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1、第六章有关优化设计的数学模型及其求解中的几个问题 6 1多目标优化方法 6 2优化建模技巧 6 3优化结果分析和全局最优解问题 6 4优化设计在机械设计中的应用 1 前面介绍的最优化方法 可直接用于仅含一个目标函数的所谓 单目标函数的最优化设计问题 而在许多实际工程设计问题中 常常期望同时有几项设计指标都达到最优值 这就是所谓 多目标函数的最优化问题 其数学模型的一般表达式为 6 1多目标优化方法 2 在上述多目标函数的最优化问题中 各个目标f1 X f2 X fq X 的优化往往是互相矛盾的 不能期望使它们的极小点重叠在一起 即不能同时达到最优解 甚至有时还会产生完全对立的情况 即对一个目标
2、函数是优点 对另一目标函数却是劣点 这就需要在各个目标的最优解之间进行协调 相互间作出适当 让步 以便取得整体最优方案 而不能像单目标函数的最优化那样 通过简单比较函数值大小的方法去寻优 由此也可以看出多目标函数的最优化问题要比单目标函数的最优化问题复杂得多 求解难度也较大 特别应当指出的是多目标函数的最优化方法虽有不少 但有些方法的效果并不理想 需要进一步研究和完善 下面介绍几种多目标函数的最优化方法 3 一 统一目标法 统一目标法的实质就是将各个目标函数 或称分目标函数 f1 X f2 X fq X 统一到一个总的 统一目标函数 f X 中 即令 将问题转化为求解 4 在极小化 统一目标函
3、数 f X 的过程中 为了使各个分目标函数能均匀一致地趋向各自的最优值 可采用如下的一些方法 1 加权组合法又称线性组合法或加权因子法 即在将各个分目标函数组合为总的 统一目标函数 的过程中 引入加权因子 以考虑各个分目标函数在相对重要程度方面的差异及在量级和量纲上的差异 此法的关键是加权因子的选择 5 2 目标规划法 先分别求出各个分目标函数的最优值fj X 然后根据多目标函数最优化设计的总体要求 作适当调整 制定出理想的最优值fj 0 则统一目标函数可按如下的平方和法来构成 这意味着当各项分目标函数分别达到各自的理想最优值时 统一目标函数f X 为最小 此法的关键在于选择恰当的fi 0 j
4、 1 2 q 值 6 3 功效系数法 如果每个分目标函数fj X j l 2 q 都用一个称为功效系数 j j 1 2 q 并定义于0 j 1间的函数来表示该项设计指标的好坏 当 j 1时表示最好 j 0时表示最坏 那么被称作总功效系数 的这些系数的几何平均值 即表示该设计方案的好坏 因此 最优设计方案应是 当 j l时 表示取得最理想的设计方案 反之 当 j 0时则表明这种设计方案不能接受 这时必有某项分目标函数的功效系数 j 0 7 下图给出了几种功效系数函数曲线 其中图 a 表示与fj x 值成正比的功效系数 j函数 图 b 表示与fj x 值成反比的功效系数 j函数 图 C 表示fj
5、X 值过大和过小都不行的功效系数函数 在使用这些函数时 还应作出相应的规定 例如 规定 j 0 3为可接受方案的功效系数下限 0 3 j O 4为边缘状况 O 4 j 0 7为效果稍差但可接受的情况 0 7 j 1为效果较好的情况 功效系数的函数曲线 8 这种方法虽然计算稍繁 但方法较为有效 因为它比较直观且调整容易 其次是不论各个分目标的量级及量纲如何 最终都转化为0 1间的数值 而且一旦有一项分目标函数值不理想 j 0 时 其总功效系数了必为零 表明设计方案不可接受 需重新调整约束条件或各分目标函数的临界值 另外 这种方法易于处理有的目标函数既不是愈大愈好 也不是愈小愈好的情况 用总功效系
6、数 作为 统一目标函数 f X 9 4 乘除法 如果能将多目标函数最优化问题中的全部q个目标分为 目标函数值愈小愈好的所谓费用类 如材料 工时 成本 重量等 和目标函数值愈大愈好的所谓效益类 如产量 产值 利润 效益等 且前者有后者有则统一目标函数可取为 求解minf可得最优解 10 二 主要目标法 考虑到在多目标函数最优化问题中各目标的重要程度并不一样 在最优化设计中显然应首先考虑主要目标 同时兼顾次要目标 主要目标法就是以此思想作为指导 首先将多目标函数最优化问题中的全部目标函数 按其重要程度排列 最重要的排在最前面 然后依次求各个 单 目标函数的约束最优值 这时其它目标函数则根据初步设计
