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1、专题 1 1 集合 1 了解集合的含义 体会元素与集合的属于关系 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或 描述法 描述不同的具体问题 2 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 在具体情境中了解全集与空集的含义 3 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 理解在给定集合中一个子 集的补集的含义 会求给定子集的补集 能使用韦恩 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算 知识点 1 元素与集合 1 集合中元素的三个特性 确定性 互异性 无序性 2 元素与集合的关系是属于或不属于 表示符号分别为 和 3 集合的三种表示方法 列举法 描述法 图示法 知识点
2、 2 集合间的基本关系 1 子集 若对任意x A 都有 x B 则 A B 或 B A 2 真子集 若A B 且集合B 中至少有一个元素不属于集合A 则 AB 或 BA 3 相等 若A B 且 B A 则 A B 4 空集的性质 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 知识点 3 集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符 号 表 示 A BA B 若全集为 U 则集合A 的补 集为 UA 图 形 表 示 集 合 x x A 或 x B x x A 且 x B x x U 且 x A 表 示 知识点 4 集合的运算性质 1 A A A A A B B A 2 A A A A A A
3、B B A 3 A UA A UA U U UA A 特别提醒 1 若有限集 A 中有 n 个元素 则A 的子集有2n个 真子集有 2n 1 个 2 子集的传递性 A B B C A C 3 A B A B A A B B UA UB 4 U A B UA UB U A B UA UB 考点一 集合的基本概念 典例 1 2018 全国 卷 已知集合A x y x2 y2 3 x Z y Z 则 A 中元素的个数为 A 9 B 8 C 5 D 4 规律方法 1 研究集合问题时 首先要明确构成集合的元素是什么 即弄清该集合是数集 点集 还是其他集 合 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么 从
4、而准确把握集合的含义 2 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时 要注意检验集合中的元素是否 满足互异性 3 集合中元素的互异性常常容易忽略 求解问题时要特别注意 分类讨论的思想方法常用于解决 集合问题 变式 1 2019 辽宁实验中学期中 已知集合 A x Z x 1 x 2 0 则集合A 的子集的个数为 A 7 B 8 C 15 D 16 考点二 集合间的基本关系 典例 2 2019 河北衡水中学调研 已知集合 A x x2 5x 14 0 集合 B x m 1 x 2m 1 若 B A 则实数m 的取值范围为 方法技巧 1 判断两集合之间的关系的方法 当两集合不含参数时
5、 可直接利用数轴 图示法进行判断 当集合 中含有参数时 需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法 2 要确定非空集合A 的子集的个数 需先确定集合A 中的元素的个数 再求解 不要忽略任何非空集 合是它自身的子集 3 根据集合间的关系求参数值 或取值范围 的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系 进而转化 为参数所满足的关系 常用数轴 图示法来解决这类问题 易错警示 空集是任何集合的子集 在涉及集合关系时 必须优先考虑空集的情况 否则会造成漏 解 变式 2 2019 山东烟台一中调研 已知集合M x x k 4 4 k Z 集合 N x x k 8 4 k Z 则 A M N B M N
6、C N MD M N M 考点三 集合的运算 典例 3 2019 高考全国卷 已知集合M x 4 x 2 N x x2 x 6 0 则 M N A x 4 x 3 B x 4 x 2 C x 2 x 2 D x 2 x0 则 RA A x 1 x 2 B x 1 x 2 C x x2 D x x 1 x x 2 考点四 利用集合的运算求参数 典例 4 已知集合A x x2 x 12 0 B x x m 若 A B x x 4 则实数 m 的取值范围是 A 4 3 B 3 4 C 3 4 D 4 方法规律 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 与不等式有关的集合 一般利用数轴解决 要注意端点
7、值能否取到 若集合能一一列举 则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系 再列方程 组 求解 易错警示 在求出参数后 注意结果的验证 满足互异性 变式 4 2019 四川绵阳一中模拟 设集合 A 0 4 B x x2 2 a 1 x a2 1 0 x R 若 A B B 则实数a的取值范围是 考点五 集合的新定义问题 典例 5 2019 湖南长沙一中模拟 若数集 A a1 a2 an 1 a1 a2 an n 2 具有性 质 P 对任意的i j 1 i j n aiaj与 aj ai两数中至少有一个属于 A 则称集合A 为 权集 则 A 1 3 4 为 权集 B 1 2 3 6 为 权集 C
8、 权集 中元素可以有0 D 权集 中一定有元素1 方法技巧 解决集合新定义问题的方法 1 正确理解新定义 耐心阅读 分析含义 准确提取信息是解决这类问题的前提 剥去新定义 新法则 新运算的外表 利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合 是解决这 类问题的突破口 2 合理利用集合性质 运用集合的性质 如元素的性质 集合的运算性质等 是破解新定义型集合问 题的关键 在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素 并合理利用 3 对于选择题 可结合选项 通过验证 排除 对比 特值法等进行求解或排除错误选项 当不 满足新定义的要求时 只需通过举反例来说明 以达到快速判断结果的目的 变式 5 已知集合M x y y f x 若对于任意实数对 x1 y1 M 都存在 x2 y2 M 使 得 x1x2 y1y2 0成立 则称集合 M 是 垂直对点集 给出下列四个集合 M x yy 1 x M x y y log2x M x y y ex 2 M x y y sinx 1 其中是 垂直对点集 的序号是 A B C D
