《数学新优化浙江大一轮课件：第七章 不等式、推理与证明7.4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新优化浙江大一轮课件：第七章 不等式、推理与证明7.4（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7 4 直接证明与间接证明 考情概览 2 考情概览 3 知识梳理 4 知识梳理 双击自 测 1 直接证明 1 综合法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过 一系列 的推理论证 最后推导出所要证明的结论 成立 这种证明方法叫 做综合法 框图表示 P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q 其中P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示要证 的结论 思维过 程 由因导果 知识梳理 5 知识梳理 双击自 测 2 分析法 定义 从要证明的结论 出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件 已知 条件 定理 定义 公理等 这种证明方法叫做分析法
2、 框图表示 Q P1 P1 P2 P2 P3 得到一个明显成立 的条件 其中Q表示要证明的结论 思维过 程 执果索因 知识梳理 6 知识梳理 双击自 测 2 间接证明 1 反证法 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论 不 成立 经过 正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而 证明 原命题成立 的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论 不成 立 归谬 根据假设进 行推理 直到推出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论 成立 知识梳理 7 知识梳理 双击自 测 1 要证a2 b2 1 a2b2 0只要证明 答案解析解析 关闭 a2 b2 1 a2b2
3、 0 a2 1 b2 1 0 答案解析 关闭 D 知识梳理 8 知识梳理 双击自 测 2 用反证法证明某命题时 对结论 自然数a b c中恰有一个偶数 正确的假设为 A a b c中至少有两个偶数 B a b c中至少有两个偶数或都是奇数 C a b c都是奇数 D a b c都是偶数 答案解析解析 关闭 恰有一个偶数 的对立面是 没有偶数或至少有两个偶数 答案解析 关闭 B 知识梳理 9 知识梳理 双击自 测 3 已知三角形的三边分别为 a b c 内切圆的半径为r 则三角形的面 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 10 知识梳理 双击自 测 4 2018浙江临安模拟 已知 a b
4、 c是不全相等的正数 有下列结论 其中正确的个数为 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b与a b及a c中至少有一个成立 a c b c a b不能同时成立 A 0B 1C 2D 3 答案解析解析 关闭 假设等式成立 则需a b c 不合题意 故错误 假设全部不成立 则可知a b c 不合题意 所以正确 令a 1 b 2 c 3 此时a c b c a b能同时成立 所以错误 故选B 答案解析 关闭 B 知识梳理 11 知识梳理 双击自 测 5 在 ABC中 BAC ABC ACB的对边 分别为 a b c 若a b c三 边的倒数成等差数列 求证 ABC 90 证明 假设 ABCa
5、 b c 知识梳理 12 知识梳理 双击自 测 自测点评 1 分析法是 执果索因 实际上是寻找使结论成立的充分条件 2 综合法和分析法都是直接证明的方法 反证法是间接证明的方 法 3 用反证法证题时必须先否定结论 否定结论就是找出结论的反 面的情况 4 反证法的步骤是 1 准确反设 2 从否定的结论正确推理 3 得 出矛盾 13 考点一考点二考点三 综综合法的应应用 考点难难度 例1 1 已知a b c 0 a b c 1 求证 14 考点一考点二考点三 15 考点一考点二考点三 2 如图 在四边形ABCD中 AB CD ABD 30 AB 2CD 2AD 2 DE 平面ABCD EF BD
6、且BD 2EF 求证 平面ADE 平面BDEF 若二面角C BF D的大小为60 求CF与平面ABCD所成角的正 弦值 16 考点一考点二考点三 证明 在 ABD中 ABD 30 又AD2 AB2 BD2 2AB BDcos 30 AD BD DE 平面ABCD AD 平面ABCD AD DE BD DE D AD 平面BDEF 又AD 平面ADE 平面ADE 平面BDEF 17 考点一考点二考点三 解 如图 由已知可得 ADB 90 ABD 30 则 BDC 30 三角形BCD为锐角为30 的等腰三角形 过点C作CH DA 交DB AB于点G H 则点G为点F在平面ABCD上 的投影 连接F
7、G 则 CG BD DE 平面ABCD CG 平面BDEF 过点G作GI BF于点I 则BF 平面GCI 即 CIG为二面角C BF D的平面角 则 CIG 60 18 考点一考点二考点三 方法总结1 用综合法证明是从已知条件出发 逐步推向结论 综合 法的适应范围是 1 定义明确的问题 如证明函数的单调性 奇偶 性 求证没有限制条件的等式或不等式 2 已知条件明确 并且容易 通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 2 综合法往往以分析法为基础 是分析法的逆过程 19 考点一考点二考点三 对点训练已知数列 an 满足a1 2 an 1 6an 6 n N 1 设cn log5 an 3 求证 cn
