第2课时指数型 对数型函数模型的应用实例 1 能够利用给定的指数 或对数函数 模型或建立确定函数模型解决实际问题 3 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法 对给定的函数模型进行简单的分析评价 2 能够收集图表数据信息 建立拟合函数解决实际问题 2003年5月8日 西安交通大学医学院紧急启动 建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型 研究项目 马知恩教授率领一批专家昼夜攻关 于5月19日初步完成了第一批成果 并制成了供决策部门参考的应用软件 这一数学模型利用实际数据拟合参数 并对全国和北京 山西等地的疫情进行了计算仿真 结果指出 将患者及时隔离对于抗击非典至关重要 分析报告说 就全国而论 非典病人延迟隔离1天 就医人数将增加1000人左右 若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人 将增加患病人数100人左右 若4月21日以后 政府不采取隔离措施 则高峰期病人人数将达60万人 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据 建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型 并对非典未来的流行趋势做了分析预测 例1 按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 设本利和为y 存期为x 写出本利和y随存期x变化的函数式 如果存入本金1000元 每期利率2 25 试计算5期后的本利和是多少 复利是计算利率的一个方法 即把前一期的利息和本金加在一起做本金 再计算下一期的利息 设本金为P 每期利率为r 本利和为y 存期为x 则复利函数式为y p 1 r x 思路分析 解 1期后本利和为 2期后本利和为 x期后 本利和为 将a 1000元 r 2 25 x 5代入上式 由计算器算得 y 1117 68 元 其中t表示经过的时间 表示t 0时的人口数 r表示人口的年平均增长率 例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 可以为有效控制人口增长提供依据 早在1798年 英国经济学家马尔萨斯 T R Malthus 1766 1834 就提出了自然状态下的人口增长模型 下表是1950 1959年我国的人口数据资料 1 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 精确到0 0001 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型 并检验所得模型与实际人口数据是否相符 2 如果按表的增长趋势 大约在哪一年我国的人口达到13亿 解 1 设1951 1959年的人口增长率分别为 于是 1951 1959年期间 我国人口的年均增长率为 由 可得1951的人口增长率为 同理可得 根据表格中的数据作出散点图 并作出函数的图象 令 则我国在1950 1959年期间的人口 增长模型为 由图可以看出 所得模型与1950 1959年的实际人口数据基本吻合 所以 如果按上表的增长趋势 那么大约在1950年后的第39年 即1989年 我国的人口就已达到13亿 由此可以看到 如果不实行计划生育 而是让人口自然增长 今天我国将面临难以承受的人口压力 1 将y 130000代入 由计算器可得 2 海拔为h米处的大气压强为0 5066 105Pa 求该处的海拔h c k为常量 y cekx 在海拔5 km 处的大气压强为0 5683 105Pa 在海拔5 5 km 处的大气压强为0 5366 105Pa 1 问海拔6 712 km 处的大气压强约为多少 精确到0 0001 y与x之间的函数关系式是 是y 105Pa 练习 科学研究表明 在海拔x km 处的大气压强 解 1 把x 5 y 0 5683 x 5 5 y 0 5366代入函数表达式y cekx 得 把x 6 712代入上述函数式 得 0 4668 105Pa 答 6 712 km 高空的大气压强为0 4668 105Pa 2 由1 01 e 0 115x 0 5066 答 该处的海拔为6 km 解得x 6 km 例3以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 6 13 7 90 9 99 12 15 15 02 17 50 26 86 20 92 31 11 38 85 47 25 55 05 根据上表中各组对应的数据 能否建立恰当的函数模型 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身高xcm的函数关系 试写出这个函数的解析式 若体重超过相同身高男性体重平均值的1 2倍为偏胖 低于0 8倍为偏瘦 那么该地某校一男生身高175cm体重78kg 他的体重是否正常 分析 1 根据上表的数据描点画出图象 如下 2 观察这个图象 发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线 根据这些点的走向趋势 我们可以考虑用函数y a bx来近似反映 将已知数据代人所得函数关系式 或作出所得函数的图象 可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系 所以 该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为 将x 175代人 得 有计算器计算得y 63 98 所以 这个男生体重偏胖 由于 点评 函数拟合与预测的步骤 能够根据原始数据 表格 绘出散点图 通过考察散点图 画出 最贴近 的直线或曲线 即拟合直线或拟合曲线 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上 一 点 不漏 那么这将是个十分完美的事情 但在实际应用中 这种情况几乎是不可能发生的 利用函数关系式 根据条件对所给问题进行预测和控制 为决策和管理提供依据 因此 使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧 使两侧的点大体相等 得出的拟合直线或拟合曲线就是 最贴近 的了 根据所学函数知识 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 为常数 已知四月份该产品的产量为1 37万件 请问 用以上那个函数作模拟函数较好 说明理由 练习 某工厂今年1月 2月 3月生产某产品分别为1万件 1 2万件 1 3万件 为估计以后每月的产量 以这三个月的产量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系 模拟函数可选用二次函数或 解 设二次函数为 由已知得 所以 当x 4时 又对于函数 由已知得 所以 当x 4时 由四月份的实际产量为1 37万件 选用函数作模拟函数较好 2 利用待定系数法 确定具体函数模型 1 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法 3 对所确定的函数模型进行适当的评价 1 根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系 4 根据实际问题对模型进行适当的修正 2 本节课的体会 根据收集到的数据 作出散点图 然后通过观察图象 判断问题适用的函数模型 借助计算器或计算机数据处理功能 利用待定系数法得出具体的函数解析式 再利用得到的函数模型解决相应的问题 这是函数应用的一个基本过程 勇气产生在斗争中 勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的 。
