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1、两年中考一年模拟第三篇 函数专题14 二次函数的图象和性质知识点名师点晴二次函数概念、图象和性质1二次函数的概念会判断一个函数是否为二次函数2二次函数的图象知道二次函数的图象是一条抛物线3二次函数的性质会按在对称轴左右判断增减性4二次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式二次函数与二次方程的关系 5判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系会用数形结合思想解决此类问题能根据图象信息,解决相应的问题归纳 1：二次函数中各系数a、b、c的几何意义基础知识归纳： a决定开口方向,a0开口向上,a0开口向下,ab乘积决定对称轴的位置（左同右异）, c决定与y轴的交点位置基本方法
2、归纳：根据a、b、c的符号逐步分析判断注意问题归纳：当只有ac或者bc时,要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形【例1】（2019辽宁省沈阳市,第10题,2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示,则下列结论正确的是（）Aabc0Bb24ac0Cab+c0D2a+b=0【答案】D【分析】由图可知a0,与y轴的交点c0,对称轴x=1,函数与x轴有两个不同的交点,当x=1时,y0【详解】由图可知a0,与y轴的交点c0,对称轴x=1,b=2a0；abc0,A错误；由图象可知,函数与x轴有两个不同的交点,0,B错误；当x=1时,y0,ab+c0,C错误；b=2a,D正确故选D【点睛】本
3、题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质,能够从给出的图象上获取信息确定a,b,c,对称轴之间的关系是解题的关键考点：二次函数图象与系数的关系归纳 2：二次函数图象与几何变换基础知识归纳：二次函数的平移基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数平移主要考虑顶点的变化注意问题归纳：平移规律是“左加右减,上加下减【例2】（2019黑龙江省哈尔滨市,第6题,3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）Ay=2（x+2）2+3By=2（x2）2+3Cy=2（x2）23Dy=2（x+2）23【答案】B【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解
4、答即可【详解】将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2（x2）2+3故选B【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律：左加右减,上加下减考点：1二次函数图象与几何变换；2线动型归纳 3：二次函数图象性质的综合应用基础知识归纳：用待定系数法确定二次函数解析式,二次函数的图象与其他函数图象交点,与三角形和四边形的综合,面积问题基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合注意问题归纳：数形结合思想,将线段长度,图形面积与点的坐标联系起来是关键,同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理【例3】（2019广安,第26题,10分）如
5、图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,与y轴交于点N,过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=x2+bx+c的另一个交点为D,已知A（1,0）,D（5,6）,P点为抛物线y=x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PEx轴交直线l于点E,作PFy轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由【答案】（1）y=x2+3x+4,y=x1；（2）18
6、；（3）点M的坐标为：（2,3）或（2,3）或（4,5）或（4,3）【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式,即可求解；（2）PE+PF=2PF=2（x2+3x+4+x+1）=2（x2）2+18,即可求解；（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线,两种情况分别求解即可【详解】（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：,解得：,故直线l的表达式为：y=x1,将点A、D的坐标代入抛物线表达式,同理可得抛物线的表达式为：y=x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y=x1,则直线l与x轴的夹角为45,即：则PE=PE,设点P坐标为（x,x2+3x+4）、则点F
7、（x,x1）,PE+PF=2PF=2（x2+3x+4+x+1）=2（x2）2+1820,故PE+PF有最大值,当x=2时,其最大值为18；（3）NC=5,分两种情况讨论：当NC是平行四边形的一条边时,设点P坐标为（x,x2+3x+4）、则点M（x,x1）,由题意得：|yMyP|=5,即：|x2+3x+4+x+1|=5,解得：x=2或0或4（舍去0）,则点M坐标为（2,3）或（2,3）或（4,5）；当NC是平行四边形的对角线时,则NC的中点坐标为（0,）,设点P坐标为（m,m2+3m+4）、则点M（n,n1）,N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形,则NC的中点即为PM中点,即：0,解得：n=
