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1、第5讲 用样本估计总 体 考纲要求考点分布考情风向标 1 了解分布的意义和作用 会列频 率分布表 会画频率分布直方图 频率折线图 茎叶图 理解它们 各自的特点 2 理解样本数据标准差的意义和 作用 会计算数据标准差 3 能从样本数据中提取基本的数 字特征 如平均数 标准差 并给 出合理的解释 4 会用样本的频率分布估计总 体 分布 会用样本的基本数字特征 估计总 体的基本数字特征 理解 用样本估计总 体的思想 5 会用随机抽样的基本方法和样 本估计总 体的思想解决一些简单 的实际问题 2013 年新课标 第 18 题考 查求平均数及茎叶图 2014 年新课标 第 19 题考 查求中位数及茎叶图
2、 2014 年新课标 第 18 题完 成频率分布直方图 平均数 及方差及用样本估计总 体思 想应用 2016 年新课标 第 19 题考 查用样本估计总 体思想应 用 2017 年新课标 第 2 题考查 样本数据平均数 中位数 标准差等 1 由于高考对统计 考查的覆盖 面广 几乎对所有的统计 考点 都有所涉及 包括样本的频率 分布 折线图 直方图 茎叶图 中的有关计算 样本特征数 众 数 中位数 平均数 标准差 的计算 复习时 对于统计 的任 何环节 都不能遗漏 最主要的 是掌握好统计 的基础知识 适 度的题量练习 2 高考对频 率分布直方图或茎 叶图与概率相结合的题目考查 日益频繁 因此 复习
3、时 要加强 这方面的训练 弄清图表中有 关量的含义 并从中提炼出有 用的信息 为后面的概率计算 打好基础 1 用样本估计总体 通常我们对总体作出的估计一般分成两种 一种是用样本 的频率分布估计总体的分布 另一种是用样本的数字特征估计 总体的数字特征 2 统计图 1 频率分布直方图 求极差 极差是一组数据的最大值与最小值的差 决定组距和组数 当样本容量不超过 100 时 常分成 5 12 组 组距 将数据分组 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 也可以将样本数据多取一位小数分组 列频率分布表 登记频数 计算频率 列出频率分布表 将样本数据分成若干个小组 每个小组内的样本个数称
4、作 频数 频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率 频率反映各 个数据在每组所占比例的大小 绘制频率分布直方图 把横轴分成若干段 每一段对应 一个组距 然后以线段为底作一小长方形 它的高等于该组的 频率 组距 这样得到一系列的长方形 每个长方形的面积恰好是该 组上的频率 这些矩形就构成了频率分布直方图 各个长方形的 面积总和等于 1 2 频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各长方形上端 的中点 就得频率分布折线图 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分的组 数增加 组距减小 相应的频率分布折线图就会越来越接近于 一条光滑的曲线 在统计中称之为总体密度曲线 3
5、茎叶图 当样本数据较少时 用茎叶图表示数据的效果较好 它不 但可以保留所有信息 而且可以随时记录信息 给数据的记录 和表示都带来方便 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 众数 中位数 平均数 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数 据的众数 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在 位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的 中位数 平均数 样本数据的算术平均数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等 最中间 2 样本方差 标准差 标准差 其中 xn 是样本数据的第 n 项 n 是样本容量 x是 标准差是反映总体波动大小的特征数 样本方差是
6、标准 差的平方 通常用样本方差估计总体方差 当样本容量接近总体 容量时 样本方差接近总体方差 平均数 1 2017 年江西南昌二模 图 9 5 1 是一样本的频率分布直 方图 若样本容量为 100 则样本数据在 15 20 内的频数是 图 9 5 1 A 50B 40C 30D 14 解析 因为 15 20 对应的小矩形的面积为 1 0 04 5 0 1 5 0 3 所以样本落在 15 20 的频数为 0 3 100 30 故选 C 答案 C 2 2015 年重庆 重庆市 2013 年各月的平均气温 单位 数据的茎叶图如图 9 5 2 则这组数据中的中位数是 图 9 5 2 A 19B 20C
7、 21 5D 23 解析 由茎叶图可知总共 12 个数据 处在正中间的两个数 是第 6 和第 7 个数 它们都是 20 由中位数的定义可知 其中 位数就是 20 故选 B B 3 2015 年广东 已知样本数据 x1 x2 xn 的均值 x 5 则样本数据 2x1 1 2x2 1 2xn 1 的均值为 11 解析 因为样本数据 x1 x2 xn 的均值 x 5 所以样本 数据 2x1 1 2x2 1 2xn 1 的均值为 2 x 1 2 5 1 11 4 2016 年上海 某次体检 6 位同学的身高 单位 米 分别 为 1 72 1 78 1 75 1 80 1 69 1 77 则这组数据的中
8、位数是 单位 米 1 76 解析 将这6位同学的身高按照从矮到高排列为 1 69 1 72 1 75 1 77 1 78 1 80 这 6 个数的中位数是 1 75 与 1 77 的平 均数 显然为 1 76 考点 1样本的数字特征 例 1 1 2017 年新课标 为评估一种农作物的种植效果 选了 n 块地作试验田 这 n 块地的亩产量 单位 kg 分别为 x1 x2 xn 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量 稳定程度的是 A x1 x2 xn的平均数 B x1 x2 xn的标准差 C x1 x2 xn的最大值 D x1 x2 xn的中位数 解析 刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指
