质点动力学例题

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1、设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以v0向上运动 从时刻t 0开始粒子受到F F0t水平力的作用 F0为常量 粒子质量为m 水平方向有 例1 解 粒子的运动轨迹 求 运动轨迹为 竖直方向有 设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下 在地面附近有 以地心为坐标原点 物体受万有引力 解 可得 例2 它到达地面时的速度 不计空气阻力和地球的自转 求 例3 在竖直向上方向建坐标 地面为原点 如图 设压力为N 解 O y l y 取整个绳为研究对象 一柔软绳长l 线密度r 一端着地开始自由下落 求 下落到任意长度y时刻 给地面的压力为多少 以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小球 小球除受重力外

2、还受一个大小为 mv2的粘滞阻力 解 例4 求 小球上升的最大高度 装沙子后总质量为M的车由静止开始运动 运动过程中合外力始终为f 每秒漏沙量为 解 取车和沙子为研究对象 地面参考系如图 t 0时v 0 例5 求 车运动的速度 T T 质量分别为m1和m2的两物体用轻细绳相连接后 悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边 滑轮和绳的质量以及所有摩擦均不计 当电梯以a0 g 2的加速度下降时 解 取电梯为参考系 例6 m1和m2的加速度和绳中的张力 求 对m1有 对m2有 方法 一 取地面为参考系 例7 一光滑斜面固定在升降机的底板上 如图所示 当升降机以匀加速度a0上升时 质量为m的物体从斜面顶端

3、开始下滑 y x x方向 y方向 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度 求 解 设物体的加速度为 x方向 y方向 方法 二 取升降机为参考系 惯性力 例题8物体在黏滞流体中的运动 质量为m的小球在重力G mg 浮力F0 阻力f kv 其中k是一个比例常数 它与小球的尺寸 材料与流体的黏度有关 而v是小球的运动速度 的作用下竖直下降 试求小球的速度 位置随时间变化的函数关系 解 该题为已知力求运动 以小球m为研究对象 画出受力图 并以小球运动直线为x轴 取其一点为原点O 由牛顿定律可写出 解出小球的速度 例题9由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船 试求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度

4、不计空气阻力及其它作用力 解 选宇宙飞船为研究对象 设地球为均质球 地心为原点 取x坐标轴向上为正 飞船只受地球引力作用 根据万有引定力定律 地球对飞船引力的大小为 由牛顿第二定律得 飞船要脱离地球引力的作用 即意味着飞船的末位置x趋于无限大而v 0 把x 时v 0代入上式 即可求得飞船脱离地球引力所需的最小初速度 取地球的平均半径为6370km 为 11 2km s 1 这个速度称为第二宇宙速度 需要指出 在上面的分析中忽略了空气阻力 同时也未考虑地球自转等影响 设飞船在地面附近 x R 发射时的初速度为v0 在x处的速度为v 例10质量为m的匀质链条 全长为L 开始时 下端与地面的距离为h

5、 当链 条自由下落在地面上时 所受链条的作用力 L h 解设 链条在此时的速度 根据动量定理 地面受力 m 求链条下落在地面上的长度为l l L 时 地面 dm 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块 已知两木块的质量分别为m1 m2 子弹穿过两木块的时间各为 t1 t2 设子弹在木块中所受的阻力为恒力F 子弹穿过第一木块时 两木块速度相同 均为v1 子弹穿过第二木块后 第二木块速度变为v2 例11 解 求子弹穿过后 两木块各以多大速度运动 解得 如图所示 两部运水的卡车A B在水平面上沿同一方向运动 B的速度为u 从B上以6kg s的速率将水抽至A上 水从管子尾部出口垂直落下 车

6、与地面间的摩擦不计 时刻t时 A车的质量为M 速度为v 选A车M和 t时间内抽至A车的水 m为研究系统 水平方向上动量守恒 解 例12 求时刻t A的瞬时加速度 在恒星系中 两个质量分别为m1和m2的星球 原来为静止 且相距为无穷远 后在引力的作用下 互相接近 到相距为r时 解 由动量守恒 机械能守恒 例13 解得 相对速率 求它们之间的相对速率为多少 例题14一个质量的垒球 以的速率沿水平方向飞向击球手 被击中后 又以相同的速率沿的仰角方向飞出 设球和棒的作用时间ms 求垒球受到棒的平均打击力 解 直接用动量定理的矢量形式求解 垒球被击中前后的动量和的矢量关系 组成矢量三角形 由题意可知 垒

