鸡兔同笼问题 一 意义 已知 鸡兔 的总头数和总腿数 求 鸡 和 兔 各多少只 解题关键 采用假设法 假设全是一种动物 如全是鸡或全是兔 然后根 据腿的差数可以推断出一种动物的头数 解题规律 假设全是鸡 兔子头数 总腿数 鸡腿数 2 即兔子头数 总腿数 2 总头数 2 假设全是兔子 鸡的只数 兔子腿数 总腿数 2 即鸡的只数 4 总头数 总腿数 2 二 常见题型 1 已知总头数和鸡兔脚数的差数 求鸡兔各多少只 1 已知总头数和鸡兔脚数的差数 当鸡的总脚数比兔的总脚数多时 每只鸡脚数 总头数 鸡兔脚数之差 每只鸡的脚数 每只兔的脚数 兔数 总头数 兔数 鸡数 或 每只兔脚数 总头数 鸡兔脚数之差 每只鸡的脚数 每只免的脚数 鸡数 总头数 鸡数 兔数 2 已知总数与鸡兔脚数的差数 当兔的总脚数比鸡的总脚数多时 每只鸡的脚数 总头数 鸡兔脚数之差 每只鸡的脚数 每只兔的脚数 兔数 总头数 兔数 鸡数 或 每只兔的脚数 总头数 鸡兔脚数之差 每只鸡的脚数 每只兔的脚数 鸡数 2 鸡兔互换问题 已知总脚数及鸡兔互换后总脚数 求鸡兔各多少的问题 两次总脚数之和 每只鸡兔脚数和 两次总脚数之差 每只鸡兔脚数之差 2 鸡数 两次总脚数之和 每只鸡兔脚数之和 两次总脚数之差 每只鸡兔脚数之差 2 兔数 3 得失问题 鸡兔问题的推广题 的解法 可以用下面的公式 1 只合格品得分数 产品总数 实得总分数 每只合格品得分数 每只不合格品扣分数 不合格品数 或者是总产品数 每只不合格品扣分数 总产品数 实得总分数 每只合格品得分数 每只不合格品扣分数 不合格品数 例题 例 1 有鸡兔共30 只 兔脚比鸡脚多60 只 问鸡兔各多少只 解 兔数 2 30 60 2 4 20 只 鸡数 30 20 10 只 解析 首先假设都是鸡 那么有60 只脚 然后再加上鸡兔脚数之差 那么剩下的和兔数相 同的鸡和兔 也就是相当也是一种六条腿的小怪物 所以再除以6 就自然得出兔子的数了 例 2 小朋友们去划船 大船可以坐10 人 小船坐6 人 小朋友们共租了15 只船 已知乘 大船的人比乘小船的人多22 人 问大船几只 小船几只 解 大船 6 15 22 6 10 7 只 小船 15 7 8 只 或者 小船 10 15 22 6 10 8 只 大船 15 8 7 只 例 3 有一些鸡和兔 共有脚44 只 若将鸡数与兔数互换 则共有脚52 只 鸡兔各是多少 只 解 鸡数 52 44 4 2 52 44 4 2 2 20 2 10 只 兔数 52 44 4 2 52 44 4 2 2 12 2 6 只 解析 首先用鸡兔互换的数相加 大家想想 那出来的结果是什么 是不是鸡兔的数都变成 了鸡兔的总数 已经是变成了鸡兔总数只的六条腿的小怪物 所以 52 44 4 2 得 出的是鸡兔的和 这时其实就变成了一道普通的鸡兔同笼问题了 但如果我们再看看用鸡兔 互换的数相减得到的是什么数 为什么交换了会有差捏 因为兔子4 条腿 鸡 2 条腿 所以 每把一只鸡换成一只兔子就会多出两条腿 所以 52 44 4 2 得出的是鸡兔的差 那么这是不是就变成和差问题了 下面大家就能很容易的解答了 例 4 小朋友们去划船 大船可以坐10 人 小船坐6人 能坐 130 人 如果把大船和小船的 只数互换则少坐20 人 问大船几只 小船几只 解 小船 130 20 130 10 6 20 10 6 2 20 2 10 只 大船 130 20 130 10 6 20 10 6 2 10 2 5 只 例 5 有鸡兔共30 只 鸡脚比兔脚多30 只 问鸡兔各多少只 解 兔数 2 30 30 2 4 5 只 鸡数 30 5 25 只 解析 首先假设都是鸡 那么有60 只脚 然后再减去鸡兔脚数之差 那么剩下的和兔数相 同的鸡和兔 也就是相当也是一种六条腿的小怪物 所以再除以6 就自然得出兔子的数了 例 6 小朋友们去划船 大船可以坐10 人 小船坐6 人 小朋友们共租了15 只船 已知乘 小船的人比乘大船的人多42 人 问大船几只 小船几只 解 大船 6 15 42 6 10 3 只 小船 15 3 12 只 