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1、第10讲 不等关系和不等式1.掌握实数的大小比较方法；2.不等式的性质的运用；3.理解不等式性质的证明范围。1.用不等式（组）表示实际问题当中的不等关系。2.利用不等式研究含有不等关系的问题。不等关系和不等式不等式的基本性质：（1）对于任意两个实数、，都有；（2）比较两实数、大小的方法求差比较法，即通过判断它们的差的符号来判断、的大小（有时也可以利用比值来比较大小）。例1.实数不超过，是指()A B C D【答案】【解析】不超过的意思就是“”，这里要注意不能遗漏“”。练习1. 设M，N，则M与N的大小关系是()A B C D与有关【答案】【解析】，成立，即。比较数或式之间的大小，只要考察它们的
2、差值即可。例2. 已知，则的大小关系为()A BC D无法确定【答案】【解析】， ，。练习1.已知，比较与的大小【答案】【解析】，当时，1， 当时，综上所述，总有 数字或者式子之间比较大小，除了相减之外还可以进行相除再与1比较大小的方法去求解不等式的性质不等式的性质定理：定理1：若，则；若，则即定理2：若，且，则定理3：若，则定理3推论：若，且，则定理4：如果且，那么；如果且，那么推论1：如果且，那么推论2：如果， 那么 定理5：如果，那么 例1. 若，则下列不等式不能成立的是()A B C D【答案】【解析】利用不等式的性质判断即可知，都正确，练习1. 设，且，则() B C D【答案】【解
3、析】，且，故选练习2. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是()A B C D【答案】【解析】通过取特殊值法可以否定，再通过作差利用不等式的基本性质可以证明。 利用不等式的性质解题时尤其要注意正负号，可以结合特殊值法等方法去求解。例2. 若，则下列不等式中总成立的是()A BC D【答案】【解析】由得，本题正确选项为。练习1. 若，给出下列不等式：；.其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个【答案】【解析】由，判断的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误。 灵活运用不等式的性质以及推论，尤其是正负数之间大小的比较要熟练掌握。必要时可以带人特殊值求解。不等式的综合运用例
4、1.如果3042,1624.分别求、及的取值范围。【答案】46xy66，18x2y10，【解析】46xy66；482y32；18x2y10；30x0且x1，试比较f(x)与g(x)的大小。【答案】当x或0xg(x)；当1x时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x)【解析】f(x)g(x)(1logx3)2logx2logx(3x)logx4logx.(1)当时，故；(2)当时，故；(3)当时，所以；(4)当时，所以练习2.已知均为正数，且，求证：.【答案】均为正数，要证，只需证，只需证，只要证，要证，只需证，又已知，原不等式成立.【解析】可以利用分析法，作差法等方法去求解，结合不等式的相关
5、性质即可求解利用不等式去求取值范围，比较实数大小，判断命题的真假以及证明简单的不等式这四种情况都是常见类型，都需要完全掌握。例2.某矿山车队有4辆载重为10的甲型卡车和7辆载重为6的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式【答案】设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，由题意，得，即【解析】设出未知数，明确题目当中的不等关系，即可得出不等式，这里要注意车辆数为整数，这是一个容易或略的地方，要尤其注意。练习1. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受
6、7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠【答案】设该单位职工有人()，全票价为元，坐甲车需元，坐乙车需花元，则，当时，；当时，；当时，.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠【解析】根据两家的政策，分别算出甲车的钱与乙车的钱进行作差即可得出结论。 运用不等式进行解题时要注意先找不等关系，然后设未知数，列出对应的不等关系式，最后求解。要注意例如人数必须为整数，题目当中是否有规定一定要不为零等细节的地方。 1不等式的概念和性质式本章的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住不等式运算法则的结论形式，掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力 2不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 3不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等