7、的考虑给予适当的最优值的估计值 在求得实际最优值后应以实际最优值进行替换 作为辅助约束处理 这样就将多目标函数的约束最优化问题 转换成一些单目标函数的约束最优化问题 寻求整个设计可以接受的相对最优解 11 式中fj X 为开始时极小化以外的其它目标函数的最优值的估计值 然后在求得最优值后用最优值进行替换 当目标函数较多时 由于当前面的目标函数都达到最优解时 可能造成后面的一个目标函数无最优解而使求优过程中断 为此可以对最优值fj X 从实用上加一个裕量 fj X 也就是对精度要求稍有所降低 以避免中断过程 这时辅助约束条件改为 对于多目标问题 求第k个目标函数约束最优值的数学模型为 12 在实
8、际工程的最优化设计中 总可以根据基本要求 对各项设计指标 目标 作出正确的估计和判断 并按其重要性进行排列 因此主要目标法在实际使用中并不困难 13 三 协调曲线 在整个设计空间中 根据各个目标函数的等值线 约束面在设计空间的协调关系 来寻求多目标函数最优化设计的最优方案 两个目标函数的设计空间关系 两个目标的协调曲线 14 图1满意曲线与协调曲线的切点 图2两个目标的协调 若设备重量f1 X 和设备投资f2 X 为最优化问题的两项指标 如图2所示 以设备重量f1 X 的不同取值G1 G2 作不等式约束条件 使设备投资f2 X 极小化 得相应的最小值V1 V2 G V曲线即两目标的协调曲线 由
9、它可以得到单位设备重量的最小设备投资点M及与其相应的X f1 X f2 X 值 将是该项设计的最经济方案 15 对于多于两个目标的n维最优化设计问题 则可根据各目标函数的等值面 或超曲面 及约束面 或超曲面 在设计空间的协调关系 组成协调曲面 或超曲面 而超曲面要用图形表示是不可能的 只能给出各目标函数的变化范围 其值可用如下的数学模型求得 式中fv 各目标函数fv X V 1 2 q 的规定期望值 协调曲线法对于具有两个相互矛盾的目标函数的最优化设计问题特别适用 由以上例子可知 通过协调曲线能清楚地分析各目标与总设计方案的依存关系 从而可发现设计的改进方向 最后得到满意的结果 16 1 建立
10、先进的数学模型 根据设计要求 应用专业范围内的现行理论和经验等 对优化对象进行分析 必要时 需要对传统设计中的公式进行改进 并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果 2 对结构诸参数进行分析 确定设计变量 设计常数等 3 必要时对数学模型进行规范化 归一化 无量纲化 以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响 6 2优化建模技巧 一 优化建模 17 设计变量的选择 根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次 应尽量减少设计变量的数目 以简化优化设计问题 应注意各设计变量应相互独立 否则会使目标函数出现 山脊 或 沟谷 给优化带来困难 目标函数的确定 把最重要的指标作为目标函数
11、 其余的次要的指标可作为约束条件 对于一般机械 可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数 对应力集中现象尤其突出的构件 则以应力集中系数最小为追求的目标 对于精密仪器 应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数 18 二 数学模型的尺度变换 1 目标函数的尺度变换 数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态 使之易于求解的技巧 数学模型经过尺度变换后 可以加速优化过程的收敛 提高计算过程的稳定性 目标函数严重非线性 致使函数性态恶化 求优效率会很差 19 例如目标函数 其等值线如图b所示 性态得到很大的改善 给优化带来极大的方便 则目标函数f X 变为 其等值线如图a所示 这是一簇极为扁平的椭圆
