《姜启源等编《数学模型》第四版-课件-第九章--概率模型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《姜启源等编《数学模型》第四版-课件-第九章--概率模型.ppt（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 概率模型 9 1 传送系统的效率 9 2 报童的诀窍 9 3 随机存贮策略 9 4 轧钢中的浪费 9 5 随机人口模型 9 6 航空公司的预订票策略 9 7 学生作弊现象的调查和估计 确定现象随机现象 统计学家和赌场经理对待随机现象的态度几乎一样 只是前者用的是随机数 后者用的是扑克牌 斯汀 骰子赌博的诀窍 敏感问题调查 调查问卷 1 敏感问题 2 普通问题 回答 是 否 已知普通问题回答 是 的先验概率p 被调查人按单双学号回答问题1或2 答卷只有是或否 调查目的 敏感问题出现的概率x有多大 设调查人数为n 其中回答 是 的人数为m 确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 随机因素
2、影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型统计回归模型马氏链模型 随机模型 确定性模型 随机性模型 传送带 挂钩 产品 工作台 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走 若工 作台数固定 挂钩数量越多 传送带运走的产品越多 背 景 在生产进入稳态后 给出衡量传送带效 率的指标 研究提高传送带效率的途径 9 1 传送系统的效率 问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转 应假 定工人们的生产周期相同 即每人作完一件产品 后 要么恰有空钩经过他的工作台 使他可将产 品挂上运走 要么没有空钩经过 迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产 可以用一个周期内传送带运走
3、的产品数占产品 总数的比例 作为衡量传送带效率的数量指标 工人们生产周期虽然相同 但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致 可以认为是随机 的 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同 模型假设 1 n个工作台均匀排列 n个工人生产相互独立 生产周期是常数 2 生产进入稳态 每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的 3 一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方 到达第一个工作台的挂钩都是空的 4 每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩 若这只挂钩是空的 则可将产品挂上运走 若该钩非空 则这件产品被放下 退出运送系统 模型建立 定义传送带效率为一周期内运走的产品数 记作s
4、待定 与生产总数 n 已知 之比 记作 D s n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p 则 s mp 为确定s 从工人考虑还是从挂钩考虑 哪个方便 设每只挂钩为空的概率为q 则 p 1 q如 何 求 概 率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r 则 q rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u 则 r 1 u u 1 mp 1 1 1 m nD m 1 1 1 m n n 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方 模型解释 若 一周期运行的 挂钩数m远大于工作台数n 则 传送带效率 一周期内运走 产品数与生产总数之比 定义E 1 D 一周期内未运走产品数与生产总数之比 提高效率 的途径 增加m 习题
