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1、更多好书请点击 www.uus8.org 数学大发现 更多好书请点击 www.uus8.org 圆面积求法 怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式一算，结论就出来 了。可是你可知道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为 了研究和解决这个问题，不知遇到了多少困苦，花费了多少精力和时间。 在平面图形中，以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖 铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了 8 6 = 4 8 块 砖。所以求长方形面积的公式是：长宽。 求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等 的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和
2、高。所以求平行四边形 面积的公式是：底高。 求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四 边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。 因此，求三角形面积的公式是： 1 2 底高。 任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等 于这些三角形面积的和。 4 0 0 0 多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地 5 2 9 0 0 m 2 。 它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术 水平已经很高。 圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样 求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。
3、 也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个 正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎 样才能做出这样的正方形呢？ 你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。 这个起源于古希腊的几何作图题，在 2 0 0 0 多年里，不知难倒了多少能人，直 到 1 9 世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法 作出来的。 化圆为方这条路行不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。 我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加， 用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。 古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同
4、时入手，不断增 加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。 古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这 些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。 众多的古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆面积作出了十分宝贵的 贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。 1 6 世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹 麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出 了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的 轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。 开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的 更多好
5、书请点击 www.uus8.org 研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似 值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少 次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求 出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。 开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一 开始就把圆分成无穷多个小扇形。 因为这些扇形太小了，小弧也太短了，所以开普勒就把小弧 和小弦看成是相等的，即。 ABAB ABAB = AB 小扇形的面积小三角形的面积。AOB=AOB= 1 2 RAB 圆面积等于无穷多个小扇形面积的
6、和，所以 圆面积 S= 1 2 RABRBCRCD RABBCCD + =+ 1 2 1 2 1 2 () 在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长 2 R ，所以有 S = 1 2 RRR2 2 = 这就是我们所熟悉的圆面积公式。 开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1 6 1 5 年，他将自己创 造的这种求圆面积的新方法，发表在葡萄酒桶的立体几何一书中。 开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇 形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上， 向前迈出了重要的一步。 葡萄酒桶的立体几何一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评 价开普勒的
7、工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源 泉。 一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的 新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇 形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径 O A 和半径 O B 就必然重 合，小扇形 O A B 就不存在了；如果客观存在的面积不等于零，小扇形 O A B 与 小三角形 O A B 的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。 面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。 卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方 法存在的问题。 卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形
