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1、2 6 中国人造板 2 0 0 7 / 7 质量与标准化 王维新，曾 珍，史燕萍，徐 青 （中国林科院木材工业研究所，北京 1 0 0 0 9 1 ） 人造板抽样检验基础知识解析 之 四 P r i n c i p l e s o f S a mp l i n g a n d T e s t i n g f o r Wo o d - b a s e d P a n e l s ( 4 ) 5 计量检验 概述 谈到计量检验，先要介绍 3个基本概念。即“计 量检验” 、 “计量质量特性”和“计量抽样检验” 。 计量检验是在规定条件下，用测量、试验或其他方法将 单位产品的计量特征观察值与技术要求进行
2、对比，并判 断该单位产品的该计量特性是否合适的过程。计量质量 特性是“被检产品中能用连续尺度进行度量的质量特 性” 。人造板的物理力学性能中，如力学性能、密度、 含水率等都是可以用连续尺度进行度量的质量特性。某 些质量特性目前尚不能用连续尺度进行度量，如表面耐 香烟灼烧性能、表面耐干热性能，它们就不适于计量检 验。所谓计量抽样检验是“按规定的抽样检验方案从批 中随机抽取部分单位样品进行计量检验， 并根据样本均值 和样本标准差判断该批产品是否接收的过程。 ” 计量检验 与计数检验的不同主要在以下方面 ： 如果检测值服从或接 近服从正态分布， 为使生产方( 或使用方) 得到某种质量保 护， 前者所
3、需样本较少， 而且能提供有关产品质量的更多 信息；后者则不受设定的分布形状的限制，使用较为方 便， 且易为质检人员理解和执行。 当检验费用很高或检验 带有破坏性时， 采用计量检验比计数检验有本质上的优越 性。 当然， 在客观条件允许时， 计量检验的样本数和试件 数应充分多， 以使检验结果的算术平均值成为期望值的可 靠估计值，并使样本标准差成为总体标准差的可靠估计 值， 从而也使不确定度的评定更为可靠。 数理统计学不同 于一般的数学学科， 它有着自己独特的思维方式， 仅仅学 会它的基本方法是不够的， 例如， 如只能按抽样检验标准 的规定进行检验结果的判定和表示是不够的， 更重要的是 要理解和掌握
4、好统计结论究竟表示了什么样的实际意义。 有兴趣的读者只要通过多次实践， 定能逐步加深对那些抽 象的数学文字和数学语言的理解。 与讨论计数检验必须知道离散型随机变量和它们的 概率分布一样， 讨论计量检验则必须知道连续型随机变 量及其概率分布函数。 什么是连续型随机变量？如果随机变量X 取值充满 某一个区间( 或多个区间) ，并且 X的值落在任何一个区 间内的概率都是确定的， 这样的随机变量称为连续型随 机变量。需强调以下两个特点： ( 1 ) 取值的随机性，即 事先不能确定 X取哪个值； ( 2 ) 取值的统计规律性，即完 全可以确定X在某一区间内取值的概率，且等于分布函 数在这个区间上的增量，
5、 或概率分布密度函数在这个区 间上的积分。因此，还可以得出结论： “连续随机变 量取任何个别值的概率都等于零。 ” 常见的连续型随机变量分布函数有：均匀分布、指 数分布、三角分布和正态分布等。其中正态分布最为重 要，为了解人造板抽样检验的计量检验，必须从正态分 布开始说起。我们先举一个例子。用1 张刨花板切割出 1 0 0 个试件测定静曲强度，按静曲强度大小分成 7 个区 2 0 0 7 / 7 中国人造板 2 7 图 1 试件静曲强度频率分布直方图 间，统计落在这些区间的试件数如表 1 所示 ： 当频率直方图上的区间越分越细时，频率直方图 就转化为分布密度曲线f ( x ) ， 分布密度曲线
6、下的面积就 转化为概率。 从图形上看， 这条分布密度曲线为大致对 称的钟形。 曲线呈单峰， 并以横轴为渐近线。 根据实践 经验和理论分析， 以函数 与该钟形 最为符合。 这就是著名的正态分布密度函数。 而且很容 易发现，正态分布由参数和 a 即可完全确定，a 反映 了正态分布的中心位置， 也是随机变量取值的集中位置 ( 见图 2 ) 。则反映了分布的分散程度，越小，密 度曲线在中心位置就越高和越瘦， 两侧下降也越快， 表 明随机变量取值越集中于a 的附近；越大， 密度曲线 就越矮越平坦，两侧的下降也越慢，表明相应的随机 变量取值较为分散( 见图 3 ) 。 正态分布的随机变量X ，介于两个确定
7、值x1和x2之 间的概率就可以表示为： 即等于正态分布密度曲线下， 介于x1和 x2之间的那 部分面积，而整个曲线下的面积 。 我们现在讨论正态分布的目的正是在于， 当检测人 造板的某些物理力学性能时， 试件的检测值服从或接近 于服从正态分布， 检测值落在某一区间的概率可以通过 对正态分布密度函数的积分求得。 这从理论上分析是完 全可行的，但实际上会遇到两个问题。第一个问题是， 前面已经谈到， 一个既定的正态分布密度函数必须确定 两个参数a 和。前面已经说过，a 反映了正态分布的 中心位置，也就是随机变量取值的集中位置，很容易证 明参数a 正是该正态分布的数学期望或均值( 数学证明从 略) ，
