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1、专题七类比探究题专题类型突破类型一 图形旋转引起的探究 (2019河南)在ABC中，CACB，ACB.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想如图1，当60时，的值是_，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是_(2)类比探究如图2，当90时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值【分析】(1)延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O.证明CAPBAD
2、，即可解决问题(2)设BD交AC于点O，BD交PC于点E.证明DABPAC，即可解决问题(3)分两种情况：当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明ADDC即可解决问题；当点P在线段CD上时，同法可证DADC，解决问题【自主解答】1(2018河南)(1)问题发现如图1，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M.填空：的值为_；AMB的度数为_；(2)类比探究如图2，在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将OCD绕点O在平面内旋
3、转，AC，BD所在直线交于点M，若OD1，OB，请直接写出当点C与点M重合时AC的长2(2017河南)如图1，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把ADE绕A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值 图1 图23(2015河南)如图1，在RtABC中，B90，BC2AB8，点D，E分别是边BC，A
4、C的中点，连接DE.将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现当0时，_；当180时，_；(2)拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明(3)解决问题当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长类型二 动点引起的探究 (2016河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb.填空：当点A位于_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_(用含a，b的式子表示)；(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.请找出图中与BE相等的线
5、段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据等边三角形的性质得到ADAB，ACAE，BADCAE60，推出CADEAB，根据全等三角形的性质得到CDBE；由于线段BE的最大值线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果(3)将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，得到APN是等腰直角三角形，根据全等三角形
6、的性质得到PNPA2，BNAM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为23；过P作PEx轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到点P的坐标【自主解答】4(2019河南模拟)(1)问题发现如图1，在RtABC中，BAC90，1，点P是边BC上一动点(不与点B重合)，PAD90，APDB，连接CD.填空：_；ACD的度数为_；(2)拓展探究如图2，在RtABC中，BAC90，k.点P是边BC上一动点(不与点B重合)，PAD90，APDB，连接CD，请判断ACD与B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在ABC中，B45，AB4，BC1
7、2，P是边BC上一动点(不与点B重合)，PADBAC，APDB，连接CD.若PA5，请直接写出所有CD的长类型三 图形形状变化引起的探究 (2019信阳一模)(1)观察猜想如图1，点B，A，C在同一条直线上，DBBC，ECBC，且DAE90，ADAE，则BC，BD，CE之间的数量关系为_；(2)问题解决如图2，在RtABC中，ABC90，CB4，AB2，以AC为直角边向外作等腰RtDAC，连接BD，求BD的长；(3)拓展延伸如图3，在四边形ABCD中，ABCADC90，CB4，AB2，DCDA，请直接写出BD的长【分析】(1)通过证明ADBEAC，可得结论：BCABACBDCE；(2)过D作D
8、EAB，交BA的延长线于E，同理证明ABCDEA，可得DEAB2，AEBC4，最后利用勾股定理求BD的长；(3)同理证明三角形全等，设AFx，DFy，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论【自主解答】5(2014河南)(1)问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：AEB的度数为_；线段AD，BE之间的数量关系为_；(2)拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方
9、形ABCD中，CD，若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离参考答案类型一【例1】(1)160(2)的值为，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.理由如下：如图，设BD交AC于点O，BD交PC于点E.PADCAB45，PACDAB.，DABPAC，PCADBA，.EOCAOB，CEOOAB45，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.(3)的值为2或2.如图，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.CEEA，CFFB，EFAB，EFCABC45.PAO45，PAOOFH.POAFOH，HAPO.APC90，EAEC，PEEAEC，EPAEAPBAH
10、，HBAH，BHBA.ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5.ADBACB90，A，D，C，B四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC.设ADa，则DCADa，PDa，2.如图，当点P在线段CD上时，同法可证DADC.设ADa，则CDADa，PDa，PCaa，2.综上所述，点C，P，D在同一直线上时，的值为2或2.跟踪训练1解：(1)1提示：AOBCOD40，COADOB.OCOD，OAOB，COADOB(SAS)，ACBD，1.40提示：COADOB，CAODBO.AOB40，OABABO140.在AMB中，AMB180(CA
11、OOABABD)180(DBOOABABD)18014040.(2)，AMB90.理由如下：在RtOCD中，DCO30，DOC90，tan 30.同理得tan 30.AOBCOD90，AOCBOD，AOCBOD，CAODBO，AMB180CAOOABMBA180(DABMBAOBD)1809090.(3)2或3.提示：点C与点M重合时，如图，同理得AOCBOD，AMB90，.设BDx，则ACx.在RtCOD中，OCD30，OD1，CD2，BCx2.在RtAOB中，OAB30，OB.AB2OB2.在RtAMB中，由勾股定理得AC2BC2AB2，即(x)2(x2)2(2)2，解得x13，x22(舍
12、去)，AC3.点C与点M重合时，如图，同理得AMB90，.设BDx，则ACx，在RtAMB中，由勾股定理得AC2BC2AB2，即(x)2(x2)2(2)2.解得x13，解得x22(舍去)，AC2.综上所述，AC的长为3或2.2解：(1)PMPNPMPN提示：点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PNBD.点P，M是CD，DE的中点，PMCE，PMCE.ABAC，ADAE，BDCE，PMPN.PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA.BAC90，ADCACD90，MPNDPMDPNDCAADC90，PMPN.(2)PMN为等腰直角三角形理由如下：由旋转知，BADCAE.ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)，ABDACE，BDCE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理得PNBD，PMCE，PMPN，PMN是等腰三角形同(1)的方法得PMCE，DPM
