《第3章空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法（整理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法（整理）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学 海 无 涯 3 2 立体几何中的向量立体几何中的向量方法方法 一一 平行与垂直关系的向量证法平行与垂直关系的向量证法 知识点一知识点一 求平面的法向量求平面的法向量 已知平面 经过三点 A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 试求平面 的一 个法向量 解 A 1 2 3 B 2 0 1 C 3 2 0 AB uuu r 1 2 4 AC 1 2 4 设平面 的法向量为 n x y z 依题意 应有 n AB uuu r 0 n AC 0 即 x 2y 4z 0 2x 4y 3z 0 解得 x 2y z 0 令 y 1 则 x 2 平面 的一个法向量为 n 2 1 0 反思感悟 用待
2、定系数法求平面的法向量 关键是在平面内找两个不共 线向量 列出方程组 取其中一组解 非零向量 即可 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 DC 的中点 求证 AE uuu r 是平面 A1D1F 的法向量 证明 设正方体的棱长为 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则AE uuu r 是平面 A1D1F 的法向量 证明 设正方体的棱长为 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 1 0 0 E 1 1 1 2 学 海 无 涯 AE uuu r 0 1 1 2 D1 0 0 1 F 0 1 2 0 A1 1 0 1 1D F uuuu r 0 1 2 1 A1D1 1 0
3、 0 AE uuu r 1D F uuuu r 0 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 AE uuu r A1D1 0 AE uuu r A1D1 又 A1D1 D1F D1 AE 平面 A1D1F AE uuu r 是平面 A1D1F 的法向量 知识点二知识点二 利用向量方法证平行关系利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是 B1D1的中点 求证 B1C 平面 ODC1 证明 方法一 1B C uuuu r 1A D uuuu r B 1A D B1C A1D 又 A1D 面 ODC1 B1C 面 ODC1 方法二 1B C uuuu r 11B C
4、 uuuu r 1B B uuu u r 1B O uuuu r 1OC uuuu r 1D O uuuu r OD uuu r 1OC uuuu r OD uuu r 1B C uuuu r 1OC uuuu r OD uuu r 共面 又 B1C 面 ODC1 B1C 面 ODC1 方法三 建系如图 设正方体的棱长为 1 则可得 B1 1 1 1 C 0 1 0 O 1 2 1 2 1 C1 0 1 1 1B C uuuu r 1 0 1 学 海 无 涯 OD uuu r 1 2 1 2 1 1OC uuuu r 1 2 1 2 0 设平面 ODC1的法向量为 n x0 y0 z0 则 1
5、 0 0 n OD n OC uuu r uuuu r 得 1 2x0 1 2y0 z0 0 1 2x0 1 2y0 0 令 x0 1 得 y0 1 z0 1 n 1 1 1 又 1B C uuuu r n 1 1 0 1 1 1 0 1B C uuuu r n B1C 平面 ODC1 反思感悟 证明线面平行问题 可以有三个途径 一是在平面 ODC1 内找一向量与1B C uuuu r 共线 二是说明1B C uuuu r 能利用平面 ODC1内的两不共线向量线性 表示 三是证明1B C uuuu r 与平面的法向量垂直 如图所示 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直 BE CF
6、 BCF CEF 90 AD 3 EF 2 求证 AE 平面 DCF 证明 如图所示 以点 C 为坐标原点 以 CB CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴 y 轴 和 z 轴 建立空间直角坐标系 C xyz 设 AB a BE b CF c 则 C 0 0 0 A 3 0 a 学 海 无 涯 B 3 0 0 E 3 b 0 F 0 c 0 AE 0 b a CB uuu r 3 0 0 BE uuu r 0 b 0 所以CB uuu r AE 0 CB uuu r BE uuu r 0 从而 CB AE CB BE 所以 CB 平面 ABE 因为 CB 平面 DCF 所以平面 ABE 平面
7、 DCF 故 AE 平面 DCF 知识点三知识点三 利用向量方法证明垂直关系利用向量方法证明垂直关系 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是棱 AB BC 的中点 试在棱 BB1 上找一点 M 使得 D1M 平面 EFB1 解 建立空间直角坐标系 D xyz 设正方体的棱长为 2 则 E 2 1 0 F 1 2 0 D1 0 0 2 B1 2 2 2 设 M 2 2 m 则EF uuu r 1 1 0 B1E 0 1 2 1D M uuuuu r 2 2 m 2 1D M 平面 EFB1 1D M EF 1D M B1E 1D M uuuuu r EF uuu r 0 且1D
8、M uuuuu r B1E 0 于是 2 2 0 2 2 m 2 0 m 1 学 海 无 涯 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M 平面 EFB1 反思感悟 证明直线与平面垂直有两种方法 1 用直线与平面垂直的 判定定理 2 证明该直线所在向量与平面的法向量平行 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 B1C A1B 求证 AC1 A1B 证明 建立空间直角坐标系 C1 xyz 设 AB a CC1 b 则 A1 3 2 a a 2 0 B 0 a b B1 0 a 0 C 0 0 b A 3 2 a 1 2a b C1 0 0 0 于是1A B uuu u r 3 2 a 1 2a b