8、0或4（舍去0）,故点M（4,3）；故点M的坐标为：（2,3）或（2,3）或（4,5）或（4,3）【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4动点型；5探究型；6存在型；7分类讨论；8压轴题【2019年题组】一、选择题1（2019衢州,第6题,3分）二次函数y=（x1）2+3图象的顶点坐标是（）A（1,3）B（1,3）C（1,3）D（1,3）【答案】A【分析】由抛物线顶点式可求得答案【详解】y=（x1）2+3
9、,顶点坐标为（1,3）故选A【点睛】本题考查了二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a（xh）2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为（h,k）考点：二次函数的性质2（2019湖北省咸宁市,第7题,3分）已知点A（1,m）,B（1,m）,C（2,mn）（n0）在同一个函数的图象上,这个函数可能是（）Ay=xByCy=x2Dy=x2【答案】D【分析】由点A（1,m）,B（1,m）的坐标特点,可知函数图象关于y轴对称,于是排除选项A、B；再根据B（1,m）,C（2,mn）的特点和二次函数的性质,可知抛物线的开口向下,即a0,故D选项正确【详解】A（1,m）,B（1,m）,点A与点B
10、关于y轴对称；由于y=x,y的图象关于原点对称,因此选项A、B错误；n0,mnm；由B（1,m）,C（2,mn）可知,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,对于二次函数只有a0时,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,D选项正确故选D【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质,可以采用排除法,直接法得出答案考点：1一次函数图象上点的坐标特征；2反比例函数图象上点的坐标特征；3二次函数图象上点的坐标特征3（2019辽宁省沈阳市,第10题,2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示,则下列结论正确的是（）Aabc0Bb24ac0Cab+c0D2a+b=0【答案】D
11、【分析】由图可知a0,与y轴的交点c0,对称轴x=1,函数与x轴有两个不同的交点,当x=1时,y0【详解】由图可知a0,与y轴的交点c0,对称轴x=1,b=2a0；abc0,A错误；由图象可知,函数与x轴有两个不同的交点,0,B错误；当x=1时,y0,ab+c0,C错误；b=2a,D正确故选D【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质,能够从给出的图象上获取信息确定a,b,c,对称轴之间的关系是解题的关键考点：二次函数图象与系数的关系4（2019辽宁省葫芦岛市,第8题,3分）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象大致是（）ABCD【答案】
12、D【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号,再判断一次函数图象与实际是否相符,判断正误【详解】由二次函数图象,得出a0,0,b0,A、一次函数图象,得a0,b0,故A错误；B一次函数图象,得a0,b0,故B错误；C一次函数图象,得a0,b0,故C错误；D一次函数图象,得a0,b0,故D正确故选D【点睛】本题考查了二次函数图象,应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等考点：1一次函数的图象；2二次函数的图象5（2019重庆,第5题,4分）抛物线y=3x2+6x+2的对称轴是（）A直线x=2B直线x=2C直线x=1D直线
13、x=1【答案】C【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式,可确定顶点坐标及对称轴【详解】y=3x2+6x+2=3（x1）2+5,抛物线顶点坐标为（1,5）,对称轴为x=1故选C【点睛】本题考查了二次函数的性质抛物线y=a（xh）2+k的顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h考点：二次函数的性质6（2019陕西,第10题,3分）在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+（2m1）x+2m4与y=x2（3m+n）x+n关于y轴对称,则符合条件的m,n的值为（）Am,nBm=5,n=6Cm=1,n=6Dm=1,n=2【答案】D【分析】根据关于y轴对称,a,c不变,b变为相反数列出方程组,解方程组即可求得
14、【详解】抛物线y=x2+（2m1）x+2m4与y=x2（3m+n）x+n关于y轴对称,解之得故选D【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,根据题意列出方程组是解题的关键考点：二次函数图象与几何变换7（2019黑龙江省哈尔滨市,第6题,3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）Ay=2（x+2）2+3By=2（x2）2+3Cy=2（x2）23Dy=2（x+2）23【答案】B【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可【详解】将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=2（x2）2+3故选B【点睛】本题考查了二次
