时，椭圆的焦点在 x 轴上 mn0，椭圆的焦点
3、在 y 轴上x2m y2n02，即 k0，0b0)的半焦距为 c，若直线 y2 x 与椭圆的一个交点 P 的横坐标恰为x2a2 y2b2c，则椭圆的离心率为 ()A. B.2 22 22 12C. 1 D. 13 2答案D解析依题意有 P(c,2c)，点 P 在椭圆上，所以有 1，c2a2 2c 2b2整理得 b2c24 a2c2 a2b2，又因为 b2 a2 c2，代入得 c46 a2c2 a40，即 e46 e210，解得 e232 (32 舍去)，2 2从而 e 1.2题型一求椭圆的标准方程例 1(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方
4、程为_；3(2)(2011课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在x 轴上，离心率为 .过 F1的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且 ABF2的周长为 16，那么椭22圆 C 的方程为_思维启迪：根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量答案(1) 1 或 1x212 y29 x29 y212(2) 1x216 y284解析(1)由已知Error!Error!从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y2125(2)设椭圆方程为 1 ( ab0)，由 e 知 ，x2a2 y2b2 22 ca 22故 .b2a2 1
5、2由于 ABF2的周长为| AB| BF2| AF2|(| AF1| AF2|)(| BF1| BF2|)4 a16，故 a4. b28.椭圆 C 的方程为 1.x216 y28探究提高求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a， b 的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2 ny21 (m0， n0， m n)的形式已知 F1， F2是椭圆 1 (ab0)的左，右焦点， A， B 分别是此椭圆x2a2 y2b2的右顶点和上顶点， P 是椭圆上一点， OP AB， PF1
6、x 轴，| F1A| ，则此椭圆10 5的方程是_答案 1x210 y25解析由于直线 AB 的斜率为 ，故 OP 的斜率为 ，直线 OP 的方程为 y x.与椭ba ba ba圆方程 1 联立，解得 x a.因为 PF1 x 轴，所以 x a，x2a2 y2b2 22 22从而 a c，即 a c.又| F1A| a c ，22 2 10 5故 c c ，解得 c ，从而 a .2 10 5 5 10所以所求的椭圆方程为 1.x210 y25题型二椭圆的几何性质例 2已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点， F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证： F1PF2的
7、面积只与椭圆的短轴长有关思维启迪：(1)在 PF1F2中，使用余弦定理和| PF1| PF2|2 a，可求| PF1|PF2|与a， c 的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出 e 的范围；(2)利用 S F1PF2 |PF1|PF2|sin 60可证126(1)解设椭圆方程为 1 ( ab0)，x2a2 y2b2|PF1| m，| PF2| n，则 m n2 a.在 PF1F2中，由余弦定理可知，4c2 m2 n22 mncos 60( m n)23 mn4 a23 mn4 a23 24 a23 a2 a2(m n2 )(当且仅当 m n 时取等号) ，即 e .c2a2 14 1
8、2又 0b0)的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是x2a2 y2b2直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点， F1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知 AF1B 的面积为 40 ，求 a， b 的值3解(1)由题意可知， AF1F2为等边三角形， a2 c，所以 e .12(2)方法一 a24 c2， b23 c2，直线 AB 的方程为y (x c)，3将其代入椭圆方程 3x24 y212 c2，得 B ，(85c， 335c)所以| AB| c.1 3 |85c 0| 1657由 S AF1B |AF1|AB|sin F1AB a c a240 ，解得12 12 16
9、5 32 235 3a10， b5 .3方法二设| AB| t.因为| AF2| a，所以| BF2| t a.由椭圆定义| BF1| BF2|2 a 可知，| BF1|3 a t，再由余弦定理(3 a t)2 a2 t22 atcos 60可得， t a.85由 S AF1B a a a240 知，12 85 32 235 3a10， b5 .3题型三直线与椭圆的位置关系例 3(2011北京)已知椭圆 G： y21.过点( m,0)作圆 x2 y21 的切线 l 交椭圆 Gx24于 A， B 两点(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；(2)将| AB|表示为 m 的函数，并求| AB|的最大
10、值思维启迪：对于直线和椭圆的交点问题，一般要转化为方程组解的问题，充分体现数形结合思想解(1)由已知得 a2， b1，所以 c .a2 b2 3所以椭圆 G 的焦点坐标为( ，0)，( ，0)3 3离心率为 e .ca 32(2)由题意知，| m|1.当 m1 时，切线 l 的方程为 x1，点 A， B 的坐标分别为(1， )，(1， )此时32 32|AB| .3当 m1 时，同理可得| AB| .3当| m|1 时，设切线 l 的方程为 y k(x m)由Error!得(14 k2)x28 k2mx4 k2m240.设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则x
11、1 x2 ， x1x2 .8k2m1 4k2 4k2m2 41 4k2又由 l 与圆 x2 y21 相切，得 1，|km|k2 1即 m2k2 k21.8所以| AB| x2 x1 2 y2 y1 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 64k4m2 1 4k2 2 4 4k2m2 41 4k2 .43|m|m2 3由于当 m1 时，| AB| ，3所以| AB| ， m(，11，)43|m|m2 3因为| AB| 2，43|m|m2 3 43|m| 3|m|且当 m 时，| AB|2，3所以| AB|的最大值为 2.探究提高(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，
12、消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形设 F1、 F2分别是椭圆 E： x2 1(0b0)的左，右焦点分别为 F1， F2.点 P(a， b)满足x2a2 y2b2|PF2| F1F2|.(1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2与椭圆相交于 A， B 两点若直线 PF2与圆( x1) 2( y )216 相交于3M， N 两点，且| MN| |AB|，求椭圆的方程58审题视角第(1)问由| PF2| F1F2|建立关于 a、 c 的方程；第(2
13、)问可以求出点 A、 B 的坐标或利用根与系数的关系求| AB|均可，再利用圆的知识求解规范解答解(1)设 F1( c,0)， F2(c,0)(c0)，因为| PF2| F1F2|，所以 2 c. a c 2 b2整理得 2( )2 10，得 1(舍)，或 .所以 e .4 分ca ca ca ca 12 12(2)由(1)知 a2 c， b c，可得椭圆方程为 3x24 y212 c2，直线 PF2的方程为 y3(x c)3A， B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理，得 5x28 cx0.解得 x10， x2 c.6 分85得方程组的解Error!Error!不妨设 A( c
14、， c)， B(0， c)，85 335 3所以| AB| c.8 分 85c 2 335c 3c 2 165于是| MN| |AB|2 c.58圆心(1， )到直线 PF2的距离3d .10 分| 3 3 3c|2 3|2 c|2因为 d2( )24 2，|MN|210所以 (2 c)2 c216.34整理得 7c212 c520，得 c (舍)，或 c2.267所以椭圆方程为 1.12 分x216 y212温馨提醒(1)解决与弦长有关的椭圆方程问题，首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数(2)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c)，这样可避免繁琐的运算方法与技巧1 求椭圆的标准方程时，应从“定形” “定式” “定量”三个方面去思考 “定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上 “定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式， “定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数 a， b 或 m， n.2 讨论椭圆的几何性质时，离