8、而参数2即是该正态分布的方差，即是该正态 分布的标准差( 数学证明从略) 。问题在于，与进行计数 抽样检验时事先并不知道总体的不合格品率一样， 我们进 行计量抽样检验时事先并不掌握总体的数学期望( 总体均 值) a 和方差2。 我们只能做到在条件容许时计量检验的 样本数和试件数应充分多， 以使检验结果的算术平均值成 为数学期望的可靠估计值， 并使样本标准差成为总体标准 差的可靠估计值。 至于如何用样本均值和样本标准差替代 总体数学期望和总体标准差进行统计推断， 这正是我们后 面要讲的主要内容。 遇到的第二个问题， 是对正态分布密 度函数的积分运算毕竟需要一定的高等数学基础知识。 于 是， 从事
9、概率统计的数学前辈找到一种简便的方法， 在所 有 a 和取值不同的正态分布中，最简单和最具特殊地 位的是a 0 、 1 的分布，称为标准正态分布，其 密度函数为 其分布函数为： 表 1 试件的静曲强度分布区间情况 区间 / MP a试件数 / 个频率 / H z 9 . 0 9 . 520 . 0 2 9 . 5 1 0 . 090 . 0 9 1 0 . 0 1 0 . 52 80 . 2 8 1 0 . 5 1 1 . 03 20 . 3 2 1 1 . 0 1 1 . 52 20 . 2 2 1 1 . 5 1 2 . 060 . 0 6 1 2 . 0 1 2 . 510 . 0 1
10、根据表中数据， 做出频率分布直方图， 如图1 所示。 图 2 不同参数 a 的正态分布密度曲线 图3 不同参数的正态分布密度曲线 质量与标准化 2 8 中国人造板 2 0 0 7 / 7 查阅标准正态分布函数数值表得0 . 8 1 ， 则P ( x 1 8 . 0 ) = 1 - 1 - 0 . 8 1 = 0 . 8 1 ，即单张板的静曲强度不小于1 8 M P a 的概率为0 . 8 1 。 例2 ： 已知某一批量的中密度纤维单张板的平均静曲 强度服从正态分布， 总体均值a 为2 0 . 0 M P a ， 总体标准差 为2 . 3 M P a ， 试问以9 5 % 的可靠性确定单张板的静
11、曲强度值。 解： 查正态分布表得： x - 2 0 . 0 = - 1 . 6 4 x - 2 0 = - 3 . 7 7 x = 2 0 - 3 . 7 7 = 1 6 . 2 3 2 . 3 也即以 0 . 9 5 的概率确定单张板的静曲强度不小于 1 6 . 2 3 M P a 。 上例表达了人造板抽样检验中的主要物理力学性能的计 量检验的基本思想。 即产品标准中规定的指标值不再是样本 均值， 而是以0 . 9 5 的概率确定的规格限和质量统计量。 细心的读者可能会提出一个问题， 人造板的物理力 学性能中凡能以连续尺度进行度量的质量特性为什么可以 认定服从或接近服从正态分布？有没有严格的
12、数学证明？ 在这里作一解释。 前面我们已经用人造板试件静曲强度的频率直方图如 何转化为正态分布密度函数曲线， 比较直观的向读者展示 了该质量特性接近服从正态分布。 读者也可以自己进行检 验分析，同时也可以用概率统计的方法如X 2检验结果等 检验该总体分布是否属于正态分布。 但是， 对于每一张板 的多个试件检测值的平均值， 则属于正态分布是肯定无疑 的， 并经过严格的数学论证。 这里涉及到概率统计中的一 个重要定理中心极限定理。 即只要样本数量足够大， 样本平均数必定近似于服从正态分布， 而不管总体分布是 什么( 数学证明从略) 。 这个结论是统计推断的重要理论依 据， 有着广泛的应用。 由于这
13、个定理的建立， 统计推断可 分为大样本推断与小样本推断两大部分。 大样本推断是把 样本平均数的分布看作正态分布。 我们后面要讲的生产企 业产品质量控制的计量抽样检验即属于大样本推断，可 以直接用正态分布进行概率统计。 而质量监督检验、 交收 检验等则属于小样本推断， 涉及到与正态密度概率密度曲 线类似的t 分布的概率分布曲线。 以下的内容就是要详细 回答读者可能会提出的另一问题， 如何用样本均值和样本 标准差替代抽样检验时事先并不知道的总体均值和总体标 准差进行统计推断。 ( 未完待续)（责任编辑：李青青） 图 4 标准正态分布的分布密度函数曲线 图 5 标准正态分布的分布函数曲线 质量与标准
14、化 从标准正态分布密度函数曲线( 见图4 ) 和分布函数曲线 ( 见图5 ) 对照看，起来读者就很容易理解其概率统计意义， 即在分布密度函数曲线上随机变量取值区间为( - ， x ) 时的 概率( 也即是阴影部分的面积) 等于分布密度函数曲线上与x 1对 应的( x1) 值。由于标准正态分布函数曲线是唯一的，因 此， 在所有的概率统计著作中都附有标准正态分布曲线的数 值表，以备查阅( 也即 的数值表) 。而对于一般正态分布，均可通过变量置换 转化为标准正态分布后， 再行查表， 即可得出结果。 变量 置换的方法是：如果随机变量 X服从正态分布，a 和 已知，则随机变量X取值区间( x 1, x 2 ) 内任意值的概率等 于服从于标准正态分布取值于区间( ) 内任意 值的概率，即 ( 数学证明从略) 下面举例说明。 例 1 ：已知某一批量的中密度纤维板单张板的平均 静曲强度服从正态分布，总体均值 a 为 2 0 . 0 M P a ，总体 标准差为2 . 3 M P a 。今随机抽取一张板，问其静曲强 度不小于1 8 . 0 M P a 的概率是多少？ 解：
