世界科技全景百卷书(38)数学大发现

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1、更多好书请点击 www.uus8.org 数学大发现 更多好书请点击 www.uus8.org 圆面积求法 怎样求圆面积?这已是一个非常简单的问题,用公式一算,结论就出来 了。可是你可知道这个公式是怎样得来的吗?在过去漫长的年代里,人们为 了研究和解决这个问题,不知遇到了多少困苦,花费了多少精力和时间。 在平面图形中,以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖 铺垫长方形地面,如果横向用八块,纵向用六块,那一共就用了 8 6 = 4 8 块 砖。所以求长方形面积的公式是:长宽。 求平行四边形的面积,可以用割补的方法,把它变成一个与它面积相等 的长方形。长方形的长和宽,就是平行四边形的底和

2、高。所以求平行四边形 面积的公式是:底高。 求三角形的面积,可以对接上一个和它全等的三角形,成为一个平行四 边形。这样,三角形的面积,就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。 因此,求三角形面积的公式是: 1 2 底高。 任何一个多边形,因为可以分割成若干个三角形,所以它的面积,就等 于这些三角形面积的和。 4 0 0 0 多年前修建的埃及胡夫金字塔,底座是一个正方形,占地 5 2 9 0 0 m 2 。 它的底座边长和角度计算十分准确,误差很小,可见当时测算大面积的技术 水平已经很高。 圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样 求圆的面积,是数学对人类智慧的一次考验。

3、 也许你会想,既然正方形的面积那么容易求,我们只要想办法做出一个 正方形,使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊,这样的确很好,但是怎 样才能做出这样的正方形呢? 你知道古代三大几何难题吗?其中的一个,就是刚才讲到的化圆为方。 这个起源于古希腊的几何作图题,在 2 0 0 0 多年里,不知难倒了多少能人,直 到 1 9 世纪,人们才证明了这个几何题,是根本不可能用古代人的尺规作图法 作出来的。 化圆为方这条路行不通,人们不得不开动脑筋,另找出路。 我国古代的数学家祖冲之,从圆内接正六边形入手,让边数成倍增加, 用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。 古希腊的数学家,从圆内接正多边形和外切正多边形同

4、时入手,不断增 加它们的边数,从里外两个方面去逼近圆面积。 古印度的数学家,采用类似切西瓜的办法,把圆切成许多小瓣,再把这 些小瓣对接成一个长方形,用长方形的面积去代替圆面积。 众多的古代数学家煞费苦心,巧妙构思,为求圆面积作出了十分宝贵的 贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。 1 6 世纪的德国天文学家开普勒,是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹 麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料,认真地进行整理分析,提出 了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们,地球围绕太阳运行的 轨道是一个椭圆,太阳位于其中的一个焦点上。 开普勒当过数学老师,他对求面积的问题非常感兴趣,曾进行过深入的 更多好

5、书请点击 www.uus8.org 研究。他想,古代数学家用分割的方法去求圆面积,所得到的结果都是近似 值。为了提高近似程度,他们不断地增加分割的次数。但是,不管分割多少 次,几千几万次,只要是有限次,所求出来的总是圆面积的近似值。要想求 出圆面积的精确值,必须分割无穷多次,把圆分成无穷多等分才行。 开普勒也仿照切西瓜的方法,把圆分割成许多小扇形;不同的是,他一 开始就把圆分成无穷多个小扇形。 因为这些扇形太小了,小弧也太短了,所以开普勒就把小弧 和小弦看成是相等的,即。 ABAB ABAB = AB 小扇形的面积小三角形的面积。AOB=AOB= 1 2 RAB 圆面积等于无穷多个小扇形面积的

