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1、知识结构串联 中考专题透析 专题 投影与作图 生活中的简单应用的整合 命题热点趋向 在中考试卷中 对本专题的考查主要是考查平行投影和中心投 影的定义及性质 考查的内容有确定投影的类型及投影作图 投影的应用等 考查 形式以选择题和填空题为主 有时也会出现与相似和解直角三角形有关的解答题 解题思路梳理 本专题解题时要抓住以下几点 在判断投影的类型时 弄清 物体与影子上的对应点是平行还是相交 在应用平行投影求物体的高度时 注意 要分清不同时刻和相同时刻以及公式甲物体的高 乙物体的高 甲物体的影长 乙物体的影长的应用 例 如图 小华 小军 小丽同时站在路灯下 其中小军和小丽的影子 分别是A B C D
2、 请你在图中画出路灯灯泡所在的位置 用点P表示 画出小华此时在路灯下的影子 用线段E F表示 精析 由题意可知 因为是在路灯下形成的影子 所以是中心投影 影子应交 于一点 所以根据小军和小丽的影子可以确定灯泡的位置 然后就可以画出小华在 路灯下的影子 解答 如图 所示 图 点拨 在日常生活中 物体在太阳光下的影子是平行投影 而由各种灯光发 出的光线可以看成是从一点发出的 因而物体在灯光下的影子是中心投影 图 例 如图 丁轩同学在晚上由路灯A C 走向路灯B D 当他走到点P时 发现身后他影子的 顶部刚好接触到路灯A C的底部 当他向前再步行 m到达点Q时 发现身前他影子的顶部刚好接触 到路灯B
3、 D的底部 已知丁轩同学的身高是 m 两个路灯的高度都是 m 则两路灯之间的距离是 A m B m C m D m 精析 由于人与路灯都是垂直于地面 可发现人高与路灯恰好构造成 A 字 型的两相似 三 角 形 从 而 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 两 组 对 应 边 成 比 例 即 A P A P B Q B Q 而A P B Q 将两等式同时左右相加 得 B Q B Q 解得B Q 从而求出两路灯之间的距离是 m 故选D 解答 D 点拨 由投影光线构造相似的几何模型 并利用相似的性质进一步帮助解决 实际问题 例 如图 某 一 时刻 太阳 光从 教 室窗 户 射 入 室 内
4、与 地 面 的 夹 角 B P C为 窗户的部分在教室地面所形成的影长P E为 m 窗户的高度A F 为 m 求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离AD 结果精确到 m 图 精析 已知 B P C为 P E为 m 可过 点E添加辅助线 构造直角三角形 利用边与角之 间的关系求出B F的长 从而求出A B 进而利用 R t B AD中的边与角之间的三角函数关系求出 AD的长 解答 过点E作E G A C交B P于点G E F B D 四边形B F E G是平行四边形 在R t P E G中 P E P t a n E P G E G E P E G E P t a n E P G t a n 或
5、E G 四边形B F E G是平行四边形 B F E G A B A F B F 或A B 又 AD P E B D A P 在R t B AD中 t a n A B AD AD A B t a n 或AD m 所求的距离AD约为 m 点拨 物体在阳光下的影长与方向随时间的变化而变化 在同一时刻 不同 物体的高度与其在太阳光下的影子长度的比是相同的 解决实际问题的关键是根 据题中具体条件进行分析 通过添加适当的辅助线构建直角三角形的几何模型 化 繁为简 化难为易 并根据直角三角形中边与角的关系 运用数形结合的思想 解决 实际问题 专题 实物原型和三视图知识的整合 命题热点趋向 本专题是中考中的