5、1 当n远大于1时 E n 2m E与n成正比 与m成反比 若n 10 m 40 D 87 5 89 4 1 1 1 n mn m D 9 2 报童的诀窍 问 题 报童售报 a 零售价 b 购进价 c 退回价 售出一份赚 a b 退回一份赔 b c 每天购进多少份可使收入最大 分 析 购进太多 卖不完退回 赔钱 购进太少 不够销售 赚钱少 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 每天收入是随机的 存在一个合 适的购进量 等于每天收入的期望 建 模 设每天购进 n 份 日平均收入为 G n 调查需求量的随机规律 每天 需求量为 r 的概率 f r r 0
6、 1 2 准 备 求 n 使 G n 最大 已知售出一份赚 a b 退回一份赔 b c 求解将r视为连续变量 结果解释 n P1P2 取n使 a b 售出一份赚的钱 b c 退回一份赔的钱 0r p 9 3 随机存贮策略 问 题 以周为时间单位 一周的商品销售量为随机 周末根据库存决定是否订货 供下周销售 s S 存贮策略 下界s 上界S 当周末库存小于s 时订货 使下周初的库存达到S 否则 不订货 考虑订货费 存贮费 缺货费 购进费 制订 s S 存贮策略 使 平均意义下 总费用最小 模型假设 每次订货费c0 每件商品购进价c1 每件商品 一周贮存费c2 每件商品缺货损失费c3 c1 c3
7、每周销售量 r为连续随机变量 概率密度 p r 周末库存量x 订货量 u 周初库存量 x u 每周贮存量按 x u r 计算 建模与求解 s S 存贮策略 确定 s S 使目标函数 每周总费用的平均值最小 平均 费用 订货费c0 购进价c1 贮存费c2 缺货费c3 销售量 r s 订货点 S 订货值 建模与求解 1 设 x s 求 u 使 J u 最小 确定S 建模与求解 S P1P2 0r p 2 对库存 x 确定订货点s 若订货u u x S 总费用为 若不订货 u 0 总费用为 订货点 s 是的最小正根 建模与求解 不订货 最小正根的图解法 J u 在u x S处达到最小 x I x 0
8、 S I S s I S c0 I x 在x S处达到最小值I S I x 图形 建模与求解 J u 与I x 相似 I S 的最小正根 s 9 4 轧钢中的浪费 轧制钢材 两道工序 粗轧 热轧 形成钢材的雏形 精轧 冷轧 得到钢材规定的长度 粗轧 钢材长度正态分布 均值可以调整 方差由设备精度确定 粗轧钢材长 度大于规定 切掉多余 部分 粗轧钢材长 度小于规定 整根报废 随机因 素影响 精轧 问题 如何调整粗轧的均值 使精轧的浪费最小 背 景 分析 设已知精轧后钢材的规定长度为 l 粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为 m 则粗轧得到的 钢材长度为正态随机变量 记作 x N m
9、 2 切掉多余部 分的概率 整根报废 的概率 存在最佳的m使总的浪费最小 l P 0 p 概率密度 mx P m P P 建模 选择合适的目标函数 切掉多余部分 的浪费 整根报废 的浪费 总浪费 粗轧一根钢材平均浪费长度 粗轧N根成品材 PN根 成品材长度l PN 总长度mN 共浪费长度 mN lPN 直接方法 选择合适的目标函数 粗轧一根钢材平均浪费长度 得到一根成品材平均浪费长度 更合适的目标函数 优化模型 已知l 求m 使J m 最小 建模 粗轧N根得成品材 PN根 略去常数l 记 求解 已知 求 z 使J z 最小 求解 例 设l 2 米 20 厘米 求 m 使浪费最小 l 10z 1
10、 78 z 11 78 m 2 36 米 求解 1 2530 8760 6560 5160 4200 355 0 227 0 3 0 0 5 56 79 2 5 1 0 18 10 2 0 1 5 7 206 1 5 2 02 5 3 4771 680 1 0 0 5 z z F z F z 1 02 00 1 0 2 0 10 5 F z z 轧钢中的浪费 模型假定 粗轧钢材长度小于规定长度l 整根报废 改为新的假定 习题8 1 粗轧钢材长度在规定长度 l1 l 内 降级使用 2 粗轧钢材长度小于规定长度l1 整根报废 在随机因素影响下过程有两种结果 其损失 或收益 各有不同 综合考虑来确定
11、应采取的决策 在统计 意义下使总损失最小 或总收益最大 日常生产 生活中的类似问题 9 5 随机人口模型 背景 一个人的出生和死亡是随机事件 一个国家或地区 平均生育率 平均死亡率 确定性模型 一个家族或村落 出生概率 死亡概率 随机性模型 对象 X t 时刻 t 的人口 随机变量 Pn t 概率P X t n n 0 1 2 研究Pn t 的变化规律 得到X t 的期望和方差 若X t n 对t到t t的出生和死亡概率作以下假设 1 出生一人的概率与 t成正比 记bn t 出生二人及二人以上的概率为o t 2 死亡一人的概率与 t成正比 记dn t 死亡二人及二人以上的概率为o t 3 出生