7、球受到棒的平均打击力约为垒球自身重力的5900倍 说明打击力是多么强大 例题15粒子是氦原子核 在一次粒子散射实验中 粒子和静止的氧原子核发生 碰撞 实验测出 碰撞后粒子沿与入射方向成角的方向运动 而氧原子核沿与粒子入射方向成角的方向运动 求碰撞前后粒子的速率比 解 令粒子入射方向与x轴平行 由动量守恒定律得 由以上两式解得 即碰撞后粒子的速率约为初速率为71 质量为10kg的质点 在外力作用下做平面曲线运动 该质点的速度为 解 在质点从y 16m到y 32m的过程中 外力做的功 求 例16 开始时质点位于坐标原点 缓慢拉质量为m的小球 解 例17 0时 求 已知用力 保持方向不变 作的功 已

8、知m 2kg 在F 12t作用下由静止做直线运动 解 例18 求 t 0 2s内F作的功及t 2s时的功率 一轻弹簧的劲度系数为k 100N m 用手推一质量m 0 1kg的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1 0 02m处 如图所示 放手后 物体沿水平面移动到x2 0 1m而停止 放手后 物体运动到x1处和弹簧分离 在整个过程中 解 例19 物体与水平面间的滑动摩擦系数 求 摩擦力作功 弹簧弹性力作功 根据动能定理有 长为l的均质链条 部分置于水平面上 另一部分自然下垂 已知链条与水平面间静摩擦系数为 0 滑动摩擦系数为 1 以链条的水平部分为研究对象 设链条每单位长度的质量为 沿铅垂向下取Oy

9、轴 解 例20 求 满足什么条件时 链条将开始滑动 2 若下垂部分长度为b时 链条自静止开始滑动 当链条末端刚刚滑离桌面时 其速度等于多少 当y b0 拉力大于最大静摩擦力时 链条将开始滑动 设链条下落长度y b0时 处于临界状态 2 以整个链条为研究对象 链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零 摩擦力的功 重力的功 根据动能定理有 例21 是不是保守力 解 不是保守力 如果是保守力 则 把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度 解 根据机械能守恒定律有 例22 物体从地面飞行到与地心相距nRe处经历的时间 求 发射出去 阻力忽略不计 用弹簧连接两个木板m1 m2 弹簧压缩

10、x0 解 整个过程只有保守力作功 机械能守恒 例23 给m2上加多大的压力能使m1离开桌面 求 例题24马拉爬犁在水平雪地上沿一弯曲道路行走 爬犁总质量为3t 它和地面的滑动摩擦系数求马拉爬犁行走2km的过程中 路面摩擦力对爬犁做的功 解 爬犁在雪地上移动任一元位移dr的过程中 它受的滑动摩擦力的大小为 0 12 3000 9 81 2000 7 06 106 J 例题25质量为m的摆锤系于绳的下端 绳长为l 上端固定 一个水平力F从零逐渐增大 缓慢地作用在摆锤上 使摆锤虽得以移动 但在所有时间内均无限地接近于力平衡 一直到绳子与竖直线成角的位置 试计算变力F所做的功 ds F l T 解 选

11、摆锤为研究对象 将力沿水平 竖直方向分解 其分量式为 力F对摆锤所作的总功为 例题26把质量为m的物体 从地球表面沿铅直方向发射出去 试求能使物体脱离地球引力场而作宇宙飞行所需的最小初速度 第二宇宙速度 解 取地球中心为坐标原点并假设地球是半径为R 质量为M的均质球 在物体从初始位置 r1 R 运动到末了位置 r2 的过程中 不考虑空气阻力 只有万有引力做功 由动能定理 考虑到 这个结果与例题2 4的结果相同 例题27一个劲度系数为k的弹簧 一端固定 另一端与质量为m2的物体相连 m2静止在光滑的水平面上 质量为m1的物体从半径为R的1 4光滑圆弧上滑下 与m2粘在一起压缩弹簧 求弹簧的最大压缩量 解 本题由三个物理过程组成 第一个过程为m1从静止下滑到水平面上 还没有与m2相碰的过程 在此过程中机械能守恒 取m1与地球为一个质点系 设m1滑到水平面时的速度为v1 由机械能守恒可知 按动量守恒定律有 根据机械能守恒定律 可得