6、必考内容之一 主要考查能根据视图描述几 何体的形状或名称 由实物确定或作出视图 以及根据三视图判断构成几何体的小 立方体的个数等问题 题型多以选择题 填空题为主 有时也以解答题的形式出现 解题思路梳理 本专题解题时要抓住以下几点 在画物体的视图时 看见的 轮廓画成实线 看不见的轮廓画成虚线 根据三视图还原几何体时 必须将各个 视图对照分析得出几何体的长 宽和高 画几何体的三个视图时 三个视图的位 置是有规定的 在画几何体的三视图时 三视图的大小也是一定的 一般规则是 长对正 高平齐 宽相等 例 画出如图 所示的立体图的三视图 图 精析 按照三视图的定义 从正面看到的是两个矩形 从左面看到的是一
7、个 矩形和一个三角形 从上面看到的则是两个正方形 解答 如图 图 点拨 画简单组合体的三种视图时 要把组合体分割成圆柱 圆锥等规则几 何体来画 对于三种视图的长 宽 高 应满足 长对正 宽平齐 高相等 一般地 看 得见的轮廓线都画成实线 看不见的画成虚线 不能漏掉 例 图 所给的三视图表示的几何体是 图 A 长方体B 圆柱C 圆锥D 圆台 精析 主视图和左视图是同样大小的长方形及俯视图是圆形可知 几何体是 圆柱体 故选B 解答 B 点拨 解题的关键是明确三视图的概念 并能进行立体图形与平面图形的相 互转化 例 如图 是一个用相同的小立方块搭成的几何体的三视图 则组成 这个几何体的小立方块的个数
8、是 图 A B C D 精析 由俯视图可知 该几何体有一行三列 再由主 左视图可知第一列有 个小立方块 第 列有 个小立方块 第 列有 个小立方块 一共有 个小立方 块 故选C 解答 C 点拨 解答由视图还原几何体的问题 一般情况下都是由俯视图确定几何体 的位置 有几行几列 再由另外两个视图确定第几行第几列处有多少块 简捷的方 法是在原俯视图上用标注数字的方法来解答 专题 投影和视图中有关的计算以及视图和展开图之间的整合 命题热点趋向 在对本专题的考查中 主要考查利用三视图与展开图综合其他 一些几何体的知识进行有关物体的一些推理和计算 多数是以填空题和选择题的 形式出现 偶尔也会出现解答题 解
9、题思路梳理 解决本专题一般思路是 先结合三视图想象出立体图形 再画 出几何体的展开图或确定出物体的长 宽和高 最后根据展开图求出物体的表面积 或体积 一般确定几何体的长 宽 高是根据 主视图与俯视图 长对正 主视图与 左视图 高平齐 俯视图与左视图 宽相等 图 例 如图 一个空间几何体的主视图和左视图都 是边长为 的正三角形 俯视图是一个圆 那么这个几何体的 侧面积是 精析 先根据给出的三视图得出该几何体是一个圆锥 且 其母线长为 底面直径为 再根据圆锥侧面积的计算公式求 解 解答 S侧 r l 点拨 本题的关键是要能看懂三视图 并注意所见的等边三角形是轴截面的 等边三角形 从中得出具体几何体
10、中的已知量 例 骰子是 个面上分别写有数字 的小立方体 它任意两对 面上所写的两个数字之和为 将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的 数字的积为 摆成一个几何体 这个几何体的三视图如图 所示 已知图中所 标注的是部分面上的数字 则 所代表的数是 图 A B C D 精析 由左视图中数字 可知 其对面的数字应为 故与之相接触面的数字 为 由此得下面一行各小立方体的左面数字均为 右面数字均为 由主视图可 知最右边下面的小立方体正面数字是 则其后面数字为 这样 它上下两个面的 数字为 和 又两个小立方体相接触面的数字积为 故其上面数字只能为 则 右上方小立方体下面的数字应为 其上面数字就应为 即
11、俯视图中 所代表 的数是 选B 解答 B 点拨 简单几何体的三视图 主视图 左视图 俯视图 可以确定出简单物体 的原形状 辨别时充分利用空间想象力 注意组合物体的位置特征 这样才能顺利 有效地进行数字规律的推理与思考 例 长方体的主视图与俯视图如图 所示 则这个长方体的体积是 图 A B C D 精析 由主视图可知 这个长方体的长和高分别为 和 由俯视图可知 这个 长方体的长和宽分别为 和 因此这个长方体的长 宽 高分别为 因此这 个长方体的体积为 平方单位 解答 C 点拨 三视图问题一直是中考中的高频考点 一般题目难度中等偏下 本题 是由两种视图来推测整个长方体的特征 这种类型的问题在中考试