12、和死亡是相互独立的随机事件 bn与n成正比 记bn n 出生概率 dn与n成正比 记dn n 死亡概率 进一步假设 模型假设 建模 为得到Pn t P X t n 的变化规律 考察Pn t t P X t t n 事件X t t n的分解 X t n 1且 t内出生一人 X t n 1且 t内死亡一人 X t n且 t内没有出生和死亡 其他 出生或死亡二人 出生且死亡一人 概率Pn t t Pn 1 t bn 1 t Pn 1 t dn 1 t Pn t 1 bn t dn t o t 一组递推微分方程 设t 0时已知人口为n0 转而求解X t 的期望和方差 bn n dn n t 0 得微分
13、方程 建模 求解困难且不必要 X t 的期望 求解 基本 方程 n 1 k n 1 k 求解 比较 确定性指数增长模型 X t 的方差 E t t r D t E t t E t0 n0 D t X t 大致在 E t 2 t 范围内 t 均方差 r 增长概率 r 平均增长率 随机人口模型 这个随机模型得到的人口期望值的结果与最简单的 确定性指数增长模型的结果 相对应 如果建立与确定性阻滞增长模型相对应的随机模型 难以得到结果 也不知道与确定性模型结果是否一致 本模型更积极的意义是可以描述一般的生灭过程 如电梯的升降 各种排队系统等 9 6 航空公司的预订票策略 预订票业务 航空公司为争取客源
14、开展优质服务问题 预先订票的乘客如果未能按时登机 可以乘坐下一 班机或退票 无需附加任何费用 若公司限制预订票的数量等于飞机容量 由于会有订 了机票的乘客不按时来 致使飞机不满员而利润降低 如果不限制预订票数量 若持票按时来的乘客超过飞 机容量 必然引起不能走乘客的抱怨 给公司带来损失 公司需要综合考虑经济利益和社会声誉 确定预订票 数量的最佳限额 问题分析 公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和 赔偿金后的利润来衡量 社会声誉可以用持票按时前来登机 但因满员不能 飞走的乘客 被挤掉者 限制在一定数量为标准 随机因素 预订票的乘客是否按时前来登机 经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义
15、下衡量 两目标的优化问题 决策变量是预订票数量的限额 模型假设 1 飞机容量n 飞行费用r 与乘客数量无关 机票 价格 g r n 其中 n 每位乘客不按时前来 3 登机的概率p 各位乘客是否按时前来 相互独 立 3 每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b 0 6 表示飞机达到60 满员率就不亏本 模型建立 1 每次航班的利润 s 机票收入 飞行费用 赔偿金 若 m位预订票乘客中有k位不按时前来 按时前来者不超过容量 按时前来者超过容量 k位乘客不按时前来的概率 二项分布 平均 利润 模型建立 2 公司为维护社会声誉 要求被挤掉者不要太多 用被挤掉者超过若干人的概率作为度量指标 被挤掉者超过j人 m
16、人中不按时前 来的不超过m n j 1人 的概率 给定n j 若m n j 被挤掉的不会超过j 即Pj m 0 若m n j Pj m 随m增加而单调单调 增加 以Pj m 不超过过某个给给定值为约值为约 束条件 以平均利润润S m 为单为单 目标标函数 优化问题 目标函数 模型求解 目标函数 单位费用获得的平均利润 给定 n p b g 赔偿金占票价的比例 求 m使 J m 最大 约束条件 容量n 预订票限额m 费用r 调节因子 赔偿金b 票价 g r n 不按时登机概率p 1 给定 模型求解 mJ m P5 m P10 m b g 0 2b g 0 4 3000 58330 583300 3020 59390 593900 3040 60440 604400 3060 61500 61500 00000 3080 62540 62540 00000 3100 63530 63510 00070 3120 64390 64340 00660 0000 3140 65030 64920 03410 0002 3160 65400 65170 11230 0023 3180 65510
