《2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1 2集合间的基本关系 目标导航 新知导学 素养养成 1 Venn图在数学中 经常用平面上曲线的内部代表集合 这种图称为Venn图 封闭 思考1 表示集合的Venn图一定是圆或椭圆吗 答案 由于Venn图的边界是封闭的曲线 因此画Venn图时 只要是封闭的图形即可 如椭圆 圆 矩形 正方形等 2 子集 任意一个 包含 思考2 符号 与 有何区别 答案 只用于集合与集合之间 如 0 N 而不能写成 0 N 只能用于元素与集合之间 如0 N 而不能写成0 N 思考3 集合的子集有哪些性质 答案 1 由子集的定义可知任意一个集合A都是它本身的子集 即A A 3 子集具有传递性 如果A B且B C
2、那么A C 3 集合相等如果集合A是集合B的 A B 且集合B是集合A的 B A 此时 集合A与集合B中的元素是一样的 因此 集合A与集合B相等 记作A B 子集 子集 思考4 如何证明两个集合相等 答案 要证明集合A与集合B相等 只需证明A B且B A 4 真子集 至少存在一个 思考5 由子集定义可知 任何一个集合是它本身的子集 那么任何一个集合是它本身的真子集吗 答案 任何一个集合都不是它本身的真子集 子集 5 空集 1 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记作 非空集合 思考6 空集有子集吗 是否有真子集 答案 由于任何一个集合是它本身的子集 因此空集有子集 且只有一个就是其本身 空
3、集没有真子集 名师点津 2 集合关系与其特征性质之间的关系可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系 也可以通过判断两个集合特征性质之间的关系来判断集合之间的关系 一般地 设A x p x B x q x 如果A B 则x A x B 于是x具有性质p x x具有性质q x 即p x q x 反之 如果p x q x 则A一定是B的子集 如果p x q x 和q x p x 都成立 可记为p x q x 如果p x q x 则A B 反之 如果A B 则p x q x 上述关系用表格表示如下 课堂探究 素养提升 题型一给定集合的子集确定 例1 已知集合M满足 1 2 M 1
4、2 3 4 5 写出集合M所有可能情况 解 因为 1 2 M 所以1 M 2 M 又因为M 1 2 3 4 5 所以M是含有1 2的 1 2 3 4 5 的子集 故M的所有可能情况是 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 2 3 4 5 共8个 解 法一由题意可知集合M必定含有元素1 2且至少含有元素3 4 5中的一个 因此依据集合M所含元素个数分类如下 含有3个元素 1 2 3 1 2 4 1 2 5 共3个 含有4个元素 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 共3个 含有5个元素 1 2 3 4 5 共3 3 1 7个 法
5、二依题意 集合M的个数为 3 4 5 的非空子集个数 即23 1 7个 解 依题意 集合M中必含有元素1 2且至少含有3 4 5中的一个 但M 1 2 3 4 5 因此M的个数有6个 方法技巧 写集合的子集时 要依据集合中元素的个数进行分类讨论 避免漏解或增解 备用例1 1 2018 广东省广州市培正中学高一上段考 已知集合A x ax2 2x a 0 a R 若集合A有且仅有2个子集 则实数a的取值是 A 1 B 0 1 C 1 1 D 1 0 1 解析 1 集合A有且仅有2个子集 说明集合A只含有一个元素 集合A x ax2 2x a 0 a R 当a 0时 A 0 当a 0时 4 4a2
6、 0 a 1 当a 1时 集合A 1 当a 1时 A 1 所以a 0或a 1 故选D 2 已知集合B x y 4x 3y 12 0 x N y N 则B的子集个数为 A 3 B 4 C 7 D 8 解析 2 因为集合B x y 4x 3y 12 0 x N y N 所以B 1 1 1 2 2 1 所以集合B中含有3个元素 因此集合B的子集个数为23 8 故选D 3 2017 天津静海县第一中学学业能力调研 集合M x x2 3x a2 2 0 a R 的子集的个数为 A 1 B 2 C 4 D 8 解析 3 因为方程的判别式 3 2 4 2 a2 4a2 1 0 所以方程x2 3x a2 2
7、0有两个解 所以集合M有2个元素 所以其子集个数为22 4 故选C 题型二集合间关系的判断 例2 判断下列两集合之间的关系 1 A x x是等边三角形 B x x是等腰三角形 2 A x 3 x 5 B x 1 x 2 3 M x Z 0 x 3 N x x y y M 解 3 因为x Z 且0 x 3 所以x的取值为0 1 2 所以M 0 1 2 因为y M 所以 y 的值分别是0 1 2 所以N 0 1 2 所以M N 方法技巧 判断两个集合间的关系时 主要是根据这两个集合中元素的特征 结合有关定义来判断 1 直接法 首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B 若是 则A B