8、，这每个小扇形的面积到 底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以 再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分 到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。 有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉， 布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉 线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直 线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于 更多好书请点击 www.uus8.org 是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线 是平
9、面面积的不可分量。 卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为 一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长 方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。 卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新 方法。 1 6 3 5年，当葡萄酒桶的立体几何一书问世 2 0周年的时候，意大利 出版了卡瓦利里的不可分量几何学。在这本书中，卡瓦利里把点、线、 面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把 平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。 卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一
10、样，但是， 只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体 积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出 了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。” 事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖。比卡瓦利里早 1 0 0 0 多年，所以我们叫它“祖原理”或者“祖定理”。 阿贝尔与 n次方程的代数解 同学们学过一元一次方程 a x = b （a 0 ） 它的代数解是：（ ）x = a a0 b 又学了一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 （a 0 ） 它的代数解（用方程的系数经过若干次代数运算而得到表示根的式子， 叫做方程的代数解）是
11、： x bbac ab = 2 4 2 这个求根公式看来很简单，也很容易学，但同学们可知道它的发现过程 却经历了漫长的历史吗？ 公元前 2 0 0 0 年左右巴比伦人的泥板文书中说，求出一个数，使它与它的 倒数的和等于一个已知数，即求出这样的一对数 和 ，使xx xx =1xx = bx且，由此得出关于 的方程是 x 2 - b x + 1 = 0 他们作出（），再作出，于是得到解答 bb 22 22 1() x = 2 bb +() 2 2 1或它的代数解是： x bb = 22 1 2 ( ) 这实际上是古巴比伦人得到的求根公式。但是当时不承认负数的存在， 所以他们回避了负根。 更多好书请
12、点击 www.uus8.org 希腊的丢番图 （约前 2 4 6 3 3 0 ）则只承认一个正根，即使两个都是正根， 也只取一个。 印度的波罗及摩及（约公元 5 9 8 6 6 5 ）在公元 6 2 8 年写成的波罗摩修 正体系中，得到方程 x 2 + P x - q = 0 的一个根的求根公式是 x PqP = + 2 4 2 到了 9 世纪乌兹别克数学家花刺子模（约公元 7 8 0 8 5 0 ）在他的代数 学中第一次给出了一般的一元二次方程的解法，他承认有两个根，还允许 无理根的存在，但他不认识虚数，所以不承认虚根。 法国数学家韦达（1 5 4 0 1 6 0 3 ）则知道一元二次方程在
13、复数范围内恒有 解。 我国数学家对一元二次方程的研究有特殊的贡献。秦汉时代的九章算 术就有求方程 x 2 + 3 4 x - 7 1 0 0 = 0 的正根记载。 在 3 世纪，赵爽 （约公元 2 2 2 年） 注释 周髀算经时， 提出了 x 2 - b x + c = 0 型的求根公式。也是世界上最早记录了二次方程的求根公式。 一般的三次方程的代数解的表达形式经历了 8 0 0年之久，到了 1 6世纪 初，欧洲文艺复兴时代，才由意大利数学家给出。下面的三次方程的代数解 公式，一般称为卡丹（1 5 0 1 1 5 7 6 ）公式： 方程 x 3 + p x + q = 0 的三个根是 y 1
14、+ z 1 ，w y 1 + w 2 z 1 ，w 2 y 1 + w z 1 ， （其中 ）。 y qqp z qqp yz q w i w i 3 2323 2 242724273 13 2 13 2 = += += = + = , 其实，发现这个公式的并不是卡丹。原来这里还有一段诱人深思的故事 呢！ 在意大利的波伦亚城有一位数学教授费洛，他首先发现了方程 x 3 + m x = n （m ，n 为正数）的解法，并于 1 5 0 5 年把此方法传授给他的学生弗罗里都斯。 到了 1 5 2 5 年，在意大利的威尼斯城举行了一次数学竞赛会，弗罗里都斯 的对手塔尔塔里亚已经估计到对方会提出求解三
15、次方程的问题，所以他就全 力以赴的研究这个问题，他在比赛前的 8 天里以惊人的速度解决了 8 0 0 多年 来没有解决的问题。在比赛过程，塔氏在两小时内解答了弗氏提出的 3 0 个问 题，而最终取得了比赛的胜利，而弗氏却以回答不出塔氏的问题而宣告失败。 在这之后，塔氏更是专心致志的研究三次方程的问题，到 1 5 4 1 年，他便 找到了一般三次方程的代数解。这时卡丹请求塔氏告诉他这个公式，并保证 不泄露秘密， 于是塔氏便满足了卡丹的要求。 但卡丹并没有遵守诺言， 在 1 5 4 5 年，卡丹在他的大法一书中公布了这个解法，所以就一直被误认为是卡 丹公式，如果这个故事是真的，卡丹的为人品德也真是
16、令人讨厌！ 就在大法这本书里，卡丹还公布了他的学生费拉里发现的一般四次 方程的代数解。 从二次方程到四次方程，人们通过变换，配方和因式分解等手段解决了 一般的二、三、四次方程的代数解问题。例如： 更多好书请点击 www.uus8.org aX + bX +c = 0X =-b 2a 2 ，将代入可求出代数解；Y aX +bX +cX +d = 0X =-b 3a 32 ，将代入可求出代数解；Y aX + bX +cX c+dX +e = 0X =-b 4a 432 ，将代入可求出代数解。Y 于是人们类比联想：一般的 n （n 5 ）次方程可能求出它的代数解。 从 1 6 世纪中叶到 1 9 世纪末，当时几乎所有的数学家都坚持不懈地研究 这个问题，人们发挥了一切聪明才智，但都没有找到解决问题的办法。 于是人们考虑重新认识这个问题，并且从反面提出问题：“一般 n （n 5 ）次方程可能