9、标是标准 差 故选 B 答案 B 2 2017 年湖南衡阳四中统测 10 名工人某天生产同一零 件 生产的件数是 15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设其平均数为 a 中位数为 b 众数为 c 则有 A a b c C c a b B b c a D c b a 解析 生产的件数是 15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 总和 为 147 平均数 a 147 10 14 7 样本数据 17 出现次数最多 为众数 即 c 17 从小到大排列中间 2 个数的平均数 即中位数 b 15 17 15 14 7 c b a 答案 D 丙班成绩 分数708090
10、100 人数4664 甲班成绩 分数708090100 人数5555 3 甲 乙 丙三个班各有 20 名学生 一次数学考试后 三个班学生的成绩与人数统计如下表 乙班成绩 分数 人数 70 6 80 4 90 4 100 6 s1 s2 s3 分别表示甲 乙 丙三个班本次考试成绩的标准 差 则 A s2 s1 s3 B s2 s3 s1 C s1 s2 s3 D s3 s1 s2 解析 三个班本次考试成绩的均值都为 85 由标准差的几 何意义得 标准差越小 数据偏离于均值的平均程度越小 因 此 s2 最大 s3 最小 故选 A 答案 A 考点 2茎叶图的应用 例 2 2014 年新课标 某市为了
11、考核甲 乙两部门的工 作情况 随机访问了 50 位市民 根据这 50 位市民对这两部门 的评分 评分越高表明市民的评价越高 绘制茎叶图 如图 9 5 3 图 9 5 3 1 分别估计该市的市民对甲 乙两部门评分的中位数 2 分别估计该市的市民对甲 乙两部门的评分高于 90 分 的概率 3 根据茎叶图分析该市的市民对甲 乙两部门的评价 解 1 由所给茎叶图知 50 位市民对甲部门的评分由小到 大排序 排在第 25 26 位的是 75 75 故样本中位数为 75 所以 该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序 排在第 25 26 位 的是 66 68
12、故样本中位数为 66 68 2 67 所以该市的市民对乙 部门评分的中位数的估计值是 67 2 由所给茎叶图知 50 位市民对甲 乙部门的评分高于 90 分的比率分别为 5 50 0 1 8 50 0 16 故该市的市民对甲 乙部门的评分高于 90 分的概率的估计 值分别为 0 1 0 16 3 由所给茎叶图知 市民对甲部门的评分的中位数高于对 乙部门的评分的中位数 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门 的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 说明该市市 民对甲部门的评价较高 评价较为一致 对乙部门的评价较低 评价差别较大 注 考生利用其他统计量进行分析 结论合理的 同样给分 互动探究 1 2
13、017 年山东 如图 9 5 4 所示的茎叶图记录了甲 乙两 组各 5 名工人某日的产量数据 单位 件 若这两组数据的中位 A数相等 且平均值也相等 则 x 和 y 的值分别为 图 9 5 4 A 3 5B 5 5C 3 7D 5 7 解析 甲组中位数为 65 所以乙组中位数也为 65 故 y 5 乙组平均数为 66 所以 56 62 65 74 70 x 66 5 x 3 故选 A 2 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分茎叶图 如图 A9 5 5 则这组数据的中位数和平均数分别是 图 9 5 5 A 91 5 和 91 5 B 91 5 和 92 C 91 和 91 5 D 92 和
14、 92 3 如图 9 5 6 所示的茎叶图是甲 乙两位同学在期末考试 中的六科成绩 已知甲同学的平均成绩为 85 乙同学的六科成 10绩的众数为 84 则 x y 图 9 5 6 质量指标 值分组 75 85 85 95 95 105 105 115 115 125 频数62638228 考点 3频率分布直方图的绘制及其应用 例 3 2014 年新课标 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下 频数分布表 1 如图 9 5 7 在表格中作出这些数据的频率分布直方图 图 9 5 7 2 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的 数据用该组区
15、间的中点值作代表 3 根据以上抽样调查数据 能否认为该企业生产的这种产 品符合 质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80 的规定 解 1 频率分布直方图如图 D67 图 D67 2 质量指标值的样本平均数为 x 80 0 06 90 0 26 100 0 38 110 0 22 120 0 08 100 质量指标值的样本方差为 s2 20 2 0 06 10 2 0 26 0 0 38 102 0 22 202 0 08 104 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100 方差 的估计值为 104 3 质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0 38 0 22 0
16、 08 0 68 由于该估计值小于 0 8 故不能认为该企业生产的这种产品 符合 质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80 的 规定 规律方法 用频率分布直方图解决相关问题时 应正确 理解图表中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题 的关 键 频率分布直方图有以下几个要点 纵轴表示 频率 组距 频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上 的频率 所有的小矩形的面积之和等于 1 即频率之和为 1 互动探究 4 某学校随机抽取 20 个班 调查各班中有网上购物经历的 人数 所得数据的茎叶图如图 9 5 8 以组距为 5 将数据分组成 0 5 5 10 30 35 35 40 时 所作的频率分布直方图 是 图 9 5 8 A C B D 分组频数频率 频率 组距 0 5 10 050 01 5 10 10 050 01 10 15 40 200 04 15 20 20 100 02 20 25 40 200 04 25 30 30 150 03 30 35 30 150 03 35 40 20 100 02 合计201 00
