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1、演练方阵 第12讲 均值不等式算术平均数和几何平均数考点说明：算术平均数和几何平均数的概念及简单应用是常考点类型一 算术平均数和几何平均数的概念【易】1、（2017秋江西省赣州市期中）若，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】；c=0时；因为所以，选D.【易】2、（2016春河北冀州中学期中）若，则在下列四个选项中，最大的是 ( ）ABCDb【答案】D【解析】有算术平均数与几何平均数可以比较得，b是这些数中最大的一个，或者特殊值法即能得到正确答案。【易】3、（2017春北京市海淀区适应性考试）若，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
2、析】因为，所以由均值不等式知，故选C【中】4、（2017秋湖南省长沙市长郡中学期中）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为，设物体的真实重量为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设天平的左右臂分别为物体放在左右托盘称得的重量分别为, 真实重量为,则由杠杆平衡原理知：，由于故，由均值不等式，真实重量是两次称重结果的几何平均数，而不是算术平均数【中】5、若ab1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则A.RPQB.PQRC.QPRD.PRQ【答案】B【解析】ab1lga0,lgb0.RQP.【中】6
3、、（2017春衡水中学期中）几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即故本题答案选D类型二 算术平均数的大小比较【易】1、（2017秋河南省南阳市第一中学期中）下列不等式：；若，则；若，则logab+logba2，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】或，所以不正确；若，则，所以不正确
4、，所以正确.本题选择C选项.【易】2、（2016秋山西省陵川第一中学）函数取得最小值时，的值为（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】，当且仅当时取等号,此时，故选：B.【易】3、（2017秋广东省揭阳期中）下列函数中，最小值为4的是（）A. y=x+4x B. y=sinx+4sinx（0x） C. y=ex+4ex D. y=x2+1+2x2+1【答案】C【解析】对于A，当时，无最小值；对于B，令t= sinx，由0x知,易知在时，单调递减，, 故不成立；对于D ,当且仅当x=1时“=”成立，易知最小值为，不成立.故选C【中】4、（2017秋河南省南阳市第一中学期中）已知正数
5、，满足，则的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 8【答案】C【解析】令t=xy,则；由在上单调递减,故当时有最小值，即：时z有最小值.本题选择C选项.【中】5、（2017秋广州市育才中学）已知，则函数的最小值是A7 B9C11D13【答案】B【解析】有均值不等式可以得到fx=4x+1x-1+1=4x-1+1x-1+59【中】6、（2017秋黑龙江省双鸭山市期中）已知都是正数 , 且则的最小值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,故选C.【中】7、（2017秋河北省邢台市期中）已知.（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）, ,即.(
6、另外，作差法亦可，左右=不等式成立)（2）要证，只需证，只需证，即，原不等式成立.【难】8、（2017秋河北省承德一中）已知a0，b0，ab1，求证：.【答案】见解析【解析】，. . .从而有.即. . .均值定理考点说明：概念辨析是常考考点类型一 均值定理以及简单公式的应用【易】1、（2017春甘肃省天水市第一中学）若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. ab2 Da2b28【答案】D【解析】由，故A错误；,故B错误，又前面可知，故C错误;由，故D正确，选D.【易】2、（2017春河北省保定市定兴中学）当，时，的最大值为（ ）A.3 B.6 C.9 D. 81【
7、答案】C【解析】因为，时，选C【易】3、（2017春甘肃省天水市第一中学）已知，则的最小值为（ ）A. B. -1 C. 2 D. 0【答案】D【解析】因为所以选D.【中】4、（2017秋河北省保定市定兴中学）已知函数，则取最小值时对应的的值为（ ）A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】，当且仅当，即时等号成立.故选A.【中】5、（2017秋江西省南昌市八一中学期中）若，且，则有( ).最大值 .最小值 .最小值 .最小值【答案】D【解析】解：因为，且，因此选D【中】6、（2017秋山西省运城市期中）已知，则有（）A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值2 D. 最小值2【答案】D【
