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1、专题七类比探究题专题类型突破类型一 图形旋转引起的探究 (2019河南)在ABC中,CACB,ACB.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1)观察猜想如图1,当60时,的值是_,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是_(2)类比探究如图2,当90时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由(3)解决问题当90时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值【分析】(1)延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明CAPBAD
2、,即可解决问题(2)设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明DABPAC,即可解决问题(3)分两种情况:当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.证明ADDC即可解决问题;当点P在线段CD上时,同法可证DADC,解决问题【自主解答】1(2018河南)(1)问题发现如图1,在OAB和OCD中,OAOB,OCOD,AOBCOD40,连接AC,BD交于点M.填空:的值为_;AMB的度数为_;(2)类比探究如图2,在OAB和OCD中,AOBCOD90,OABOCD30,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将OCD绕点O在平面内旋
3、转,AC,BD所在直线交于点M,若OD1,OB,请直接写出当点C与点M重合时AC的长2(2017河南)如图1,在RtABC中,A90,ABAC,点D,E分别在边AB,AC上,ADAE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点(1)观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_;(2)探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把ADE绕A在平面内自由旋转,若AD4,AB10,请直接写出PMN面积的最大值 图1 图23(2015河南)如图1,在RtABC中,B90,BC2AB8,点D,E分别是边BC,A
4、C的中点,连接DE.将EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为.(1)问题发现当0时,_;当180时,_;(2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明(3)解决问题当EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长类型二 动点引起的探究 (2016河南)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BCa,ABb.填空:当点A位于_时,线段AC的长取得最大值,且最大值为_(用含a,b的式子表示);(2)应用点A为线段BC外一动点,且BC3,AB1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.请找出图中与BE相等的线
5、段,并说明理由;直接写出线段BE长的最大值;(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA2,PMPB,BPM90,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2)根据等边三角形的性质得到ADAB,ACAE,BADCAE60,推出CADEAB,根据全等三角形的性质得到CDBE;由于线段BE的最大值线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果(3)将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN,连接AN,得到APN是等腰直角三角形,根据全等三角形
6、的性质得到PNPA2,BNAM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为23;过P作PEx轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到点P的坐标【自主解答】4(2019河南模拟)(1)问题发现如图1,在RtABC中,BAC90,1,点P是边BC上一动点(不与点B重合),PAD90,APDB,连接CD.填空:_;ACD的度数为_;(2)拓展探究如图2,在RtABC中,BAC90,k.点P是边BC上一动点(不与点B重合),PAD90,APDB,连接CD,请判断ACD与B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系,并说明理由;(3)解决问题如图3,在ABC中,B45,AB4,BC1
7、2,P是边BC上一动点(不与点B重合),PADBAC,APDB,连接CD.若PA5,请直接写出所有CD的长类型三 图形形状变化引起的探究 (2019信阳一模)(1)观察猜想如图1,点B,A,C在同一条直线上,DBBC,ECBC,且DAE90,ADAE,则BC,BD,CE之间的数量关系为_;(2)问题解决如图2,在RtABC中,ABC90,CB4,AB2,以AC为直角边向外作等腰RtDAC,连接BD,求BD的长;(3)拓展延伸如图3,在四边形ABCD中,ABCADC90,CB4,AB2,DCDA,请直接写出BD的长【分析】(1)通过证明ADBEAC,可得结论:BCABACBDCE;(2)过D作D
8、EAB,交BA的延长线于E,同理证明ABCDEA,可得DEAB2,AEBC4,最后利用勾股定理求BD的长;(3)同理证明三角形全等,设AFx,DFy,根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论【自主解答】5(2014河南)(1)问题发现如图1,ACB和DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:AEB的度数为_;线段AD,BE之间的数量关系为_;(2)拓展探究如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACBDCE90,点A,D,E在同一直线上,CM为DCE中DE边上的高,连接BE,请判断AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由;(3)解决问题如图3,在正方
9、形ABCD中,CD,若点P满足PD1,且BPD90,请直接写出点A到BP的距离参考答案类型一【例1】(1)160(2)的值为,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.理由如下:如图,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.PADCAB45,PACDAB.,DABPAC,PCADBA,.EOCAOB,CEOOAB45,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.(3)的值为2或2.如图,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.CEEA,CFFB,EFAB,EFCABC45.PAO45,PAOOFH.POAFOH,HAPO.APC90,EAEC,PEEAEC,EPAEAPBAH
10、,HBAH,BHBA.ADPBDC45,ADB90,BDAH,DBADBC22.5.ADBACB90,A,D,C,B四点共圆,DACDBC22.5,DCAABD22.5,DACDCA22.5,DADC.设ADa,则DCADa,PDa,2.如图,当点P在线段CD上时,同法可证DADC.设ADa,则CDADa,PDa,PCaa,2.综上所述,点C,P,D在同一直线上时,的值为2或2.跟踪训练1解:(1)1提示:AOBCOD40,COADOB.OCOD,OAOB,COADOB(SAS),ACBD,1.40提示:COADOB,CAODBO.AOB40,OABABO140.在AMB中,AMB180(CA
11、OOABABD)180(DBOOABABD)18014040.(2),AMB90.理由如下:在RtOCD中,DCO30,DOC90,tan 30.同理得tan 30.AOBCOD90,AOCBOD,AOCBOD,CAODBO,AMB180CAOOABMBA180(DABMBAOBD)1809090.(3)2或3.提示:点C与点M重合时,如图,同理得AOCBOD,AMB90,.设BDx,则ACx.在RtCOD中,OCD30,OD1,CD2,BCx2.在RtAOB中,OAB30,OB.AB2OB2.在RtAMB中,由勾股定理得AC2BC2AB2,即(x)2(x2)2(2)2,解得x13,x22(舍
12、去),AC3.点C与点M重合时,如图,同理得AMB90,.设BDx,则ACx,在RtAMB中,由勾股定理得AC2BC2AB2,即(x)2(x2)2(2)2.解得x13,解得x22(舍去),AC2.综上所述,AC的长为3或2.2解:(1)PMPNPMPN提示:点P,N是BC,CD的中点,PNBD,PNBD.点P,M是CD,DE的中点,PMCE,PMCE.ABAC,ADAE,BDCE,PMPN.PNBD,DPNADC,PMCE,DPMDCA.BAC90,ADCACD90,MPNDPMDPNDCAADC90,PMPN.(2)PMN为等腰直角三角形理由如下:由旋转知,BADCAE.ABAC,ADAE,ABDACE(SAS),ABDACE,BDCE.同(1)的方法,利用三角形的中位线定理得PNBD,PMCE,PMPN,PMN是等腰三角形同(1)的方法得PMCE,DPM