《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 3.1 不等关系与不等式学案 新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 3.1 不等关系与不等式学案 新人教B版必修5（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三章不等式3.1不等关系与不等式1不等式的基本性质对于任意的实数 a，b，有以下事实：abab0；abab0；ab0，m0，要比较 与 的大小，就可以采用以下方法：a mb m ab .a mb m ab bm amb b m m b ab b mm0，ab0，bab，bcac.(2)ab，cdacbd.(3)ab，c0acbc.(4)ab，cb0，cd0acbd.(6)ab0，n 为正实数a nbn.双向性：(1)ab0ab；ab0ab；abbbbacbc.单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)若把 c0 作为大前提，则 abacbc，若把 cbac1
2、 (不等式两边都乘以 ，不等式方向改变！)1103正分数的一个有趣性质在 ab0，m0 的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实： .32435465768798109从函数的观点看：当 ab0 时，函数 f(x) 在 x0，)上是单调递增的；函数 f(x) 在b xa x a xb x0，)上是单调递减的一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法例 1已知 mR， ab1， f(x) ，试比较 f(a)与 f(b)的大小mxx 1解可将 f(a)与 f(b)分
3、别表示出来，然后根据 m， a， b 的取值范围进行比较，但由于m 的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解由于 f(x) ，mxx 1所以 f(a) ， f(b) ，maa 1 mbb 1于是 f(a) f(b) ，maa 1 mbb 1 m b a a 1 b 1由于 ab1，所以 b a0.当 m0 时， 0，所以 f(a)f(b)；m b a a 1 b 1当 m0 时， 0，所以 f(a) f(b)m b a a 1 b 1二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若 a， b 都是正数，则 ab 1；abab 1； a b 1.ab ab作商
4、比较法的基本步骤为：3作商；变形；与 1 比较大小；下结论例 2设 a0， b0，且 a b，试比较 aabb， abba，( ab) 三者的大小a b2解 aa bb a b aabb ab a b2 a b2 a b2 a b2 b a2 (ab)a b2当 ab0 时， 1， a b0， 0ab a b2 01， aabb(ab) .(ab)a b2 (ab) a b2当 0 01， aabb(ab) .(ab)a b2 (ab) a b2所以，不论 ab0 还是 0(ab) .a b2同理：( ab) abba.综上所述， aabb(ab) abba.a b2 a b2三、利用不等式的
5、性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断例 3对于 0loga(11a) (1 1a) a1 aa11a 1a其中成立的是()A与 B与C与 D与解析0loga ， a1 aa1 .(11a) 1a答案D四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明例 4是否存在实数 a，使不等式 loga (a1) 对一1n 1 1n 2 1n 3 12n112 23切大于
6、1 的自然数 n 都恒成立？如果存在，试确定 a 的取值范围，否则说明原因解记 f(n) (nN *，且 n1)如果存在题意中要求的1n 1 1n 2 1n 3 12n实数 a，那么 loga(a1) 0， a1，试比较|log a(1 x)|和|log a(1 x)|的大小解方法一首先判断对数式 loga(1 x)和 loga(1 x)的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较解题过程必须注意对数函数的单调性501 时，log a(1 x)0 P|log a(1 x)|log a(1 x)|log a(1 x)log a(1 x)log a(1 x2)00.故 P0，得|log a(1 x)|
7、loga(1 x)|.(2)当 00，log a(1 x)0.即 P0.故|log a(1 x)|loga(1 x)|综上所述，当 a0， a1 时，均有|loga(1 x)|loga(1 x)|.方法二将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论Plog (1 x)log (1 x)2a 2alog a(1 x)log a(1 x)loga(1 x)log a(1 x)log a(1 x2)loga1 x1 x由已知 01 时，log a(1 x2)0；(2)当 00，log a 0， P01 x1 x综合(1)、(2)知，当 a0， a1 时
8、总有log (1 x)log (1 x)2a 2a故|log a(1 x)|loga(1 x)|.方法三将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式|log (1 x)(1 x)|loga 1 x |loga 1 x |01，|log a(1 x)|loga(1 x)|.61如果 x ，最大的数应是 a1b1 a2b2.581238方法二作差法 a1 a21 b1 b2且 0a1， b21 b1b1，00，(a112)(b1 12) a1b1 a2b2a1b2 a2b1.( a1b1 a2b2) 2 a1b1 a1 b112 12 b1(2a11) (2a11)(2 a11)12 (b1 12)2 0，(a112)(b1 12)7 a1b1 a2b2 .12综上可知，最大的数应为 a1b1 a2b2.答案A
