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1、专题 3 2 导数与函数的单调性 1 了解函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 知识点一函数的单调性与导数的关系 函数 y f x 在某个区间内可导 则 1 若 f x 0 则 f x 在这个区间内单调递增 2 若 f x 0 则 f x 在这个区间内单调递减 3 若 f x 0 则 f x 在这个区间内是常数函数 考点一求函数的单调区间 典例 1 2019 年高考天津 设函数 e cos x f xxg x为fx的导函数 求fx的单 调区间 方法技巧 利用导数求函数单调区间的方法 1 当导函数不等式可解时 解不等式f x 0 或 f x 0 求出单调区
2、间 2 当方程 f x 0 可解时 解出方程的实根 按实根把函数的定义域划分成若干个区间 确定各区 间 f x 的符号 从而确定单调区间 3 若导函数的方程 不等式都不可解 根据f x 的结构特征 利用其图象与性质确定f x 的符号 从而确定单调区间 变式 1 2019 年高考浙江 已知实数0a 设函数 ln1 0 f xaxxx 当 3 4 a 时 求函数 f x的单调区间 考点二判断函数的单调性 典例 2 2019 年高考全国 卷 已知函数 32 2f xxaxb 讨论 f x 的单调性 举一反三 2018 全国卷 节选 已知函数f x 1 x x aln x 讨论 f x 的单调性 方法
3、技巧 含参函数单调性的求法 此类问题中 导数的解析式通过化简变形后 通常可以转化为一个二次函数的含参问题 对于二次三 项式含参问题 有如下处理思路 1 首先考虑二次三项式是否存在零点 这里涉及对判别式 0 和 0 分类讨论 即 有无实根判别式 两种情形需知晓 2 如果二次三项式能因式分解 这表明存在零点 逻辑分类有两种情况 需要考虑首项系数是否含有 参数 如果首项系数有参数 就按首项系数为零 为正 为负进行讨论 如果首项系数无参数 只需讨论 两个根 x1 x2的大小 即 首项系数含参数 先论系数零正负 首项系数无参数 根的大小定胜负 3 注意 讨论两个根x1 x2的大小时 一定要结合函数定义域
4、进行讨论 考虑两根是否在定义域中 即 定义域 紧跟踪 两根是否在其中 变式 2 2017 全国 卷改编 已知函数f x ex ex a a2x 其中参数 a 0 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 0 求 a 的取值范围 考点三根据函数的单调性求参数 典例 3 2019 年高考北京 设函数 a 为常数 若f x 为奇函数 则a 若 f x 是 R 上的增函数 则a 的取值范围是 方法技巧 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1 可导函数在区间 a b 上单调 实际上就是在该区间上f x 0 或 f x 0 恒成立 得到关于参数的不 等式 从而转化为求函数的最值问题 求出参数的取值范围 2 可导函数在区间 a b 上存在单调区间 实际上就是f x 0 或 f x 0 在该区间上存在解集 从而 转化为不等式问题 求出参数的取值范围 3 若已知 f x 在区间 I 上的单调性 区间I 上含有参数时 可先求出f x 的单调区间 令I 是其单调区 间的子集 从而求出参数的取值范围 变式 3 2016 全国 卷改编 若函数 f x x 1 3sin 2x asin x 在 单调递增 则 a 的取值范 围是