8、否则A不是B的子集 其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系 2 对于不等式表示的数集 可在数轴上标出集合的元素 直观地进行判断 但要注意端点值的取舍 3 对于用列举法表示的集合 只需要观察其元素即可知道它们之间的关系 4 对于用描述法表示的集合 要从所含元素的特征来分析 若集合之间可以统一形式 则需要统一形式后判断 即时训练2 1 判断下列集合之间的关系 1 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A x x 2k 1 k Z B x x2 2x 3 0 解 1 集合A的代表元素是数 集合B的代表元素是实数对 故A与B之间无包含关系 3 A
9、 x x 2n 1 n N B x x 2n 1 n N 4 A x x 2n n Z B y y k 2 k Z 答案 1 D 答案 2 A 答案 3 题型三集合相等 例3 10分 已知集合M中含有三个元素2 a b 集合N中含有三个元素2a 2 b2 且M N 求a b的值 方法技巧 1 根据两集合相等求集合中元素的参数问题 首先应分析其中一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等 然后通过列方程 组 求解 求出参数值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的性质 2 本题中的解法二利用了两集合相等的性质 即两集合相等时 两集合中所有元素的积相等 两集合中所有元素的和相等 即时训练3 1
10、2018 河北省张家口市高一上月考 设a b R 集合 0 ab a 1 a b b 则a b 答案 2 解析 2 集合P Q都表示所有偶数组成的集合 有P Q P是由所有正奇数组成的集合 Q是由所有大于1的正奇数组成的集合 1 Q 所以P Q 集合P表示直线y x 1上点的横坐标表示的集合 而集合Q则表示直线y x 1上点的坐标构成的集合 所以P Q 故选B 题型四由集合的包含关系求参数 例4 已知集合A x 2 x 7 B x m 1 x 2m 1 若B A 求实数m的取值范围 一题多变1 将本例中集合A x 2 x 7 改为A x 2 x 7 其他条件不变 求m的范围 一题多变2 将本例
11、题中的集合A改为A x x 2或x 7 其他条件不变 求实数m的取值范围 一题多变3 将本例中的集合B改为B m m 1 x m 1 其他条件不变 求实数m的范围 方法技巧 2 若集合中的元素是离散的 则依集合之间的关系列方程 组 求解 若集合是用不等式表示的连续数集 则常借助数轴转化为不等式 组 求解 利用数轴时要注意端点值是否能取到 备用例4 1 设集合A 1 4 m B m2 1 若B A 则满足条件的实数m的值为 A 1或0 B 1或0或2 C 0或2或 2 D 0或1或 2 解析 1 因为A 1 4 m B m2 1 且B A 所以m2 4或m2 m 当m2 4时 m 2 满足题意
12、当m2 m时 m 0或m 1 若m 1 则不满足集合中元素的互异性 故舍去 因此m 0或2或 2 故选C 答案 1 C 2 已知A x x 2 B x x m 若B是A的子集 则实数m的取值范围为 解析 2 根据题意 B是A的子集 且A x x 2 B x x m 则有m 2 则实数m的取值范围为m 2 答案 2 m 2 3 若集合A x x2 3x 18 0 集合B x mx 2 0 且B A 求满足条件的实数m的取值集合 题型五易错辨析 例5 若集合A x x2 x 12 0 B x x2 x a 0 且B A 求实数a的取值范围 错解 因为A x x2 x 12 0 且x2 x 12 0
13、的解为x 4或x 3 所以A 4 3 又B A 所以B 4 3 或B 4 或B 3 若B 4 3 则a 4 3 12 若B 4 则 4 2 4 a 0 即a 12 若B 3 则32 3 a 0 即a 12 综上可知a 12 学霸经验分享区 2 任何集合都有子集 但是不一定有真子集 3 一个集合的真子集个数比子集个数少1 即少了它本身 所以当集合A中有n n N 个元素时 其子集个数为2n 真子集个数为2n 1 非空子集个数为2n 1 非空真子集个数为2n 2 5 根据空集 子集 真子集的定义 下面的几种说法都是正确的 空集有且只有一个子集 就是它本身 除空集外 其他任何集合都至少有两个子集 并
14、且都有真子集 如果空集是集合A的真子集 那么集合A必定非空 课堂达标 C 1 已知集合A x N x 3 0 则满足条件B A的集合B的个数为 A 2 B 3 C 4 D 8 C 2 下列各式中 正确的个数是 1 0 0 1 2 2 2 3 5 5 2 3 3 0 1 2 4 x x 1 x x 5 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 1 错误 2 中两个集合相等是同一个集合 故正确 3 显然正确 4 中由x 1一定能得出x 5 故选C C 3 对于集合A B A B不成立 的含义是 A B是A的子集 B A中的元素都不是B中的元素 C A中至少有一个元素不属于B D B中至少有一个元素不属于A 解析 由 A B 不成立知 A中至少有一个元素不属于B 故选C A 4 2018 湖南益阳高一上学期期末 下列关于集合的关系式正确的是 A 0 0 B 0 C 0 D 2 3 3 2 解析 因为 0 是含有一个元素的集合 所以 0 故B不正确 元素与集合间不能划等号 故C不正确 2 3 与 3 2 显然相等 故D不正确 故选A 5 已知集合A 0 1 B 1 0 a 3 若A B 则a的值为 解析 依题意可知1 a 3 a 2 答案 2