8、 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 log5 an 1 3 2log5 an 3 即cn 1 2cn cn 是以2为公比的等比数列 20 考点一考点二考点三 21 考点一考点二考点三 分析法的应应用 考点难难度 只需证 a 2 2 a b b 2 2 a2 2a b b2 只需证 a 2 2 a b b 2 2a2 2b2 只需证 a 2 b 2 2 a b 0 即证 a b 2 0 上式显然成立 故原不等式得证 22 考点一考点二考点三 只需证3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 只需证2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 只需证 a b 2 b c
9、 2 c a 2 0 而这是显然成立的 方法总结分析法是逆向思维 当已知条件与结论之间的联系不够 明显 直接 或证明过程中所需要用到的知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正 面不易推导时 常考虑用分析法 用分析法证明的格式为 要证 只 需证 已知 的格式 23 考点一考点二考点三 24 考点一考点二考点三 只需证 n 1 2 n 2 2n成立 而该不等式在n 3时恒成立 故只需 要验证n 1 2 3时成立即可 而当n 1 2 3时 a1 a2 a3均满足该不等式 25 考点一考点二考点三 用数学归纳法很明显可证当an n时 有bnbn 26 考点一考点
10、二考点三 当n 1 2 3时该不等式恒成立 综上所得 上述不等式bn bn 11时 用数学归纳法很明显可证当an n时 有bn 0 下面证明bn 1 bn 27 考点一考点二考点三 同理数学归纳法可得该不等式成立 综上所述 不等式0 bn 1 bn成立 28 考点一考点二考点三 反证证法的应应用 考点难难度 例3 若等差数列 an 的前n项和为Sn a1 1 S3 9 3 1 求数列 an 的通项an与前n项和Sn 2 设bn n N 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能 成为等比数列 29 考点一考点二考点三 假设数列 bn 中存在三项bp bq br p q r N 且互不相等 成等
11、比 数列 30 考点一考点二考点三 方法总结1 应用反证法证明时必须先否定结论 把结论的反面作 为条件 且根据这一条件进行推理 否则 仅否定结论 不从结论的反 面出发进行推理 就不是反证法 所谓矛盾主要是指 1 与已知条件 矛盾 2 与假设矛盾 3 与定义 公理 定理矛盾 4 与公认的简单 事实矛盾 5 自相矛盾 2 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现 时 可用反证法来证 31 考点一考点二考点三 对点训练已知a b c是互不相等的非零实数 用反证法证明三个 方程ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0中至少有一个方程 有两个相异实根 证明
12、假设三个方程都没有两个相异实根 则 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 上述三个式子相加得 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 由已知a b c是互不相等的非零实数 因此 上式 不能同时成立 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 与事实不 符 故ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0中至少有一个方程 有两个相异实根 学科素养 32 难难点突破 直接证证明和间间接证证明在探索性问题问题 中的应应用 探索性问题 没有结论 需要自己寻找结论 在探索性问题
13、的研究 中 有一种方法可以先通过猜想或者特殊值法确定结论 然后合理 选择证 明方法证明这个结论 学科素养 33 只需证3x x 2y 3y 2x y 2 2x y x 2y 即证x2 y2 2xy 此式显然成立 同理 只需证3x 2x y 3y x 2y 2 x 2y 2x y 即证x2 y2 2xy 这显然成立 学科素养 34 答题指导探索性问题是开放性数学问题 猜想 证明 是解决这 类问题的基本思路 高分策略1 用综合法证明命题时 首先找到正确的出发点 一般的 处理方法是广泛地联系已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从 而由已知逐步推出结论 2 分析法是从结论出发 逆向思维 寻找结论成立的充分条件 应 用分析法要严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条 件 3 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条件的关 系 找到解题思路后 再运用综合法证明 或两种方法交叉使用 4 反证法证明的实质是证明它的逆否命题成立
