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1、第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动 v 在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作 准经典粒子来处理。 v 解含外场的波动方程 处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法： 条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。 7.1 准经典运动 一、波包与电子速度 设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组 成，并假设k很小，近似认为 不随k而变 对于一确定的k ，含时的Bloch函数为 在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包。 一维情况： 波包 令 分析波包的运动，只需分析2，即概率分布即可。 令 0 波函数主要集中在尺度为 的范围内， 波包中心
2、为：w0 即 若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为 布里渊区的宽度：2/a 即 三维情况：电子速度为 条件：k很小 以a为周期，并不会改变波包的形状。 v 电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等 能面的法线方向。 l 在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因 此，v的方向一般并不是k的方向； 电子的运动方向决定于等能面的形状: l 当等能面为球面时，或沿某些特殊方向，v才与k的 方向相同。 kx ky k v v 电子运动速度的大小与k的关系 以一维为例： l 在能带底和能带顶，E(k)取极值， 在能带底和能带顶，电子速度v0 l 在能带中 的某处， 电子速度的数值最大 与自由
3、电子的速度总是随 能量的增加而单调上升是 完全不同的。 二、电子的准动量 功能原理： l 当F与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v 的方向上， 和外力F的分量也相等。 l 在平行于v的方向上， 和F的分量相等； 在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场 对电子所做的功为 这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具 有与经典力学中牛顿定律相似的形式。 电子的准动量 v 晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为 。 v Bloch电子的行为类似于波长 为 的平面波，再由de Broglie关系得其 具有 的动量。 三、电子的加速度和有效质量 晶体中电子准经典运动的基本关系式： 由以上
4、两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。 1. 一维情况 引入电子的有效质量： 在周期场中电子的有效质量m*与k有关 E(k)取极小值， E(k)取极大值， v 在能带底： v 在能带顶： m*0； m* 0； 在能带顶： 电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而 表现为具有负的有效质量m*F晶时，m* 0；而当F外 kBT，所以，电子的跃迁 概率很小，半导体的本征导电率很小。 温度升高，电子的跃迁概率指数上升，半导体 的本征导电性迅速增大。 v 半导体的非本征导电性：半导体通过适当掺杂，改变 电子在能带中的填充情况而获得的导电性。 T = 0T 0 导带 施主 价带 N型 ET =
5、0T 0 导带 受主 价带 P型 E 绝缘体的带隙很宽，Eg 几个eV，在一般情况下， 电子很难从价带顶被激发到空带中，所以，绝缘体一般 都没有可观察到的导电性。 例如：NaCl的带隙近似为Eg 6 eV，在常温下 跃迁概率 电子密度：As： 2.11020 cm-3 Sb： 5.7 1019 cm-3 Bi： 2.7 1017 cm-3 Cu： 8.45 1022 cm-3 半金属：介于金属与半导体之间的中间状态 例：As、Sb、Bi都是半金属 电阻率：Bi：c 127 10-6 (cm) c 100 10-6 (cm) Sb：c 29.310-6 (cm) c 38.4 10-6 (cm)
6、 Cu： 1.55 10-6 (cm) Al： 2.5 10-6 (cm) 金属的电阻率 导电率： 电阻率： v 在高温下，当T D时， T 金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、 晶体中的缺陷和杂质的散射，因而与温度有密切关系。 v 在低温下，当TD时，晶体中所有振动模式都能被热激发， 频率为j的声子的平均声子数为 在低温下，当TD时，只有 的长波 声学声子才能被热激发，晶格热容量CLT3，因此晶格 振动的总能量T4。如果声子的平均能量近似为kBT，那 么，系统的总声子数就正比于T3。因此，有 （当TD时） 单位时间内的散射次数 另一方面，由于对金属电导有贡献的只是在费米面 附近的一小部
7、分电子，其波矢近似等于费米波矢，kkF 。而当TD时，只有能量很低的长波声学声子才能被 热激发，这些声子的波矢qqm。可以认为， kF与qm同 数量级。 长波声子的波矢qkBT，因 此几乎所有杂质原子都处于基态。 如果电子在与杂质的散射中把能量交给杂质原子，电 子能量将失去过多，以致费米球内没有空态可以接纳它。 因此，杂质散射所产生的电阻与温度无关，它是T0时的 电阻值，称为剩余电阻。 T 102/(200K) 如： (0)1.7109(cm)的 Cu样品，R103，相当于其杂质 浓度为2 105。在纯度很高的样 品中， R可高达106，而在合金样 品中， R可降至1左右。 通常，可用室温电阻
8、率与(0) 之比R来表征样品的纯度。 在金属中，其导带部分填充，导带中有足够多的载 流子（电子或空穴），温度升高，载流子的数目基本上 不增加。但温度升高，原子的热振动加剧，电子受声子 散射的概率增大，电子的平均自由程减小。因此，金属 的导电率随温度的升高而下降，与半导体的本征导电率 随温度的升高而迅速上升是明显不同的。 T 半导体 金属 需要指出的是，理想导体与超导体是有区别的。 超导体的两个基本特征： Meissner效应（完全抗磁性） 零电阻现象 三、几个实例 v 贵金属（Cu、Ag和Au）的情况（fcc立方密排）与碱 金属相似，也是典型的金属导体。 v 碱金属晶体结构：体心立方格子（ b
9、cc），每个原 胞中有一个原子。碱金属原子基态：内壳层饱和， 最外层的 ns态有一个价电子。 如Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1 由N个碱金属原子结合成晶体时， 原子的内层电 子刚好填满相应的能带，而与外层ns态相应的能带却 只填充了一半。因此，碱金属是典型的金属导体。 碱金属的费米面贵金属的费米面 由于在这些晶体中，与ns态相应的能带与上面的能带发生 重叠，因此，2N个ns电子尚未填满相应的能带就已开始填 入更高的能带，结果使得这两个能带都是部分填充的。 v 第三族元素与碱金属的情况类似，只不过这时形成导 带的是np电子，而不是ns电子。所以，第三族元素的 晶体绝大多数为金属。 v 对于二价的碱土金属元素，与碱金属元素相似，其最 外层有两个ns电子。 如Be原子基