6、和,所以 圆面积 S= 1 2 RABRBCRCD RABBCCD + =+ 1 2 1 2 1 2 () 在最后一个式子中,各段小弧相加就是圆的周长 2 R ,所以有 S = 1 2 RRR2 2 = 这就是我们所熟悉的圆面积公式。 开普勒运用无穷分割法,求出了许多图形的面积。1 6 1 5 年,他将自己创 造的这种求圆面积的新方法,发表在葡萄酒桶的立体几何一书中。 开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形,并果敢地断言:无穷小的扇 形面积,和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上, 向前迈出了重要的一步。 葡萄酒桶的立体几何一书,很快在欧洲流传开了。数学家们高度评 价开普勒的

7、工作,称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源 泉。 一种新的理论,在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的 新方法,引起了一些人的怀疑。他们问道:开普勒分割出来的无穷多个小扇 形,它的面积究竟等于不等于零?如果等于零,半径 O A 和半径 O B 就必然重 合,小扇形 O A B 就不存在了;如果客观存在的面积不等于零,小扇形 O A B 与 小三角形 O A B 的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。 面对别人提出的问题,开普勒自己也解释不清。 卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生,他研究了开普勒求圆面积方 法存在的问题。 卡瓦利里想,开普勒把圆分成无穷多个小扇形

8、,这每个小扇形的面积到 底等不等于圆面积,就不好确定了。但是,只要小扇形还是图形,它是可以 再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢?要是真的再细分下去,那分 到什么程度为止呢?这些问题,使卡瓦利里陷入了沉思之中。 有一天,当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时,他忽然灵机一动:唉, 布不是可以看成为面积嘛!布是由棉线织成的,要是把布拆开的话,拆到棉 线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开,拆到哪儿为止呢?应该拆到直 线为止。几何学规定直线没有宽度,把面积分到直线就应该不能再分了。于 更多好书请点击 www.uus8.org 是,他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量,直线 是平

9、面面积的不可分量。 卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想,可以把长方体看成为 一本书,组成书的每一页纸,应该是书的不可分量。这样,平面就应该是长 方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的,这样也是有道理的。 卡瓦利里紧紧抓住自己的想法,反复琢磨,提出了求圆面积和体积的新 方法。 1 6 3 5年,当葡萄酒桶的立体几何一书问世 2 0周年的时候,意大利 出版了卡瓦利里的不可分量几何学。在这本书中,卡瓦利里把点、线、 面,分别看成是直线、平面、立体的不可分量;把直线看成是点的总和,把 平面看成是直线的总和,把立体看成是平面的总和。 卡瓦利里还根据不可分量的方法指出,两本书的外形虽然不一

10、样,但是, 只要页数相同,薄厚相同,而且每一页的面积也相等,那么,这两本书的体 积就应该相等。他认为这个道理,适用于所有的立体,并且用这个道理求出 了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。” 事实上,最先提出这个原理的,是我国数学家祖。比卡瓦利里早 1 0 0 0 多年,所以我们叫它“祖原理”或者“祖定理”。 阿贝尔与 n次方程的代数解 同学们学过一元一次方程 a x = b (a 0 ) 它的代数解是:( )x = a a0 b 又学了一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 (a 0 ) 它的代数解(用方程的系数经过若干次代数运算而得到表示根的式子, 叫做方程的代数解)是

11、: x bbac ab = 2 4 2 这个求根公式看来很简单,也很容易学,但同学们可知道它的发现过程 却经历了漫长的历史吗? 公元前 2 0 0 0 年左右巴比伦人的泥板文书中说,求出一个数,使它与它的 倒数的和等于一个已知数,即求出这样的一对数 和 ,使xx xx =1xx = bx且,由此得出关于 的方程是 x 2 - b x + 1 = 0 他们作出(),再作出,于是得到解答 bb 22 22 1() x = 2 bb +() 2 2 1或它的代数解是: x bb = 22 1 2 ( ) 这实际上是古巴比伦人得到的求根公式。但是当时不承认负数的存在, 所以他们回避了负根。 更多好书请