或者 小船 10 15 42 6 10 12 只 大船 15 12 3 只 总头数 鸡数 兔数 例 7 灯泡厂生产灯泡的工人 按得分的多少给工资 每生产一个合格品记4 分 每生产一 个不合格品不仅不记分 还要扣除15 分 某工人生产了1000 只灯泡 共得3525 分 问其 中有多少个灯泡不合格 解一 4 1000 3525 4 15 475 19 25 个 解二1000 15 1000 3525 4 15 1000 18525 19 1000 975 25 个 答略 得失问题 也称 运玻璃器皿问题 运到完好无损者每只给运费 元 破损者不仅不给运 费 还需要赔成本 元 它的解法显然可套用上述公式 课堂练习 1 小梅数她家的鸡与兔 数头有16 个 数脚有44 只 问 小梅家的鸡与兔各有多少只 解 有兔 44 2 16 4 2 6 只 有鸡 16 6 10 只 答 有 6 只兔 10 只鸡 2 100 个和尚 140 个馍 大和尚1 人分 3 个馍 小和尚1 人分 1 个馍 问 大 小和尚各 有多少人 假设 100 人全是大和尚 那么共需馍300 个 比实际多300 140 160 个 现在以小 和尚去换大和尚 每换一个总人数不变 而馍就要减少3 1 2 个 因为160 2 80 故小和尚有80 人 大和尚有100 80 20 人 3 彩色文化用品每套19 元 普通文化用品每套11 元 这两种文化用品共买了16 套 用 钱 280 元 问 两种文化用品各买了多少套 假设买了16 套彩色文化用品 则共需 19 16 304 元 比实际多304 280 24 元 现在用普通文化用品去换彩色文化用品 每换一套少用19 11 8 元 所以 买普通文化用品 24 8 3 套 买彩色文化用品 16 3 13 套 4 鸡 兔共 100 只 鸡脚比兔脚多20 只 问 鸡 兔各多少只 分析 假设100 只都是鸡 没有兔 那么就有鸡脚200 只 而兔的脚数为零 这样鸡脚比兔 脚多 200 只 而实际上只多20 只 这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200 20 180 只 现在以兔换鸡 每换一只 鸡脚减少2 只 兔脚增加4 只 即鸡脚比兔脚多的脚数 中就会减少4 2 6 只 而180 6 30 因此有兔子30 只 鸡 100 30 70 只 解 有兔 2 100 20 2 4 30 只 有鸡 100 30 70 只 答 有鸡70 只 兔 30 只 5 现有大 小油瓶共50 个 每个大瓶可装油4 千克 每个小瓶可装油2 千克 大瓶比小 瓶共多装20 千克 问 大 小瓶各有多少个 解 小瓶有 4 50 20 4 2 30 个 大瓶有 50 30 20 个 答 有大瓶20 个 小瓶30 个 6 一批钢材 用小卡车装载要45 辆 用大卡车装载只要36 辆 已知每辆大卡车比每辆小 卡车多装 4 吨 那么这批钢材有多少吨 分析 要算出这批钢材有多少吨 需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨 利用假设法 假设只用36 辆小卡车来装载这批钢材 因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4 吨 所以要剩下4 36 144 吨 根据条件 要装完这144 吨钢材还需要45 36 9 辆 小卡车 这样每辆小卡车能装144 9 16 吨 由此可求出这批钢材有多少吨 解 4 36 45 36 45 720 吨 答 这批钢材有720 吨 7 乐乐百货商店委托搬运站运送500 只花瓶 双方商定每只运费0 24 元 但如果发生损坏 那么每打破一只不仅不给运费 而且还要赔偿1 26 元 结果搬运站共得运费115 5 元 问 搬运过程中共打破了几只花瓶 分析 假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破 那么应得运费0 24 500 120 元 实际上只得到115 5 元 少得120 115 5 4 5 