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1、77解三角形应用举例基础巩固强化1.(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20，灯塔B在C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()AaB.aC.a D2a答案B解析由余弦定理可知，AB2a2a22aacos1203a2，得ABa，故选B.(理)(2011舟山期末)某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()A. B2C2或 D3答案C解析如图，ABC中，AC，BC3，ABC30，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，3x296xcos30，x或2.2一艘海轮从A处出发，以每小时40n mi
2、le的速度沿东偏南50方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()A10n mile B10n mileC20n mile D20n mile答案A解析如图，由条件可知ABC中，BAC30，ABC105，AB20，ACB45，由正弦定理得，BC10，故选A.3(2012东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西，另一灯塔在船的南75西，则这艘船的速度是每小时()A5n mile B5n
3、mileC10n mile D10n mile答案C解析如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(n mile/h)4(2011沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 B2sin10C2cos10 Dcos20答案C解析如图，BD1，DBC20，DAC10，在ABD中，由正弦定理得，AD2cos10.5.(2012厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为4
4、5，若CD50m，山坡对于地平面的坡度为，则cos()A. B2C.1 D.答案C解析在ABC中，由正弦定理可知，BC50()，在BCD中，sinBDC1.由题图知，cossinADEsinBDC1.6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为()A5n mile B2n mileC.n mile D3n mile答案C解析连接AC，ABC60，BCAB5，则AC5.在ACD中，AD3，AC5
5、，DAC45，由余弦定理得CD.7在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()A237 B227C247 D257答案A解析解法1：如图，D45，ACB60，DC100，DAC15，AC，ABACsin60237.选A.解法2：在RtABD中，ADB45，ABBD，BCAB100.在RtABC中，ACB60，AB15050237.8一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，依题意有AB154
6、60，MAB30，AMB45，在三角形AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)9(2011洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且POQ90，再过一分钟，该物体位于R点，且QOR30，则tanOPQ的值为_答案解析由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQQR，不妨设其长度为1.在RtPOQ中，OQsinOPQ，OPcosOPQ，在OPR中，由正弦定理得，在ORQ中，两式两边同时相除得tanOPQ.10(2011东北三校二模)港口A北偏东30方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31n mile
7、，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile，问此时轮船离港口A还有多远？解析在BDC中，由余弦定理知，cosCDB，sinCDB.sinACDsin(CDB)sinCDBcoscosCDBsin.在ACD中，由正弦定理知AD2115(n mile)此时轮船距港口还有15n mile.能力拓展提升11.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10m B100mC20m D30m答案A解析设炮塔顶A、底D，两船B、C，则BAD45，CAD30，BDC30，
8、AD30，DB30，DC10，BC2DB2DC22DBDCcos30300，BC10.12(2012湖南文，8)在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B.C. D.答案B解析在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosB，即7AB2422AB，AB22AB30，AB3或AB1(舍去)，则BC边上的高ADABsinB3sin60.13(2013安徽省阜阳市第一中学二模)ABC为锐角三角形，且msinAsinB，ncosAcosB，则m与n的大小关系为()Amn BmnCmn Dm，AB0，BA0，sinAcosB，sinBcosA，sinAsinBcosAcosB，mn
9、，故选C.14(2012重庆理，13)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA，cosB，b3，则c_.答案解析由已知sinA，sinB.sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB.由正弦定理，c.15(2012河北衡水中学调研)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走10m到B，在B处测得山顶P的仰角为60，求山高h(单位：m)解析在三角形ABP中，ABP180，BPA180()ABP180()(180).在ABP中，根据正弦定理得，AP.又60，30，15，山高为hAPsin5(m)16(2011东北四校联考)在海岛A上有
10、一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午1100时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处，到1110时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C处(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离解析(1)设船速为xkm/h，则BCkm.在RtPAB中，PBA与俯角相等为30，AB.同理，RtPCA中，AC.在ACB中，CAB154560，由余弦定理得BC，x62km/h，船的航行速度为2km/h.(2)作ADBC于点D，连接PD，当航行驶到点D时，AD最小，从而PD最小此时，AD.PD.船在行驶过程中与观察站P的最短距离
11、为km.1(2012重庆理，5)设tan、tan是方程x23x20的两根，则tan()的值为()A3 B1C1 D3答案A解析本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式由已知tantan3，tantan2，所以tan()3.故选A.点评运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单2(2012重庆文，5)()A BC. D.答案C解析sin47sin(3017)sin30cos17cos30sin17，原式sin30.3(2012上海文，17)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定答案A解析由sin2Asi
12、n2Bsin2C.由正弦定理可得a2b2c2，则由余弦定理cosC0，则角C为钝角，故三角形为钝角三角形4(2012浙江理，18)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosA，sinBcosC.(1)求tanC的值；(2)若a，求ABC的面积解析(1)0A，cosA，sinA，又cosCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCcosCsinC.所以tanC.(2)由tanC，得sinC，cosC.于是sinBcosC.由a及正弦定理，得c，设ABC的面积为S，则SacsinB.5.(2011郑州一测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A、B两地相距100m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得最高点H的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340m/s)解析由题意，设|AC|x，则|BC|x340x40，在ABC
