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1、江西省吉安一中2020学年高二上学期第二次阶段考试数学理试卷 Word版含答案江西省吉安一中2020学年上学期高二年级第二次阶段考试数学试卷（理科）的弦，PQ中点是（1，2），则直线PQ方程是（ ）A. B. C. D. 2. 已知水平放置的ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BO=CO=1，AO=，那么原ABC中ABC的大小是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90 3. 过点（2，-2）且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 4. 设圆的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹
2、方程为（ ）A. B. C. D. 5. “方程表示焦点在轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 6. 若，则和所表示的曲线只可能是（ ） 7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，C. 若D. 若 8. 过双曲线的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交轴于E，若M为EF的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. 9. 如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG平面EFG；（2）SD平面
3、EFG；（3）GF平面SEF；（4）EF平面GSD；（5）GD平面SEF。正确的是（ ） A. （1）和（3）B. （2）和（5） C. （1）和（4）D. （2）和（4） 10. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 11. 已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为，若点A，B关于原点对称，则的值为（ ）A. B. C. D. 12. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点（-2，0），（2，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则取值范围为
4、（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是_（填“圆”“椭圆”“一条直线”“两条平行直线”） 14. 已知直二面角，点，C为垂足，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于_。 15. 从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段PF的中点，O为原点，则_。 16. 已知方程对应的曲线为C，（-4，0），（4，0）是与曲线C有关的两定点，下列关于曲线C的命题正确的有_（填序号
5、）。（1）曲线C是以为焦点的椭圆的一部分；（2）曲线C关于轴、轴、坐标原点对称；（3）P是曲线C上任意一点，；（4）P是曲线C上任意一点，；（5）曲线C围成的图形面积为30。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10分）已知命题“：存在，”是假命题，求实数的取值范围。 18. （12分）已知一个几何体的三视图如图所示。（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长。 19. （12分）已知圆，点A（1，-3）。（I）求过点A与圆相切的直线的方程；（I
6、I）设圆为圆关于直线对称的圆，则在轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由。 20. （12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60。（1）求证：AC平面BDE；（2）求二面角F-BE-D的余弦值；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论。 21. （12分）如图，动点M与两定点A（-1，0），B（2，0）构成MAB，且MBA=2MAB，设动点M的轨迹为C。（1）求轨迹C的方程；（2）设直线（其中）与轴相交于点P，与轨迹C相交于点
7、Q，R，且，求的取值范围。 22. （12分）已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线交C于另一点B，交轴的正半轴于点D，且有|，当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形。（1）求C的方程；（2）若直线，且和C有且只有一个公共点E，（i）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ii）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。参考答案 16 BCDDAC712 DDCBDD 13. 椭圆14. 15. 16. （2）（3）（5） 17. 已知命题“：存在，”是假命题，求实数a的取值范围。解析：因命题：存在，的否定形式为：非：任意恒成立，由“命题真，
8、其否定假；命题假，其否定真”可知命题非是真命题。事实上，当时，对任意的，不等式恒成立；当时，不等式恒成立的等价条件是且其判别式，即；综合以上两种情形可知：非为真命题时，所求实数的取值范围是或，即命题是假命题时，所求实数的取值范围是。 18. 解：（1）由三视图知，此几何体是由上部的圆锥和下部的圆柱构成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和。，。（2）沿点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示，在矩形ABCQ中，PQ为几何体表面上从P点到Q点的最短路径，且PQ，所以在几何体表面上从P点到Q点的最短路径的长为。 19. 解析：（1），因为点A恰在圆上，所以点A即是切点，
9、所以，所以，直线的方程为，即；（2）因为点A恰为中点，所以，所以，圆，设，或由得，解得或10，所以，或（10，0），由得，求此方程无解。综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意。 20. 解：（1）证明：因为DE平面ABCD，所以DEAC，因为ABCD是正方形，所以ACBD，从而AC平面BDE。（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示。因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE=60，所以=由可知DE=，AF=。则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，），B（3，3，0），C（0，3，0）所以，设平面BEF的法向量为，则即令，则。因为AC平面BD
10、E，所以为平面BDE的法向量，=（3，-3，0），所以。因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为。（3）可设，则。因为AM平面BEF，所以，即，解得。此时，点M坐标为（2，2，0），符合题意。 21. 解：（1）设M的坐标为（），显然有，且。当MBA=90时，点M的坐标为（2，），当MBA90时，由MBA=2MAB，有，即，化简可得，。而点在曲线上，综上可知，轨迹C的方程为（）。（2）由消去并整理，得（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，）内，设，解得，且。，。设Q，R的坐标分别为（），（），由及方程（*）有，。由，得，故的取值范围是（1，7）。 22. 解析：（1）由题意知，设
11、，则FD的中点为。因为，由抛物线的定义知，解得或（舍去），由，解得。所以抛物线C的方程为。（2）（i）由（1）知F（1，0），设（），D（）（），因为，得，由得，故。故直线AB的斜率，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得，设，则，当时，AE的方程为由，整理可得，故直线AE恒过点F（1，0）。当时，直线AE的方程为，过点F（1，0）。所以直线AE过定点F（1，0）。（ii）由（i）知直线AE过焦点F（1，0），所以。设直线AE的方程为，因为点A（）在直线AE上，故，。直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，所以点B到直线AE的距离为。则ABE的面积，当且仅当，即时等号成立，所以ABE的面积的最小值为16。