12、点击 www.uus8.org 希腊的丢番图 (约前 2 4 6 3 3 0 )则只承认一个正根,即使两个都是正根, 也只取一个。 印度的波罗及摩及(约公元 5 9 8 6 6 5 )在公元 6 2 8 年写成的波罗摩修 正体系中,得到方程 x 2 + P x - q = 0 的一个根的求根公式是 x PqP = + 2 4 2 到了 9 世纪乌兹别克数学家花刺子模(约公元 7 8 0 8 5 0 )在他的代数 学中第一次给出了一般的一元二次方程的解法,他承认有两个根,还允许 无理根的存在,但他不认识虚数,所以不承认虚根。 法国数学家韦达(1 5 4 0 1 6 0 3 )则知道一元二次方程在

13、复数范围内恒有 解。 我国数学家对一元二次方程的研究有特殊的贡献。秦汉时代的九章算 术就有求方程 x 2 + 3 4 x - 7 1 0 0 = 0 的正根记载。 在 3 世纪,赵爽 (约公元 2 2 2 年) 注释 周髀算经时, 提出了 x 2 - b x + c = 0 型的求根公式。也是世界上最早记录了二次方程的求根公式。 一般的三次方程的代数解的表达形式经历了 8 0 0年之久,到了 1 6世纪 初,欧洲文艺复兴时代,才由意大利数学家给出。下面的三次方程的代数解 公式,一般称为卡丹(1 5 0 1 1 5 7 6 )公式: 方程 x 3 + p x + q = 0 的三个根是 y 1

14、+ z 1 ,w y 1 + w 2 z 1 ,w 2 y 1 + w z 1 , (其中 )。 y qqp z qqp yz q w i w i 3 2323 2 242724273 13 2 13 2 = += += = + = , 其实,发现这个公式的并不是卡丹。原来这里还有一段诱人深思的故事 呢! 在意大利的波伦亚城有一位数学教授费洛,他首先发现了方程 x 3 + m x = n (m ,n 为正数)的解法,并于 1 5 0 5 年把此方法传授给他的学生弗罗里都斯。 到了 1 5 2 5 年,在意大利的威尼斯城举行了一次数学竞赛会,弗罗里都斯 的对手塔尔塔里亚已经估计到对方会提出求解三

15、次方程的问题,所以他就全 力以赴的研究这个问题,他在比赛前的 8 天里以惊人的速度解决了 8 0 0 多年 来没有解决的问题。在比赛过程,塔氏在两小时内解答了弗氏提出的 3 0 个问 题,而最终取得了比赛的胜利,而弗氏却以回答不出塔氏的问题而宣告失败。 在这之后,塔氏更是专心致志的研究三次方程的问题,到 1 5 4 1 年,他便 找到了一般三次方程的代数解。这时卡丹请求塔氏告诉他这个公式,并保证 不泄露秘密, 于是塔氏便满足了卡丹的要求。 但卡丹并没有遵守诺言, 在 1 5 4 5 年,卡丹在他的大法一书中公布了这个解法,所以就一直被误认为是卡 丹公式,如果这个故事是真的,卡丹的为人品德也真是

16、令人讨厌! 就在大法这本书里,卡丹还公布了他的学生费拉里发现的一般四次 方程的代数解。 从二次方程到四次方程,人们通过变换,配方和因式分解等手段解决了 一般的二、三、四次方程的代数解问题。例如: 更多好书请点击 www.uus8.org aX + bX +c = 0X =-b 2a 2 ,将代入可求出代数解;Y aX +bX +cX +d = 0X =-b 3a 32 ,将代入可求出代数解;Y aX + bX +cX c+dX +e = 0X =-b 4a 432 ,将代入可求出代数解。Y 于是人们类比联想:一般的 n (n 5 )次方程可能求出它的代数解。 从 1 6 世纪中叶到 1 9 世纪末,当时几乎所有的数学家都坚持不懈地研究 这个问题,人们发挥了一切聪明才智,但都没有找到解决问题的办法。 于是人们考虑重新认识这个问题,并且从反面提出问题:“一般 n (n 5 )次方程可能

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