12、 20 在实际工程设计中 目标函数通常具有更复杂的形式 对其进行尺度变换本身就是一项相当困难的工作 因此目标函数的尺度变换使用的并不广泛 但作为一种极好的想法还是很有启发性的 21 2 设计变量的尺度变换 各设计变量之间的量级上相差很大时 在给定搜索方向上各自的灵敏度也相差很大 灵敏度大的 则搜索变化快 否则相反 为消除这种差别 可以对设计变量进行重新标度 使它们成为无量纲和规格化的设计变量 并称这种处理为设计变量的尺度变换 具体的做法是给原设计变量xi乘以一个尺度变换因子ki 得到新设计变量 xi0 原设计变量的初始值 i 1 2 n 22 如果能预先估计出设计变量值的变动范围 即 则其标度
13、过的设计变量可取 23 3 约束函数的规格化 由于各约束函数所表达的意义不同 使得各约束函数值在量级上相差很大 约束函数的尺度变换常称规格化 为改善数学模型性态常用的一种方法 例如某热压机框架的优化设计中 许用应力 150MPa 而下横梁的许用挠度 0 5mm 约束函数为 24 两者对数值变化的灵敏度相差很大 这对优化是不利的 例如 在采用罚函数方法时 两者在惩罚项中的作用相差很大 灵敏度相差很大 灵敏度高的在极小化过程中将首先得到满足 而灵敏度低的几乎得不到考虑 为避免这种不正常的情况 只需对约束函数作如下规格化处理 这样就使得各约束函数的取值范围都限制在 0 1 区间内 起到稳定搜索过程和
14、加速收敛的作用 25 6 3优化结果分析和全局最优解问题 一 优化结果分析 1 过程分析利用目标函数值的中间输出数据 判断优化过程进行的是否正常 2 约束函数值的检查 3 灵敏度分析 所谓优化设计结果的灵敏度分析 就是指当取得最有设计方案时由于约束或设计变量的发生某些变动而对最优解的影响 26 通过灵敏度分析 可以定量地表明该项设计能有多大的裕量和安全系数 另外 通过分析也可以提供一种低灵敏度系统的优化设计方案 使其最大限度地不受其他因素 如制造 装配 工艺等 的干扰 27 定义1对于问题 1 设 若存在 使得对一切 且 都有 则称X 是f X 在D上的局部极小值点 局部最优解 特别地当时 若
15、 则称X 是f X 在D上的严格局部极小值点 严格局部最优解 定义2对于问题 1 设 对任意的 都有则称X 是f X 在D上的全局极小值点 全局最优解 特别地当时 若 则称X 是f X 在D上的严格全局极小值点 严格全局最优解 二 全局最优解问题 28 多局部极小 唯一极小 全局极小 29 当目标函数是凸函数 约束区域是凸集时 才能保证取得全局最优解 但工程实际问题往往不是凸规划问题 所以采用常用的优化方法一般得到的是局部最优解 对一个复杂的工程优化问题 往往难于判断其是否为凸规划问题 故求解工程优化问题大多从多个初始点出发进行迭代 如果不同的初始点都收敛于同最优点 这该点就是全局最优点 如果
16、得到一些不同最优点 则它们都是局部最优点 应通过比较这些局部的最优点 取其目标函数最小的为全局最优点 30 一 机床主轴结构优化设计 6 4优化设计在机械设计中的应用 31 在设计这根主轴时 有两个重要因素需要考虑 一是主轴的自重 一是主轴伸出端c点的挠度 对于普通机床 不要求过高的加工精度 对机床主轴的优化设计 以选取主轴的自重最轻为目标 外伸端的挠度为约束条件 当主轴的材料选定时 其设计方案由四个设计变量决定 孔径d 外径D 跨距l及外伸端长度a 由于机床主轴内孔用于通过待加工的棒料 其大小由机床型号决定 不作为设计变量 故设计变量取为 数学模型的建立 32 机床主轴优化设计的目标函数为 约束条件 在外力F给定的情况下 y是设计变量x的函数 其值按下式计算 33 刚度满足条件 强度尚有富裕 因此应力约束条件可不考虑 边界约束条件为设计变量的取值范围 即 34 将所有的约束函数规格化 主轴优化设计的数学模型可表示为 35 例1 曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计 一 连杆机构优化设计 36 1 设计变量的确定 决定机构尺寸的各杆长度 以及当摇杆按已知运动规律开始运动时 曲柄所处的
