《数学高二同步系列课堂讲义选修4-5人教A课件：第三章 柯西不等式与排序不等式3.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学高二同步系列课堂讲义选修4-5人教A课件：第三章 柯西不等式与排序不等式3.2（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 二 一般形式的柯西不等式 2 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 3 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 三维形式的柯西不等式 设 a1 a2 a3 b1 b2 b3 则 a1b1 a2b2 a3b3 2 当且仅当 共线时 即 0 或存在一个数k 使 得ai kbi i 1 2 3 时 等号成立 做一做 若a b c x y z R 且a2 b2 c2 4 x2 y2 z2 9 则a
2、x by cz 的取值范围是 解析 由三维形式的柯西不等式可得 a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 2 即 ax by cz 2 4 9 36 所以 6 ax by cz 6 答案 6 6 4 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 2 一般形式的柯西不等式 设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是实数 则 a1b1 a2b2 anbn 2 当且仅当bi 0 i 1 2 n 或存在一个数k 使得ai kbi i 1 2 n 时 等号成立 名师点拨一般形式的柯西不等式是二
3、维形式 三维形式 四维 形式的柯西不等式的归纳与推广 其特点可类比二维形式的柯西不 等式来总结 左边是平方和的积 右边是积的和的平方 在使用时 关 键是构造出符合柯西不等式的结构形式 5 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 6 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 利用三维形式的柯西不等式解决问题 分析 结合
4、柯西不等式 将不等式左边添乘 a b c 进行证明 7 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟应用柯西不等式证明不等式的方法与技巧 应用柯西不等式证明不等式的关键是首先根据待证不等式的结 构特点 构造符合柯西不等式的形式及特点 然后利用柯西不等式 进行证明 构造符合柯西不等式的形式时 可以有以下几种方法 1 巧拆常数 2 重新安排各项的次序 3 改变式子的结构 4 添项等 8 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE
5、当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练1 已知x y z为实数 求证 x 2y 3z 2 14 x2 y2 z2 证明 由柯西不等式可知 12 22 32 x2 y2 z2 x 2y 3z 2 9 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 例2 已知a b c R a 2b 3c 6 则a2 4b2 9c2的最小值为 分析 由a 2b 3c与a2 4b2 9c2的关系是前者各项平方和为后 者 则可将a2 4b2 9c2添乘 12 12 1
6、2 从而构造三维形式的柯西不 等式进行求解 解析 由柯西不等式可得 a2 4b2 9c2 12 12 12 a2 2b 2 3c 2 12 12 12 a 1 2b 1 3c 1 2 a 2b 3c 2 62 36 即3 a2 4b2 9c2 36 则 a2 4b2 9c2 12 当且仅当 时 等号成立 又a 2b 3c 6 可 得a 2 b 1 c 故a2 4b2 9c2的最小值为12 答案 12 10 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟应用柯西不等式求最值的
7、方法与技巧 应用柯西不等式求最值的关键首先是根据已知条件 构造符合柯 西不等式的形式及特点 然后利用柯西不等式求解最值 构造符合 柯西不等式的形式时 可以有以下几种方法 1 巧乘常数 2 添项 3 改变式子的结构 4 重新安排各项的次序等 11 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练2 已知x y z为实数 且 z2 2 求x y z的最大值 12 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHU
8、O 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 利用一般形式的柯西不等式解决问题 例3 若ai bi R i 1 2 n 分析 首先将a1b1 anbn改写为 同时 将不等式左边第二项也进行类似改写 然后利用一般形式的柯西不 等式即可证明 13 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟运用一般形式的柯西不等式解决问题的关键是首先将 所给代数式进行整理变形 使之符合柯西不等式的基本形式 然后 运用柯西不等式 14 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 D
9、ANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练3 已知a b c d为实数 求证 a b c d 2 4 a2 b2 c2 d2 证明 由柯西不等式可得 4 a2 b2 c2 d2 12 12 12 12 a2 b2 c2 d2 1 a 1 b 1 c 1 d 2 a b c d 2 当且仅当a b c d时 等号成立 故原不等式成立 15 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 忽视柯西不等式等号成立的条件致错 典
10、例已知a2 b2 c2 1 x2 y2 z2 9 ax by cz t 求t的最小值 错解求t的最小值 即求u ax by cz的最大值 故u ax by cz的最大值为5 从而t的最小值为5 正解求t的最小值 即求u ax by cz的最大值 由柯西不等式 得 u2 ax by cz 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 1 9 9 u ax by cz 3 当且仅当 时 等号成立 此时u ax by cz的最大值为3 从而t 的最小值为3 16 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一
11、探究二思维辨析 纠错心得本题错误在于利用基本不等式求最值时 忽视了等号成 立的条件从而得到错误结果 有些求最值问题 如果无法利用基本 不等式求最值 可考虑采用柯西不等式求最值 本题利用柯西不等 式很容易求最值 17 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 答案 4 18 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1 若a b c x y z R 则下列不等式中不
12、正确的是 A a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 2 B a2 b2 c2 x2 y2 z2 ay bz cx 2 C a2 b2 c2 x2 y2 z2 az bx cy 2 解析 对照柯西不等式可知 选项D错误 答案 D 19 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2 n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是 A 1B nC n2D 答案 C 20 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测
13、 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3 已知a2 b2 c2 d2 10 则ab bc cd ad的最小值为 A 10B 10 C 100D 100 解析 由柯西不等式得 ab bc cd ad 2 a2 b2 c2 d2 b2 c2 d2 a2 100 当且仅当 即 a b c d 时 等号成立 所以 ab bc cd ad 10 即 10 ab bc cd ad 10 答案 B 21 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4 若x2 y2 z2 5 则2x y 2z的最大值为 解析 由柯西不等式可得 22 12 22 x2 y2 z2 2x y 2z 2 当且仅 22 二 一般形式的柯西不等式XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5