元 搬运站每打破一只花瓶要损失0 24 1 26 1 5 元 因此共打破花瓶4 5 1 5 3 只 解 0 24 500 115 5 0 24 1 26 3 只 答 共打破3 只花瓶 8 小乐与小喜一起跳绳 小喜先跳了2 分钟 然后两人各跳了3 分钟 一共跳了780 下 已知小喜比小乐每分钟多跳12 下 那么小喜比小乐共多跳了多少下 分析与解 利用假设法 假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样 那么两人跳的总数减 少了 12 2 3 60 下 可求出小乐每分钟跳 780 60 2 3 3 90 下 小乐一共跳了90 3 270 下 因此小喜比小乐共多跳 780 270 2 240 下 课后作业 1 某校有 100 名学生参加数学竞赛 平均分是 63 分 其中男生平均分是60 分 女生平均分是 70 分 男同学比女同学多 人 女生 63 100 60100 70 60 30 人 男生 100 30 70 人 70 30 40 人 2 有黑白棋子一堆 其中黑子的个数是白子个数的2 倍 如果从这堆棋子中每次 同时取出黑子 4 个 白子 3 个 那么取出 次后 白子余 1 个 而黑子余 18 个 由黑子的个数是白子个数的2 倍 假如每次取出白子2 个 黑子的一半 的话 那么最后余下黑子18 个 白子应余下 182 9 个 现在只余下一个白子 这是因为实际每次取3 个比假设每次多取一个 故共取 9 1 3 2 8 次 3 学生买回 4 个篮球 5 个排球一共用 185 元 一个篮球比一个排球贵8 元 篮球 的单价是 元 185 48 5 4 8 25 元 4 小强爱好集邮 他用 1 元钱买了 4 分和 8 分的两种邮票 共 20 张 那么他买了 4 分邮票 张 208 100 8 4 15 张 5 松鼠妈妈采松子 晴天每天采 20 个 雨天每天可采 12 个 它一连采了 112 个 平均每天采 14 个 这几天中有 天是雨天 11214 20 112 20 12 6 天 6 一些 2 分与 5 分的硬币共 299 分 其中 2 分的个数是 5 分个数的 4 倍 5 分的 有 个 299 24 5 23 个 7 某人领得工资240 元 有 2 元 5 元 10 元三种人民币共50 张 其中 2 元和 5 元的张数一样多 那么 10 元的有 张 1050 240 10 2 5 2 40 张 240 2 5 402 10 10 张 8 一件工程甲独做 12天完成 乙独做 18天完成 现在由甲先做若干天后 再由乙 单独完成余下的任务 这样前后共用了 16 天 甲先做了 4 天 解析 把这项工程设为36 份 甲每天做 3 份 乙每天做 2 份 甲先做 4 天 乙再做 12 天才完成 9 买一些 4 分 8 分 1 角的邮票共 15 张 用币 100 分最多可买 角的 6 张 解析 假如都买4 分邮票 共用 4 15 60 分 就多余 100 60 40 分 买一张 1 角邮票 可以认为 40 分换 1 角 要多 6 分 406 6 4 就多买 6 张 最后多余 4 分 加上一张 4分邮票 恰好买一张 8 分邮票 10 买一些 4 分与 8 分的邮票共花 6 元 8 角 已知 8 分的邮票比 4 分的多 40 张 那么 8 分的邮票有 张 4 分 680 840 8 4 30 张 8 分 30 40 70 张 11 鸡兔共 200 只 鸡的脚比兔的脚少56 只 则鸡有几只 兔有几只 兔 200 562 2 1 76 只 鸡 200 76 124 只 12 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶 运费按到达时完好瓶子数目计算 每只 2 角 如有破损 破损 1 个瓶子还要倒赔 1元 结果得到运费 379 6 元 问这次搬运中玻璃 损坏了几只 0 22000 379 6 1 0 2 17 只 13 某次数学测验共 20题 做对一题得 5分 做错一题倒扣 1分 不做得 0 分 小华 得了 76 分 问他做。