9、1B C uuuu r 0 a b 1AC uuuu r 3 2 a a 2 b B1C A1B 1B C uuuu r 1A B uuu u r a 2 2 b 2 0 而1AC uuuu r 1A B uuu u r 3 4a 2 1 4a 2 b2 a 2 2 b 2 0 1AC uuuu r 1A B uuu u r 即 AC1 A1B 课堂小结课堂小结 1 用待定系数法求平面法向量的步骤 1 建立适当的坐标系 2 设平面的法向量为 n x y z 3 求出平面内两个不共线向量的坐标 a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 4 根据法向量定义建立方程组 a n 0 b n 0 5
10、解方程组 取其中一解 即得平面的法向量 2 平行关系的常用证法 AB uuu r CD 证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直 然后说明直 线在平面外 证面面平行可转化证两面的法向量平行 学 海 无 涯 3 垂直关系的常用证法 要证线线垂直 可以转化为对应的向量垂直 要证线面垂直 可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直 要证面面垂直 可以转化为证明两个平面的法向量垂直 一 选择题 1 已知 A 3 5 2 B 1 2 1 把AB uuu r 按向量 a 2 1 1 平移后所得的向量是 A 4 3 0 B 4 3 1 C 2 1 0 D 2 2 0 答案 B AB uuu
11、 r 4 3 1 平移后向量的模和方向是不改变的 2 平面 的一个法向量为 1 2 0 平面 的一个法向量为 2 1 0 则平面 与平 面 的位置关系是 A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D 不能确定 答案 C 解析 1 2 0 2 1 0 0 两法向量垂直 从而两平面也垂直 3 从点A 2 1 7 沿向量a 8 9 12 的方向取线段长AB 34 则B点的坐标为 A 9 7 7 B 18 17 17 C 9 7 7 D 14 19 31 答案 B 解析 设 B x y z AB uuu r x 2 y 1 z 7 8 9 12 0 故 x 2 8 y 1 9 z 7 12 又 x 22
12、y 12 z 72 342 得 17 2 342 0 2 x 18 y 17 z 17 即 B 18 17 17 4 已知 a 2 4 5 b 3 x y 分别是直线 l1 l2的方向向量 若 l1 l2 则 A x 6 y 15 B x 3 y 15 2 C x 3 y 15 D x 6 y 15 2 答案 D 解析 l1 l2 a b 学 海 无 涯 则有2 3 4 x 5 y 解方程得 x 6 y 15 2 5 若直线 l 的方向向量为 a 1 0 2 平面 的法向量为 u 2 0 4 则 A l B l C l D l 与 斜交 答案 B 解析 u 2a a u l 二 填空题 6 已
13、知 A 1 1 1 B 2 3 1 则直线 AB 的模为 1 的方向向量是 答案 1 3 2 3 2 3 或 1 3 2 3 2 3 解析 AB uuu r 1 2 2 AB uuu r 3 模为 1 的方向向量是 AB AB uuu r uuu r 7 已知平面 经过点 O 0 0 0 且 e 1 1 1 是 的法向量 M x y z 是平面 内任 意一点 则 x y z 满足的关系式是 答案 x y z 0 解析 OM uuuu r e x y z 1 1 1 x y z 0 8 若直线 a 和 b 是两条异面直线 它们的方向向量分别是 1 1 1 和 2 3 2 则 直线 a 和 b 的
14、公垂线 与两异面直线垂直相交的直线 的一个方向向量是 答案 1 4 5 答案不唯一 解析 设直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量为 n x y z a 与 b 的方向向量分别 为 n1 n2 由题意得 n n1 0 n n2 0 即 x y z 0 2x 3y 2z 0 解之得 y 4x z 5x 令 x 1 则有 n 1 4 5 三 解答题 9 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 E F 分别是 BB1 DD1的中点 求证 1 FC1 平面 ADE 2 平面 ADE 平面 B1C1F 学 海 无 涯 证明 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz 则有 D 0 0 0 A 2
15、 0 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 2 2 1 F 0 0 1 B1 2 2 2 所以1FC uuu u r 0 2 1 DA uuu r 2 0 0 AE uuu r 0 2 1 1 设 n1 x1 y1 z1 是平面 ADE 的法向量 则 n1 DA uuu r n1 AE uuu r 即 1 11 2 2 DAx AEyz 1 1 n n uuu r uuu r得 1 11 0 2 x zy 令 z1 2 则 y1 1 所以 n1 0 1 2 因为 FC1 n1 2 2 0 所以FC1 n1 又因为 FC1平面 ADE 所以 FC1 平面 ADE 2 11C B uuuu r 2 0 0 设 n2 x2 y2 z 2 是平面 B1C1F 的一个法向量 由 n2 FC1 n2 11C B uuuu r 得 2122 2112 20 20 n FCyz n C Bx uuu u r uuuu r得 得 2 22 0 2 x zy 学 海 无 涯 令 z2 2 得 y2 1 所以 n2 0 1 2 因为 n1 n2 所以平面 ADE 平面 B1C1F 10 如图所示 在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中 AP BQ b 0 b 2 2
