《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 3.1 不等关系与不等式学案 新人教B版必修5》由会员分享,可在线阅读,更多相关《河北省春晖中学2013-2014学年高中数学 3.1 不等关系与不等式学案 新人教B版必修5(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三章不等式3.1不等关系与不等式1不等式的基本性质对于任意的实数 a,b,有以下事实:abab0;abab0;ab0,m0,要比较 与 的大小,就可以采用以下方法:a mb m ab .a mb m ab bm amb b m m b ab b mm0,ab0,bab,bcac.(2)ab,cdacbd.(3)ab,c0acbc.(4)ab,cb0,cd0acbd.(6)ab0,n 为正实数a nbn.双向性:(1)ab0ab;ab0ab;abbbbacbc.单向性主要用于证明不等式;双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)若把 c0 作为大前提,则 abacbc,若把 cbac1
2、 (不等式两边都乘以 ,不等式方向改变!)1103正分数的一个有趣性质在 ab0,m0 的条件下,我们可以利用比较法证明下列事实: .32435465768798109从函数的观点看:当 ab0 时,函数 f(x) 在 x0,)上是单调递增的;函数 f(x) 在b xa x a xb x0,)上是单调递减的一、利用作差法比较实数大小方法链接:作差比较法比较两个实数大小,步骤可按如下四步进行,作差变形判断差的符号得出结论比较法的关键在于变形,变形过程中,常用的方法为因式分解和配方法例 1已知 mR, ab1, f(x) ,试比较 f(a)与 f(b)的大小mxx 1解可将 f(a)与 f(b)分
3、别表示出来,然后根据 m, a, b 的取值范围进行比较,但由于m 的取值不确定,所以应用分类讨论的方法求解由于 f(x) ,mxx 1所以 f(a) , f(b) ,maa 1 mbb 1于是 f(a) f(b) ,maa 1 mbb 1 m b a a 1 b 1由于 ab1,所以 b a0.当 m0 时, 0,所以 f(a)f(b);m b a a 1 b 1当 m0 时, 0,所以 f(a) f(b)m b a a 1 b 1二、利用作商法比较实数大小方法链接:作商比较法比较两个实数的大小,依据如下:(1)若 a, b 都是正数,则 ab 1;abab 1; a b 1.ab ab作商
4、比较法的基本步骤为:3作商;变形;与 1 比较大小;下结论例 2设 a0, b0,且 a b,试比较 aabb, abba,( ab) 三者的大小a b2解 aa bb a b aabb ab a b2 a b2 a b2 a b2 b a2 (ab)a b2当 ab0 时, 1, a b0, 0ab a b2 01, aabb(ab) .(ab)a b2 (ab) a b2当 0 01, aabb(ab) .(ab)a b2 (ab) a b2所以,不论 ab0 还是 0(ab) .a b2同理:( ab) abba.综上所述, aabb(ab) abba.a b2 a b2三、利用不等式的
5、性质比较大小方法链接:利用不等式的性质比较代数式的大小,有时要结合函数的单调性加以判断例 3对于 0loga(11a) (1 1a) a1 aa11a 1a其中成立的是()A与 B与C与 D与解析0loga , a1 aa1 .(11a) 1a答案D四、利用不等式性质求参数范围方法链接:在含有参变量的某些函数、方程和不等式中,有时要求确定参变量的取值范围此类问题常常使学生感到束手无策,即使能解,过程也十分繁琐对这类问题,如能把参变量分离出来,问题就会化难为易,化繁为简,下面以例说明例 4是否存在实数 a,使不等式 loga (a1) 对一1n 1 1n 2 1n 3 12n112 23切大于
6、1 的自然数 n 都恒成立?如果存在,试确定 a 的取值范围,否则说明原因解记 f(n) (nN *,且 n1)如果存在题意中要求的1n 1 1n 2 1n 3 12n实数 a,那么 loga(a1) 0, a1,试比较|log a(1 x)|和|log a(1 x)|的大小解方法一首先判断对数式 loga(1 x)和 loga(1 x)的符号,以便去掉绝对值符号,然后作差比较解题过程必须注意对数函数的单调性501 时,log a(1 x)0 P|log a(1 x)|log a(1 x)|log a(1 x)log a(1 x)log a(1 x2)00.故 P0,得|log a(1 x)|
7、loga(1 x)|.(2)当 00,log a(1 x)0.即 P0.故|log a(1 x)|loga(1 x)|综上所述,当 a0, a1 时,均有|loga(1 x)|loga(1 x)|.方法二将两数平方去绝对值后作差比较,由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响,故需分类讨论Plog (1 x)log (1 x)2a 2alog a(1 x)log a(1 x)loga(1 x)log a(1 x)log a(1 x2)loga1 x1 x由已知 01 时,log a(1 x2)0;(2)当 00,log a 0, P01 x1 x综合(1)、(2)知,当 a0, a1 时
8、总有log (1 x)log (1 x)2a 2a故|log a(1 x)|loga(1 x)|.方法三将两式用作商法进行比较,根据对数换底公式|log (1 x)(1 x)|loga 1 x |loga 1 x |01,|log a(1 x)|loga(1 x)|.61如果 x ,最大的数应是 a1b1 a2b2.581238方法二作差法 a1 a21 b1 b2且 0a1, b21 b1b1,00,(a112)(b1 12) a1b1 a2b2a1b2 a2b1.( a1b1 a2b2) 2 a1b1 a1 b112 12 b1(2a11) (2a11)(2 a11)12 (b1 12)2 0,(a112)(b1 12)7 a1b1 a2b2 .12综上可知,最大的数应为 a1b1 a2b2.答案A