12、卷中经常出现 本题所用的知识是 主视图主要反映物体的长和高 左视图主要反映物体的宽和 高 俯视图主要反映物体的长和宽 最新三年真题 例 安徽 如图 下列四个几何体中 其主视图 左视图 俯视图中只 有两个相同的是 精析 正方体的三视图都是正方形 球的三视图都是圆 直三棱柱的主视图是 矩形 两边长分别是棱长 底面上的高 俯视图是矩形 两边长分别是棱长 底面的 边长 左视图是正三角形 圆柱的主视图 俯视图都是矩形且这两个矩形全等 左视 图是圆 符合题意 解答 D 例 湖北荆门 如图 是一个包装纸盒的三视图 单位 c m 则 制作一个纸盒所需纸板的面积是 A c m B c m C c m D c m
13、 图 精析 所需纸板的面积就是纸盒所有面的面积的和 由三视图可以想象出该纸 盒的立体图形是正六棱柱 侧面是六个边长为 的正方形 面积为 底面是两个 六边形 面积为 所以纸盒的面积为 解答 C 例 广东肇庆 如图 是一个几何体的实物图 则其主视图是 图 精析 观察一个物体 主视图是从正面看到的图形 本题物体由上下两个部分 组成 上面的物体从正面看到的是一个等腰梯形 下面是一个长方体 从正面看到 的是一个长方形 再由上面的物体放置的位置特征可知选C 解答 C 例 贵州安顺 某一时刻 身高 m的小明在阳光下的影子是 m 同一时刻同一地点 测得某旗杆的影长是 m 则该旗杆的高度为 A mB mC mD
14、 m 精析 设旗杆的高度为xm 根据题意得x 解得x 故选C 解答 C 例 湖北孝感 几个棱长为 的正方体组成的几何体的三视图如图 所示 则这个几何体的体积是 图 A B C D 精析 观察主视图 从左到右每列的小正方形的个数依次为 观察左视 图 从左到右每行的小正方形的个数依次为 由以上可得到俯视图中每个小正 方形相应位置的正方体的个数 如图 于是可以求出几何体共需这样的正方 体个数是 个 所以这个几何体的体积是 故选B 图 解答 B 例 贵州毕节 王老师有一个装文具 用 的盒 子 它 的三 视图 如 图 所示 这个盒子类似于 图 A 圆锥B 圆柱C 长方体D 三棱柱 精析 圆锥的三种视图分
15、别是 三角形 三角形 圆 圆柱的三种视图分别是 矩 形 矩形 圆 长方体的三种视图分别是 矩形 矩形 矩形 三棱柱的三种视图分别 是 矩形 矩形 三角形 故选D 解答 D 例 甘肃兰州 一个长方体的左视图 俯视图及相关数据如图 所示 则其主视图的面积为 图 A B C D 精析 左视图观察到的是长方体的宽和高 宽为 高为 俯视图看到的是长 方体的长和宽 长为 主视图看到的是长方体的长和高 所以其面积 长 高 故选B 解答 B 例 云南昭通 如图 所示 某班上体育课 甲 乙两名同学分别 站在点C D的位置时 乙的影子恰好在甲的影子里边 已知甲身高 米 乙身高 米 甲的影长是 米 则甲 乙同学相距
16、 米 图 精析 由题意 得 AD E A C B 所以AD A C D E B C A C 米 B C 米 D E 米 所以AD 米 所以C D 米 解答 例 河南 如图 是一个几何体的三视图 根据图示的数据可计 算出该几何体的表面积为 图 精析 由三视图可知 这个物体是一个圆锥 由俯视图可知 圆锥的底面直径为 高为 根据勾股定理求得圆锥母线长 所以圆锥的侧面积为 底面积为 r 因此该几何体的表面积为 解答 例 辽宁抚顺 星期天 小强去水库大坝游玩 他站在大坝上的A处 看到一棵大树的影子刚好落在坝底的B处 点A与大树及其影子在同一平面内 此时太阳光与地面成 角 在A处测得树顶D的俯角为 如图 所示 已 知A B与地面的夹角为 A B为 米 请你帮助小强计算一下这颗大树的高度 结果精确到 米 参考数据 图 精析 欲求D E的长 在 B D E中只需知道B D的长 再由 D B E 即可得 解 而目前唯一知道的长度是A B 米 在 A B D中 由条件可得 A B D B AD 若过点D作DM A B于点M 在R t MB D中 由 A B D BM DM 可求得B D的长 问题获解 解答