8、解析】依题意，类比对钩函数的性质可知，当，即时，函数取得最小值为.【中】7、（2017秋天津市耀华中学期中）已知函数，则取最小值时对应的的值为（ ）A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】，当且仅当，即时等号成立.故选A.【难】8、（2017秋天津市河西区联考）若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为圆心为，半径，所以由弦心距、半径、半弦长之间的关系可得：弦心距，即直线（，）过圆心，则，即，所以，应选答案A。类型二 均值定理在最值中的应用【易】1、已知：0x1，则函数y=x（32x）的最大值是_【答案】【解析】，当且仅当即时等号成
9、立，取得最大值【易】2、（2017秋贵州省贵阳市第六中学）若实数满足，则的最小值是 【答案】6【解析】【易】3、（2017秋辽宁省庄河市联考）若两个正实数x、y满足 ，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）.A. （-1,4） B. （-，-1）（4，+）C. （-4,1） D. （-，0）（3，+）【答案】B【解析】因为，所以，解之得或，故应选答案B。【中】4、（2016秋安徽铜陵市联考）若实数，且满足，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】a、b(0,1)，且满足，本题选择B选项.【中】5、（2016秋广东省北师大东莞石竹附中）设x，yR，且x+y=4，则5x+5
10、y的最小值是（ ）A9 B25 C162 D50【答案】D【解析】5x0，5y0，又x+y=4，5x+5y2，故选D【中】6、（2017秋天津市河东区期中）已知，且，则的最小值是_【答案】【解析】因为，所以，即，所以，应填答案。【中】7、（2017秋辽宁省沈阳铁路实验中学）若直线：经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是_【答案】【解析】试题分析：由题意得，截距之和为，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为【中】8、（2017秋甘肃省天水市第一中学）若正数满足，且的最小值为18，则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 9【答案】B【解析】由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方
11、程的根，所以选B.均值不等式的常见变形考点说明：公式需要熟练掌握。类型一 均值不等式的多种变形形式【易】1、（2017秋安徽省合肥市调研性检测）已知0，则的最小值为（ ）A4 B6 C8 D10【答案】A【解析】0, ，当且仅当x=2时等号成立【易】2、（2017秋天津市河西区联考）若则函数的最大值为 【答案】【解析】由得；【易】3、（2017秋浙江省湖州市第一中学）若x0、y0，且xy1，则xy的最大值为_【答案】【解析】,则即,所以.当且仅当时取.所以的最大值为.【中】4、（2017秋江苏省如皋市联考）已知正实数满足，则的最小值为_.【答案】【解析】由已知可得，故最小值为【中】5、（201
12、7秋安徽省“皖西七校”联考）已知，且，则的最小值是.【答案】【解析】，又，（当且仅当且时取等号），即的最小值为.【难】6、（2017秋江西省南昌市联考）a0,b0且+=（1）求证a4+b48.（2）是否存在a,b使得2a+b=4?【答案】（1）见解析；（2）不存在【解析】（1），所以，所以，所以，仅当a=b取得等号所以，仅当a=b取得等号,( 2）仅当2a=b取得等号，又仅当a=b取得等号所以，仅当a=b=0取得等号与题目条件矛盾所以不存在a、b使得2a+b=4类型二 利用不等式变形形式的应用【易】1、（2017秋重庆市十一中）若，则的最小值为_【答案】2【解析】由lgx+lgy=lgxy=2，得到xy=10=100，且x0，y0，=2，当且仅当x=y时取等号，则的最小值为2故答案为：2【易】2、（2017秋遵义四中期中）函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中则的最小值为【答案】8【解析】注意到A(2，1)，从而2m+n=1，再利用1 的代换得到答案.【易】3、（2017秋河南省豫南九校联考）函数的取值范围为_【答案】或【解析】易知函数为奇函数，且当时，当时，即函数的取值范围为或.【易】4、若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为_.【答案】【解析】，当且仅当时等
